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4.2　平面向量的运算
教学内容：平面向量的运算
教学目标： 1．掌握平面向量的运算． 2．掌握数乘向量．
教学重难点： 重点：平面向量的加法、减法运算． 难点：数乘向量．
核心素养：数学抽象
教具准备：PPT
教学环节： 意图 复备
（一）引例导入 如图4-13所示，某人从A地向东行进5 km,到达B地，再从B地向北行进5 km,到达C地, 这时从A地看，此人恰好在东北方向5km处. （二）向量的加法 我们看到，某人连续做了两次位移和,并且他由A地到达C地的效果与由A地向东北方向行进5km （）的效果是一样的.在物理学中，我们称是与的合成位移.在数学中，我们把向量叫做向量与的和，即+. 由此，得到向量加法的一个法则： 如果与为已知向量，在平血上任取一点A，以A为起点，作向量，再以B为起点，作，令，则叫做与的和.记作=+. 这个法则就是向量加法的三角形法则，如图4 - 14所示. (
图4-14
)说明：这里的“+”号不再仅仅表示数量的求和，还涉及方向 (
图
4-14
)。 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
教学环节： 意图 复备
根据向量加法的三角形法则作图，如果以A为起点，作向量（图4-16）,则由可知，四边形ABCD为平行四边形，向量与是这个平行四边形的两条邻边，与的和恰好是平行四边形的一条对角线，这样就得到了向量加法的平行四边形法则. 如果和为非零向量，在平面上任取一点A,以A为起点，以和为邻边作平行四边形，则在这个平行四边形中，以A为起点的对角线所表示的向量，叫做与的和. 从图4-16中，我们看到==,=. 由三角形法则，有+=，+=，所以+=+，即+=+，这说明向量加法满足交换律. 向量加法也满足结合律，即（+）+=+(+) 由于向量加法满足交换律、结合律，因此把++叫做向量的和. 三个向量的和可以依照三角形法则得到：把三个向量首尾顺次连接, 则由第一个向量的起点到第三个向量的终点的向量就是三个向量的和.如图4-17所示，++=. 向量的减法 向量的减法是向量的加法的逆运算.如果两个向量与的和等于,即+=,那么，我们把叫做与的差，记作=-. （四）例题讲解 例1 验证：-=+（-） 证明：如图4-18所示，在平行四边形ABCD中，=，=，则=-. 在三角形ABC和三角形ACD中，利用三角形法则，得+=，=+（-）. 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 巩固新知，通过例题深入理解。
教学环节： 意图 复备
而=-，且=， 所以-=+（-） 由此得出，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.这是向量减法的又一法则，依照它可以把向量减法问题转化成加法问题. 根据向量加法的三角形法则，与的差可以这样去求：在平面上任选一点A，如图4-19所示，作向量=，=，则向量就是所求的差-. 作与的差，需要注意以下三点： （1）两个向量要以同一起点作出； （2）两个向量的差是两个向量终点之间的向量； （3）差向量的箭头指向被减的向量. （五）引例导入 甲、乙二人朝同一方向用力拉一物体，如图4-21所示.甲用力记作,乙用力的大小是甲的2倍，这时，我们可以把乙所用的力表示为2. (
图4-21
) (六）数乘向量 显然，这两个向量是共线的，而且大小之间存在倍数关系.因此，我们得到实数与向量的积的意义及运算法则. 一般地，实数k与向量的积叫做数乘向量，记作k.它是这样确定的： (1)当k=0时，k为零向量，即k =0. (2)当k≠0时，k的模是的模的|k|倍，即|k|= |k| ||. 当k>0时，k与方向相同； 当k<0时，k与方向相反. (七）例题讲解 例2 已知向量,分别作出向量,2,-3. 解：如图4-22所示，向量表示，向量表示 巩固新知，通过例题深入理解。 引例导入，激发学生学习兴趣。 通过思考，总结归纳，讲解新知。
教学环节： 意图 复备
2，向量表示-3. 与实数之间相乘一祥，实数与向量相乘，同样满足结合律和分配律，即 （m n）=m(n); (m+n)=m+n; m(+)=m+m 例3 计算：4+ 3(+2)-2(3- 4). 解：根据运算律，得 原式=4+ 3+6-6+8 = (4+3-6)+(6 + 8) =+14. 向量的加法、减法以及数乘向量运算，统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍然是向量. 例4 已知平行四边形ABCD的对角线相交于点0,如图4-23所示.若=，=,用，表示向量，. (
图4-23
) 解：∵=+=+， =-=-， 且O是AC，BD的中点 ∴==（+）=， ==（-）=. 在4.1节中，我们知道，如果两个非零向量与方向相同或相反, 这两个向量就互相平行，记作//.平行向量又叫做共线向量. 结合向量平行与数乘向量的含义，我们可以得到下述结论： 巩固新知，通过例题深入理解。
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设为两个非零向量，如果存在实数k，使得=k,那么//；反之，如果//，那么一定存在一个非零实数k，使得=k. 例5 已知1=31,2=21.,且1≠0 ,判断1与2是否共线. 证明：∵1=31=2, ∴1与2共线. 例6 如图4-24所示，M, N分别是△ABC的AB和AC边上的点，且|AM | =|AB|, |AN|=|AC| ，求证:MN//BC 分析：为了证明MN//BC,根据向量平行的定理，只需证明可以写成k的形式. 证明：由已知条件，得 =,, (
图4-24
)∴=-=-==， ∴//, 即MN//BC （八）知识巩固 教材P125 习题二 课堂小结 向量的加法 向量的减法 数乘向量
巩固新知，通过例题深入理解。 巩固新知。 总结归纳本节课内容，强调学习重难点。
作业：
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