资源简介

双曲线渐近线的教学设计
一、教材分析
渐近线是双曲线的一个区别于椭圆的不同性质。也是双曲线重要的几何特征与基本性质，通过学习双曲线的渐近线，可以使学生对曲线的渐近线有新理解与新认识。同时可以锻炼学生的洞察力，类比猜想与自主分析能力，数形结合能力，并能解决一些与渐进线有关的简单几何问题。
二、学生情况分析
学生已经接触过有关曲线渐近线的内容，例如指数函数、对数函数、三角函数等图象的渐近线。特别是学生对初中学习的反比例函数的图象是双曲线，并对它有渐近线具有很直观的认识。因此，这些认知基础是学生探索发现标准位置双曲线的渐近线的出发点和深化剂，通过探究标准位置双曲线的渐近线方程与性质学生可以体会类比的学习方法在数学学习中的重要作用。
三、教学目标
知识与技能
1、理解标准位置的双曲线存在渐近线，能够证明标准位置双曲线的渐近线就是。
2、熟练掌握求解双曲线渐近线的方法，知道双曲线有两条不同的渐近线。
3、通过探究标准位置双曲线的渐近线，了解标准位置双曲线渐近线的有关性质。
4、经历学习双曲线渐近线的过程，进一步培养学生动手操作，以及数形结合的能力。
过程与方法
通过回顾反比例函数图象的渐近线及其性质，类比地探究标准位置双曲线的渐近线方程及其性质，体会类比方法在数学学习中的重要作用。
情感、态度和价值观
由双曲线渐近线的发现过程，了解到反比例函数渐近线与标准位置双曲线渐近线的异同，感受探索的乐趣；由证明猜想过程，体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度，形成学习数学知识的积极态度
四、教学重点与难点
重点：1、标准位置的双曲线存在渐近线；2、标准位置双曲线渐近线的求解方法。
难点：1、如何发现双曲线的渐近线；2、证明标准位置双曲线的渐近线是。
五、教学过程设计
1.问题情境，铺垫引入
(1)同学们以前都学过哪些曲线的渐近线？（回顾思考）
教师启发：（重点提到反比例函数）反比例函数的图象是双曲线，它的图象存在渐近线。
(2)反比例函数的解析式除了这一种形式，还能否写成其他形式？（学生思考并回答）
教师启发：反比例函数的另一种表达方式（板书）。取不同的,同样可以得到不同的函数。
【设计意图】以上两个问题通过让学生回顾旧知识，从而改善学生对新知的陌生心理，同时也为后面学习标准位置双曲线的渐近线及其性质奠定了良好的知识与方法基础。创设问题情境，激发学生学习的兴趣以及发现问题的能力。
2.类比启迪，促成发现
(1)类比1：反比例函数存在两条渐近线，方程表示的曲线也是双曲线，只不过它是标准位置的双曲线，那么它是否也有渐近线呢？
教师启发：由于同为双曲线，我们可以猜想它是存在渐近线的。
【设计意图】通过认识与的图象的相似性，类比猜想也存在渐近线，由此降低了学习新知的难度，引起学生的兴趣，激发他们的求证意识，让学生学思路更清晰。这种类比猜想是一种合情的推理，因为在某些方面相同或相似的属性具有一定的延伸性，人们正是利用相似事物属性的延伸性，通过对一个事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识方法就是类比。
(2)类比2：反比例函数的渐近线为，即。那么的渐近线又该是什么呢？
教师启发：令，则同样取不同的也会得到不同的双曲线。由，当表示双曲线，表示其渐近线，我们可以类比猜想就是()的渐近线。
【设计意图】引导学生类比发现就是标准位置双曲线的渐近线，这是一种合情的推理，这个恰当的类比会进一步改变学生对新知的陌生心理。
(3)类比3：反比例函数和标准位置的双曲线，二者虽相似但并非相同，为什么均表示渐近线呢？能否通过图象更直观地得到二者之间的关系？
教师启发：对于反比例函，在几何画板中展示当越来越小时如反比例函数的图象越接近于其渐近线，即。
标准位置的双曲线，当越来越小时，是否也同样越来越接近于？
同样在几何画板中展示动画，当越来越小时，让同学们观察观察动画，并说出自己的观点。
之后作静态图的展示。
(
图
2
) (
图
1
)
【设计意图】学生通过观察动画并分析，体会这种发现过程，使学生认识到无论是反比例函数的图象，还是标准位置的双曲线，其渐近线都具有共同的特点，即当越来越趋于0时，可以通过图象直观地看到曲线越来越趋向于渐近线，这也是当时方程和均表示渐近线的理由。
3.依据定义，证明发现
(1)由于只是猜想的渐近线是（即），显然并没有证明它，我们的猜想似乎还算好，但我们应该使它再接受严格而深入的检验。我们该如何证明它呢？请同学们独立证明。
教师启发：引导学生回到渐近线的定义，如果我们能证明随着的增大，与的距离无限接近于0就大功告成了。
【设计意图】使学生明白，任何猜想都要经过严格的证明，因为类比猜想推理只是一种“合情”的“似然”推理，它的结论正确与否不能肯定。要求学生独立证明，强化其逻辑思维，这将更能激发其求知欲望，给他们独立思考的机会，体会这种发现过程，这一设计，让学生深刻理解了曲线与其渐近线的关系，并融入了极限的思想。最终说明此猜想经得起考验，这会让学生获得强大的成就感。
(2)类比4：我们已经类比得出标准位置双曲线的渐近线，此外反比例函数的图象还具有其他性质吗？类比发现是否也具有类似的性质呢？
教师启发：对于反比例函数，如图3，在其图象上任取一点，过点分别作其渐近线轴，轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为，则，这是一个定值；对于双曲线，如图4，在其图象上任取一点,过点分别做两条渐近线的平行线，与渐近线所围成的平行四边形为,设其面积为，设点为，令表示的直线为，交轴于点，则点为，，点的横坐标，而与同号，由△的面积为，△的面积为，=，这也是一个定值。
(
图
4
) (
图
3
)
【设计意图】引导学生明白反比例函数与双曲线是相似的事物，它们会有许多相同或相似的性质，我们可以类比去一一发现。这一类比探索让学生对双曲线的渐近线有了更深层次的认识，对双曲线的几何性质也有了新的启发。
4.通过练习，揭示规律
例 求下列双曲线的渐近线（请同学在黑板上练习解题，要求写成直线一般式。）
（1）；（2）。
教师启发：（1）令即为标准位置双曲线的渐近线，化简得。（2）令即为标准位置双曲线的渐近线，化简得为。
【设计意图】作业是学生对知识掌握情况的反馈，教师可从中查缺补漏。选择这两道有对比性的题，让学生充分感受到所学内容的重要性，通过练习可以让学生对知识掌握更牢靠，记忆更持久，思路更清晰。
六、小结
本节课主要学习了双曲线的性质，
双曲线存在渐近线，其渐近线为，即。在其图象上任取一点；
过点分别做两条渐近线的平行线，与渐近线所围成的平行四边形为,其面积为定值。
七、反思
根据学生的认知规律，引导学生通过类比的发现方法得出猜想，再经过自主动手实践与证明，最终得出标准位置双曲线的渐近线。经历了对渐近线概念从片面到全面、从表像到本质的的思维过程。以问题为引导，从问题中探究，正是由于这种类比的发现过程，加深了学生对知识的理解与掌握，激发了学生的创新思维。类比法是数学发现中最常用、最有效的方法之一，它在科学发展史上起过重大作用，拉普拉斯指出：“甚至在数学发现里发现真理的主要工具是归纳和类比”。

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