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6.3　直线、平面垂直的判定与性质
教学内容：直线、平面垂直的判定与性质
教学目标： 1．通过实例，理解和掌握直线、平面垂直的判定与性质． 2．培养学生观察能力和空间想象能力．
教学重难点： 重点：理解和掌握直线、平面垂直的判定与性质． 难点：理解和掌握直线、平面垂直的判定与性质．
核心素养：数学抽象
教具准备：PPT
教学环节： 意图 复备
（一）引例导入 在生活中，我们会遇到很多直线与平面垂直的实例，如图6-43所示，旗杆与地面的位置关系；打开的书直立在桌面上，书脊AB和桌面的位置关系.它们都给予我们直线与平面垂直的印象. (
图6-43
) （二）直线与平面垂直的判定与性质 如果一条直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直,记作l丄.直线l叫作平面的垂线,平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点O叫做垂足. 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图6-44所示. 要判定一条直线与一个平面是否垂直,我们只能依据直线与平面垂直的定义.但是,利用定义来判定显然是很困难的.下面,我们就一起来做一个试验. 准备一块三角形的纸片，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD.在如图6-45 (1)和图6-45 (2)所示的两种不同的折法中,哪一种沿折痕翻折后的纸片能竖起 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
教学环节： 意图 复备
放置在桌面上(BD, DC与桌面接触)，并使折痕AD与桌面垂直(图6-45 (3))呢？ (
（2） （3）
图6-45
) 根据试验的结果，我们发现，第二种折法能使折痕与桌面垂直.因此，一般地，我们有下面的判定定理. 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. （三）例题讲解 例1 已知正方形ABCD，F，G分别是AB，BC的中点.将△DAF，△BGF, △CGD分别沿DF，FG，DG向上折起，使A，B，C三点重合于一点，重合后的点记作S.求证：SD⊥平面SFG. 分析：如图6-46 (1)所示，画出原正方形ABCD，折起后A，B，C 三点重合于点S，如图6-46 (2)所示.即∠DAF=∠DSF=90°,∠GCD+∠GSD =90°,有SD⊥SF，SD⊥SG，所以 SD⊥平面SFG. (
(2)
图6-46
) 证明：在原正方形ABCD中， ∵AD⊥AF, CD⊥CG.折起后A, C重合且记作S, ∴SD⊥SF, SD⊥SG. ∵SF∩SG=S, ∴SD⊥平面SFG. 说明：解决这类翻折问题时，一定注意翻折前直线与直线的位置关系、所成的角以及线段长度等在翻折后是否发生变化. 例2 如图6-47所示，有一旗杆AB高8米，其顶端A挂有一条10米长的绳子，拉紧绳子并把它的下端分别放在地面上的两点C, D.若这两点都和旗杆与地面的交点B的距离为6米，则旗杆就和地面垂直，为什么？ 分析：根据直线与平面垂直的判定定理可知，要证明旗杆与地面垂直，只要证明旗杆与地面内的两条相交线垂直即可.根据已知条件，我们利用勾股定理很容易验证AB⊥BC, AB⊥BD,所以旗杆与地面垂直. 解：在△ABC和△ABD中， 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 巩固新知，通过例题深入理解。
教学环节： 意图 复备
∵ AB=8, BC=BD=6, AC=AD=10, ∴AB2+BC2=82+62=102=AC2, AB2+BD2=82+62=102=AD2, ∴∠ABC=∠ABD=90°. 即AB⊥BC, AB⊥BD. 又∵C,B,D三点不共线， ∴AB⊥平面BCD. 即旗杆与地面垂直. 直线与平面垂直有下面的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行. 直线与平面垂直的性质定理给出了一个判定两条直线平行的方法，该定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系. （四）直线与平面所成的角 (
图6-49
)思考：如图6-49所示，是一个足球门，在这个图形中，三条直线DA,DC,GF与水平地面的倾斜程度是有区别的.为了准确地刻画直线与平面倾斜程度的大小，我们引入直线与平面所成的角的概念. 如果一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，那么这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足.过斜足以外的一点向平面引垂线，垂线与平面的交点叫做垂足.过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影. 如图6-50所示，直线PA为平面的斜线，斜足为A，垂足为O,直线OA为斜线PA在平面内的射影. (
图6-50
)平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与这个平面所成的角.图6-50中的∠PAO就是斜线PA与平面所成的角. 特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°. 显然，直线与平面所成的角的变化范围是0°. （五）例题讲解 例3 如图6-51所示，在正方体ABCD-A'B'C'D',中，求对角线BD'与底面ABCD所成角的正切值. 分析：解决本题的关键是确定直线与平面所成的角，其一般步骤是: (
