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7.2　直观图与三视图
教学内容：直观图与三视图
教学目标： 1．可以辨别直观图与三视图． 2．能画出直观图与三视图. 3.培养学生的空间想象能力.
教学重难点： 重点：辨别三视图． 难点：绘画直观图与三视图．
核心素养：数学抽象
教具准备：PPT
教学环节： 意图 复备
（一）导入新课 观察人的影子，说明太阳的方向，描绘光线照射的角度 （二）讲授新知 1.投影与直观图 影子在我们的生活中并不陌生，太阳光下地面上的树影、人影、建筑物的影子，晚上电灯下不同手势在墙面上形成的小动物的影子各具特色，十分有趣 【观察与思考】 认真观察图 7-18 中的投影，思考图形间的异同 (
（2） （3）
)图 7-18 （1）投影法 投影法是人们根据产生影子的这种自然现象，总结出将空问物体表达为平面图形的方法．我们把向物体投 创设情境，引入新知，体会数学源于生活，激发学生学习兴趣 通过观察思考，讲授不同投影法的区别与作用，贴近生活，促进理解
教学环节： 意图 复备
射的光线叫作投射线；出现影像的平面叫作投射面．根据投射线性质的不同，把投影法分为中心投影法和平行投影法 如图 7-18（3）所示，一个点光源把一个图形照射到投射面上，这个图形的影子就是已在这个投射面上的中心投影，这种投影方法称为中心投影法。中心投影法中的投射线交于一点，中心投影后的图形与原来的图形相比改变较多，并且光源离物休越近，投影越大，所以在立体几何中很少用中心投影原理来绘图．但反映图形的实际效果时。一般用中心投影． 我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫作平行投影．平行投影的投射线是平行的，如图7-18 （1）（2）所示，这种投影方法称为平行投影法．在平行投影中，把投射线垂直于投射面的这种平行投影称为正投影，如图7-18（1)；把投射线不垂直于投射面的这种平行投影称为斜投影，如图7-18（2）．事实上，正投影能够淮确地表达出物体的大小的形状，因而在工程绘图、园林设计上被广泛应用。在立体几何中，一般都是根据平行投影的性质，用平面图形来表示空间图形 通过观察容易发现，当图形中的直线或线段不平行于投射线段时，平行投影具有下列特征： (1）直线或线段的平行投影仍是直线或线段； (2）平行直线的平行投影是平行或重合的的直线； (3）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； (4）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等； (5）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 （2）直观图 对于空间几何体的直观图，我们并不陌生，图7-15 都是相应几何体 的直观图．为了在平面内表示立体图形，可以利用平行投影画几何体的直观图. 对于画直观图的方法，国家规定了统一的标准，一种较为简单的画图标淮是斜二测画法．斜二测画法是根据平行投影的性质画直观图的方法.这种画法的投射线与人的视线的方向不同，下面以正方体的模型为例，来说明斜二测画法的规则 （1）在已知模型所在的空间中取水平平面ABCD，以点A为原点O，以AB，AD所在直线分别为互相垂直的x轴，y轴，以AA1所在直线为z轴，则∠xOz=90°，且∠yOz=90°，如图 7-19 (1）； （2）画直观图时，任取0’，分别画出x,y,z轴对x’,y’,z’轴，使∠x’O’y’=45°, ∠x’O’z’=90°, x’O’y所确定的平面表示水平平面，如图7-19(2)； （3）已知图形中，平行于x,y,z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’,y’和z’轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段 通过观察思考，讲授不同投影法的区别与作用，贴近生活，促进理解 强调利用斜二测画法的规则与细节
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和原坐标轴的位置关系相同； (4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半； (5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图，图7-19(3). 下面举例说明 。 （三）例题讲解 例1 用斜二测面法画水平放置的边长为a的正三角形的直观图． 画法：(1）在已知正三角形ABC中，以AB的中点为原点0，以AB所在的直线为x轴，过O作AB的垂线为y轴，则∠x0y=90°，如图7-20(1)；任取一点0’，画出对应的x’轴和y’轴，使∠x’O’y’=45°，如图7-20 (2)： 在x’轴上取A'B'=AB，且使得 A'B'的中点为0’，再在y’轴上截取O'C’=OC; 连结A'，B',C’，并擦去作为辅助的坐标轴,所得到的图形A'B'C'就是水平放置的正三角形ABC的直观图，如图 7-20(3) (
