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5.1　椭圆的标准方程和性质
教学内容：椭圆的标准方程和性质
教学目标： 1．理解和掌握椭圆的标准方程和性质． 2．掌握椭圆的几何性质，在习题中灵活运用．
教学重难点： 重点：椭圆的标准方程和性质． 难点：灵活运用椭圆的定义和性质解决问题．
核心素养：数学抽象
教具准备：PPT
教学环节： 意图 复备
（一）引例导入 (
图5-2
)如图5-2所示，取一条定长的细绳，把它的两端固定在图板上的两点F1 和F2上(绳子长度大于丨F1F2|），然后用笔尖将细绳绷紧，并使笔尖在图板上慢慢移动一周，画出的轨迹是什么曲线呢？ （二）椭圆的标准方程 引例中笔尖画出的图形是我们常见的椭圆. 引例中笔尖画出的图形是我们常见的椭圆. 讨论：（1）F1, F2两个点是固定的,还是运动的？笔尖所对应的点呢？ （2）笔尖到绳子两端的距离之和与绳子的长度有怎样的关系？ （3）试验中为什么要有“绳子长度大于丨F1F2丨”这个限制条件？如果取消这个条件，结果会怎样？ 根据上面的讨论，我们得到椭圆的定义： 平面内与两个定点F1, F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1和F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 下面，我们根据椭圆的图形特征，选择适当的坐标系，来求椭圆的方程. 如图5-3所示，以过焦点F1, F2的直线为x轴，线段F1 F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.设M （x,y）为椭圆上任意一点，它到两焦点F1和F2的距离之和是定长2a(a>0).设椭圆的焦距是2c(c>0),则F1,F2的坐标分别是(―c,0),(c,o). 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
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根据椭圆的定义，点M满足条件|MF1|+|MF2|=2a. 由两点间距离公式，点M满足的条件可表示为 移项，得 . 两边平方，得 =-4a+. 化简，得 a=-cx. 两边再平方，得. 整理，得（）+=（）. 由椭圆定义可知，2a>2c>0,所以a2>c2,即a2-c2>0. 设a2-c2=b2(b>0)，得+=. 两边同时除以,得+=1. 这个方程叫做椭圆的标准方程.它的焦点在x轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和是2a,两个焦点的坐标是F1(-c ,0),F2(c,0),焦距是2c,这里 c2 =a2-b2 ,即c=. 如图5-5所示，如果椭圆的焦点在y轴上，则焦点的坐标是F1(0,-c), F2(0,c).将焦点在x轴上的椭圆的标准方程中的x和y互换，就可以得到 +=1(a>b>0). 这个方程也是椭圆的标准方程. 无论椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上，下面的式子总是成立的，即+. 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
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例题讲解 例1 已知椭圆的焦点坐标是F1(-4,0), F2(4,O)，椭圆上任意一点到F1和F2的距离之和是10,求椭圆的标准方程. 解：根据题意可知,c=4, 2a=10, a=5,且椭圆的焦点在x轴上,因为=a2-c2=25-16 = 9,所以椭圆的标准方程为如=1 例2 已知椭圆的标准方程为=1，求出它的焦点坐标. 解：因为a>b>0,根据椭圆的标准方程可知， a2=12,b2=3, 所以c2=a2-b2=12-3=9 ,即c=3. 又因为椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的焦点坐标为（0,-3）,（0,3）. 例3 求焦点在x轴上，a=4,且经过点A(2,)的椭圆的标准方程. 解：因为焦点在x轴上,且a=4,所以设所求椭圆的标准方程为=1. 又因为所求椭圆经过点A（2,）,所以点A的坐标（2,）满足椭圆方程，即=1. 解得=4. 因此，所求椭圆的标准方程为=1. 深入理解 教材P151 练习 椭圆的几何性质 我们知道，解析几何是利用曲线的方程来研究曲线性质的.通过对曲线方程的讨论，了解曲线的形状、大小和位置关系.下面，我们就利用椭圆的标准方程+=1(a>b>0)来研究椭圆的几何性质. 先观察图5-6,你能从图中看出椭圆的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上的哪些点比较特殊？ 巩固新知，通过例题深入理解。 巩固新知。 利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，总结分析性质解决教学重点。
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(
图5-6