图6-51
)(1)确定直线与平面的交点(为直线与平面所成的角的顶点). (2)由直线上一点向平面作垂线，并确定垂足. (3)确定射影线段. 图6-51 (4)解斜线及其射影线段所构成的直角三角形，求出直线与平面所成的角或该角的三角函数值. 解：BD’与底面ABCD交于点B,且D’不在底面ABCD内， ∵D'D丄平面ABCD， ∴连结DB,则DB是D'B在底面ABCD上的射影，且D'D丄DB, 则∠DBD'就是对角线BD',与底面ABCD所成的角. 在直角三角形BDD'中,tan∠DBD’=. 引例导入 我们已经学过两条相交直线所成的角、异面直线所成的角和直线与平面所成的角.现在，我们来研究两个相交平面所成的角. 在实际生产和生活中，我们经常会遇到两个平面相交的情况，需要确定它们所成角的大小.筑堤坝时，必须考虑堤坝的斜面与水平面所成角度的大小，如图6-53 (1)所示；使用笔记本电脑时，为了操作方便，两个面板要成一定的角度，如图6-53(2)所示，等等.为了描述两个相交平面所成的角的大小，我们引入二面角的概念. 平面与平面所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
通常，我们将二面角记作“二面角M-AB-N” 或“二面角-l-”.有时为了方便，也可以在两个面内分别取点C, F,将这个二面角记作“二面角F-AB -C”, 以二面角棱上的任意一点0为端点，在两个半平面内分别作垂直于 棱的两条射线0A和0B,则这两条射线所成的,A0B叫做二面角的平 面角，如图6-55所示. 巩固新知，通过例题深入理解。 锻炼学生思考问题、解决问题的能力。 巩固新知，通过例题深入理解。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
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如图6-54所示. (
图6-54
) (
图6-55
)以二面角棱上的任意一点0为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线0A和0B,则这两条射线所成的∠A0B叫做二面角的平面角，如图6-55所示. 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多大，就说这个二面角是多大. 平面角是直角的二面角叫做直二面角，如教室里的墙面与地面所成的二面角就是直二面角. （八）平面与平面所成的角 例4 如图6-56所示,在30°的二面角M--N的一个面M内有一点P,它到另一个面的距离是10 cm,求点P到棱a的距离. (
图6-56
)分析：解决本题的关键是根据条件确定并作出二面角的平面角. 解：在平面M内，由点P向平面N作垂线PO, 垂直于棱a,垂足为C,连结PC,则a丄平面POC,所以PC丄a, 即∠PCO是二面角M-a-N的平面角，且PC就是点P到棱a的距离. 在直角三角形POC中，已知∠PC0 =30°,PO=10cm, PC==20（cm） 因此，点P到棱a的距离是20cm. （九）平面与平面垂直的判定与性质 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直. 两个互相垂直的平面通常画成图6-59所示的样子，即直立平面的竖边与水平平面的横边垂直. 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
教学环节： 意图 复备
(
图6-59
) 平面垂直，记作. 一般地，两个平面互相垂直有下面的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. （十）例题讲解 例5 如图6-60所示，PA 垂直于O所在的平面， AB是O的直径，C是圆周上异于A，B的任意一点.试判断平面PAC与平面PBC的位置关系，并说明理由. 分析：因为AB是O的直径，所以AC⊥BC， 根据PA垂直于O所在的平面，可以得到PA丄BC.由直线与平面垂直的判定定理可得：BC⊥平面PAC.而BC在平面PBC内，根据两个平面垂直的判定定理，我们可以判定平面PAC与平面PBC互相垂直. 解：∵PA⊥平面 ABC, BC 平面 ABC, ∴PA⊥BC. 又∵AB是O的直径，C在圆周上， ∴∠ACB=90°,即AC⊥BC. ∴BC⊥平面 PAC. ∵BC 平面 PBC, ∴平面PAC⊥平面PBC. 如图6-61所示，若,,AB ,AB⊥CD，则AB与平面具有什么样的位置关系？ 分析：在平面内过点B作BE⊥CD，则∠ABE就是二面角-CD-的平面角.因为,所以ABBE.又因为 ABCD,所以 AB . (
图6-61
)由此，我们得到了两个平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 根据上述两个定理可知，直线与平面垂直和平面与平面垂直的位置关系可以相互转化，这是解决空间图形问题的重要思想方法. BC在平* 巩固新知，通过例题深入理解。
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（十一）深化练习 教材p221 习题三 （十二）课堂小结 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 2、直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行. 3、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 巩固新知。 总结归纳本节课内容，强调学习重难点。
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