（
3
）
) (
（
2
）
) (
（
1
）
)图7—20 会画水平放置的正三角形的直观图后，根据斜二测画法画图的规则，不难画出正三棱柱的直观图，如图7-21 所示．同样，我们可以利用斜二测画法的规则，画出其他平面图形与空问图形的直观图． 强调利用斜二测画法的规则与细节 巩固新知，将学习到的新知识运用到做题中，动手画图，学习斜二测画法
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（四）讲授新知 正等测画法与斜二测画法步骤相同，依据仍然是平行投影的性质．不过，正等测画法中的投射线和人的视线平行，且投射线和投射面垂直。在立体几何中，通常用正等测画法画圆，圆柱，圆锥，圆台和球等旋转体的直观图．圆的直观图是椭圆．由于画圆的直观图比较复杂，在实际画圆的直观图时，通常使用不同尺才的椭圆模板，如图7-22 所示 (
图7—22
)会画圆的直观图，就容易画出圆柱、圆锥和圆台的直观图 有时为了简便，在不作严格要求时，只要符合平行投影的要求，画图时长度和角度可适当的选取，有一定的立体感就行．例如，长方形、正方形的投影一般 为平行四边形 2、三视图 为了更淮确地反映空间图形状和大小，往往需要把图形向几个不同的平面分别做正投影，然后把这些正投影的图形放在同一个平面内，并有机地组合起来表示物体的形状和大小．不难得到，正投影除了具有平行投影的性质外，还有如下性质： (1）垂直于投射面的直线或线段的正投影是点; (2）垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分 立体几何中，总是选取三个两两互相垂直的平面作为投射面，如图7-24所示。 讲授第二种方法——正等测画法，讲授利用的工具、注意的细节
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把水平放置的投射面，叫作水平投射面，投射到这个平面内的图形叫作俯视图；把正前方放置的投射面，叫作直立投射面，投射到这个面内的图形叫作主视图；把与直立、水平两个投射面都垂直的投射面，叫作侧立投射面，通常将这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫作左视图. 将一个几何体向这三个平面做正投影得到主视图、左视图和俯视图，然后把这三个图按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫作这个几何体的三视图． 通常情况下，主视图、左视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方看到的几何体轮廊线的正投影围成的平面图形. 一个几何体的长、宽、高，一般是指几何体占有空间的左右、前后、上下的最大距离．一个几何体的三视图的排列规则是，主视图下面是俯视图，主视图和俯视图的长度一样长，主视图的右面是左视图，主视图和左视图高度一样高，而左视图与俯视图的宽度一样宽．为了便于记忆，通常说：“长对正、高平齐、宽相等”或“主俯一样长、主左一样高、俯左一样宽” 以正三棱柱为例，了解从直观图到三视图的过程，如图7-25 所示。 （1）三面投影： （2）三面投影的展开； （3）按照“长对正、高平齐、宽相等”原则，放到一个平面里就得到三视图. (
（
2
）
) (
（
3
）
) 讲授三视图，锻炼学生的空间几何能力
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（五）例题讲解 例1 如图7-26所示是一个几何体的直观图，画出这个几何体的三视图 解：(1）是这个几何体的直观图，（2）是三视图. 例2 如图7-27所示是一个几何体的三视图，画出这个几何体的直观图。 (
俯视图
) (
主视图
) (
左视图
) (
（
1
）
) (
（
2
）
) 解：从这个几何体的三视图7-27（1）可以看出，该几何体是一个简单组合体，如图7-27（2）所示。 （六）课堂练习 教材P74 A组 （七）课堂小结 1、投影法分为中心投影法和平行投影法 2、平行投影具有下列特征： (1）直线或线段的平行投影仍是直线或线段； (2）平行直线的平行投影是平行或重合的的直线； (3）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平 巩固新知 总结本节课所学知识
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行且等长； (4）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等； (5）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 3、二测画法画直观图步骤
作业：
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