)（1）范围. 由椭圆的标准方程可知，椭圆上任意一点的坐标（x,y），都适合不等式即, 所以-axa， -b. 这说明，椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，其中还有四个点在矩形上.矩形的两组对边长分别为2a和2b,对角线交点是坐标原点. （2）对称性. 在曲线方程中，如果把x换成-x方程不变，这说明当点M (x,y) 在曲线上时，它关于y轴的对称点M’(-x,y)也在曲线上，即曲线关于y轴对称.同理，如果把y换成-y,方程不变，说明曲线关于x轴对称.如果同时把x换成-x,y换成-y,方程不变，说明曲线关于原点对称. 在椭圆的标准方程中，把x换成-x,或把y换成-y,或同时把x,y换成-y,方程都不变，这说明椭圆曲线关于y轴,x轴和原点都是对称的. 由此可知，椭圆+=1有两条对称轴，即x轴和y轴；椭圆有一个对称中心,即原点；椭圆的对称中心称为椭圆的中心. （3）顶点. 研究曲线上某些特殊点的位置，可以帮助我们确定曲线的位置.要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与坐标轴的交点坐标. 在椭圆的标准方程+=1中,令x=0中，得y=±b,可知椭圆与y 轴的两个交点是B1(0,-b)和B2(0,b).同样，在椭圆的标准方程中，令y=0,得x=±a,可知椭圆与x轴的两个交点是A1(-a,0)和A2(a,0). A1,,A2，B1,B2是椭圆与它的对称轴的四个交点，它们叫做椭圆的顶点. 线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b, a和b分别叫做长半轴长和短半 利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，总结分析性质解决教学重点。
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轴长. 综合上述讨论，再根据x,y的对应值的变化情况，我们即可断定椭圆的形状. 同样，还可以对椭圆+=1进行类似的讨论. 离心率 讨论：图5-7所示是三个不同的椭圆.我们发现，它们的扁平程度是不一样的，那么用什么量来刻画椭圆的扁平程度呢？请同学们完成表5-1后回答这个问题. 表5-1 acb草图a1=10c1=2b1=4 (
图5-7
)a2=10c2=b2=3a3=10c3=3b3=1
可以发现，c越接近于a,椭圆越扁，因此我们可以利用a,c两个量来刻画椭圆的扁平程度. 椭圆的焦距与长轴长的比e==叫做椭圆的离心率. 因为a>c>0,所以0教学环节： 意图 复备
解：根据椭圆的标准方程+=1及a>b>0可知， a=5,b=3. 根据=b2+c2 ,得c2=25-9=16,故c=4. 于是，椭圆的长轴长为10,短轴长为6,焦距为8;顶点坐标为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3), B2(0,3)；焦点坐标为F1(-4,0),F2(4,0)；离心率为e==. 例5 已知椭圆的离心率e=，焦距为10,焦点在y轴上，求椭圆的标准方程. 解：由已知，得2c=10, e==, 于是,c=5,a=10,b2=100-25=75. 所以椭圆的标准方程为+=1. 例6 如图5-8所示，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆，地球的中心F2是它的一个焦点，近地点A距地面439公里，远地点B距地面2384公里，并且F2, A, B三点在同一条直线上.已知地球半径为6371公里，求卫星的轨道方程.(结果保留整数) 解：如图5-8所示，建立直角坐标系，使点F2, A, B在x轴上，F2为椭圆的右焦点(记F1为左焦点)，则 a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+439=6810, a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384=8755. 解得 a=7782.5, c=972.5. ∴b== =,利用计算器求得b7721. 因此，卫星的轨道方程为+=1 例7 点M（x,y）与定点(c,0)的距离和它到定直线l:的距离的比是常数(a>c>0)，求点M的轨迹. 巩固新知，通过例题深入理解。
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解：如图5-9所示，设d是点M到直线l的距离，根据题意可知,所求轨迹就是集合，即P={M|}. 由此得= 将上式两边平方并化简，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2). (
图
5-9
)设a2-c2=b2，就可化成+=1. 这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴为2a，短轴为2b的椭圆. 这个例题告诉我们，当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(0作业：
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