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5.2　双曲线的标准方程和性质
教学内容：双曲线的标准方程和性质
教学目标： 1．理解和掌握双曲线的标准方程和性质． 2．掌握双曲线的几何性质，在习题中灵活运用．
教学重难点： 重点：双曲线的标准方程和性质． 难点：灵活运用双曲线的定义和性质解决问题．
核心素养：数学抽象
教具准备：PPT
教学环节： 意图 复备
（一）引例导入 如图5-14所示，把一条拉开一部分的拉链分成一长一短两支，将拉开的两头分别固定在F1和F2处，把笔尖放在拉头处，随着拉链的开合，移动笔尖M，可画出一条曲线.再把拉链的长短两端互换，用同样的方法可画出另一条曲线，这两条曲线构成的是什么呢 （二）双曲线的标准方程 引例的试验中画出的这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.双曲线也是一种我们经常见到的曲线，如发电厂通风塔的外部轮廓是双曲线，一些天体运行的轨道等都是双曲线. 从试验的过程，我们不难看出： （1）笔尖不停地移动； （2）F1，F2两点的位置保持不变； （3）动点M到两定点F1和F2的距离之差始终保持不变,等于拉链原长短的长度之差. 根据上面的分析,可以得到双曲线的定义： 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|,且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1和F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距. 下面，我们根据双曲线的几何特征，选择适当的坐标系，求双曲线的方程. 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
教学环节： 意图 复备
如图5-15所示，以过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.设点M(x,y)为双曲线上任意一点,它到两焦点F1和F2的距离之差的绝对值是定长2a (a>0).设双曲线的焦距是2c (c>0),则两焦点F1,F2的坐标分别是(-c,0)，(c,0). 根据双曲线的定义，点M满足的条件为 |MF1|-|MF2|=2a . 由两点间距离公式，点M满足的条件可表示为 类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简上式，得 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). 由双曲线的定义可知，2c>2a>0,所以c2>a2,即c2-a2>0. 设c2-a2=b2 (b>0)，得b2x2-a2y2=a2b2. 两边同除以a2b2,得-=1(a>0,b>0). 这个方程叫做双曲线的标准方程.它所表示的双曲线的焦点在x轴上,双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值是2a,两个焦点的坐标是F1(-c,0),F2 (c,0)，焦距是2c,此处c2=a2+b2 ,即c=. -=1(a>0,b>0)这个方程也是双曲线的标准方程. (
图5-16
)
无论双曲线的焦点是在x轴上，还是在y轴上, 下面的式子总是成立的，即c2=a2+b2. 例题讲解 例1 已知双曲线的焦点F1(-5,0), F2(5,0),且双曲线上任意一点到它们的距离之差的绝对值是8,求双曲线的标准方程. 解：根据已知，有c=5, 2a=8,a=4,且双曲线的焦点在x轴上. ∴b2=c2-a2=25-16=9. 因此，所求的双曲线的标准方程是-=1 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 巩固新知，通过例题深入理解。
教学环节： 意图 复备
例2 已知双曲线的标准方程为-=1,求出它的焦点坐标. 解：根据双曲线的标准方程，可知a2=7,b2=9， 所以c2=a2+b2=7+9=16，即c=4. 又因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的焦点坐标为（0，-4），（0,4）. 例3 设双曲线的一个焦点是F1(-10,0),且=,求双曲线的标准方程. 解：根据已知条件，有c=10,=,且双曲线的焦点在x轴上. ∴a=6 ,b2=c2-a2=100-36=64. 因此，所求双曲线的标准方程是-=1 双曲线的几何性质 类比讨论椭圆几何性质的方法，研究双曲线-=1(a>0,b>0)的几何性质. （1）范围 由双曲线的标准方程可知，双曲线上任意一点的坐标（x,y），都适合不等式即,， 所以,x-a或x. 这说明，双曲线位于直线x=-a和x=a的外侧，其中还有两个点分别在两条直线上. （2）对称性. 类比研究椭圆对称性的方法可得，双曲线-=1关于x轴，y轴和原点都是对称的.因此，双曲线有两条对称轴，即x轴和y轴；有一个对称中心，即原点，双曲线的对称中心称为双曲线的中心. （3）顶点 在双曲线的标准方程-=1中,令y=0,得x=±a,可知双曲线与x轴的两个交点是A1(-a,0)和A2(a,0).同样，在双曲线的方程中，令x=0,得=-,这个方程无实根，说明双曲线与y轴没有交点.但我们也把点B1(0,-b)和点B2(0,b)画在数轴上，如图5-17所示. 巩固新知，通过例题深入理解。 类比讨论椭圆几何性质的方法，研究双曲线几何性质，解决教学重点。
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点A1，A2是双曲线与它的对称轴的两个交点，它们叫做双曲线的顶点. 线段A1A2, B1B2分别叫做双曲线的实轴和虚轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做实半轴长和虚半轴长. (4)渐近线. 如图5-17所示，经过A2,A1两点作平行于y轴的直线x=±a,经过B2,B1两点作平行于x轴的直线y=±b,四条直线围成的矩形的对角线所在的直线方程是y=±x.从图中可以看出,双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，但永不相交. 我们把这两条直线y=±x叫做双曲线-=1的渐近线. 当a=b时，双曲线的实轴长与虚轴长相等，我们称这样的双曲线为等轴双曲线.此时，直线x=±a和y=±b所围成的矩形为正方形，渐近线方程为y=±x. 同样地，可以对双曲线-=1进行类似的讨论. 利用双曲线的渐近线，可以简单地画出双曲线的草图.首先，画出双曲线的渐近线，再确定双曲线的顶点及第一象限内的任意一点的位置；然后，过这两个点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分；最后，利用双曲线的对称性画出完整的双曲线. (5)离心率 与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比e==叫做双曲线的离心率.因为c>a>0,所以e>1,即双曲线的离心率是一个大于1的数. 特别地，等轴双曲线的离心率等于. 显然，e越大，越大.即渐近线y=±x的斜率的 类比讨论椭圆几何性质的方法，研究双曲线几何性质，解决教学重点。
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绝对值越大，说明双曲线的开口越大. 例题讲解 例4 求双曲线-=1的实轴长、虚轴长、焦距、离心率、顶点坐标、焦点坐标和渐近线方程. 解：根据双曲线-=1的标准方程，得a=4,b=3. 根据c2=a2+b2,得c2=16+9=25，故c=5. 于是，双曲线的实轴长为8,虚轴长为6,焦距为10,离心率为e==，顶点坐标为A1(-4,0), A2(4,0),焦点坐标为F1(-5,0), F2(5,0),渐近线方程为y=±x. 例5 已知双曲线的离心率e=3,虚半轴长为2,焦点在x轴上，求双曲线的标准方程. 解：根据已知，有 解得= 1. 故所求双曲线的标准方程为-=1. (
图5-18
)例6 如图5-18所示，某电厂冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所形成的曲面.其中，A,A’是双曲线的顶点，C, C’是冷却塔上口直径的两个端点，B,B’是冷却塔下底直径的两个端点.已知AA' =14m,CC' =18m, BB' =22 m,塔高20 m.试建立坐标系，求出这个双曲线的方程. 解：如图5-19所示，以AA’所在直线为X轴，线段AA’的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则CC'与BB'都平行于x轴. 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0)，则a=AA'=7. 又设B(11，y1), C(9,y2),因为点B和点C在双曲线上，所以有 -=1，-=1.又y2-y1=20, 由以上三式，解得y1=-12,y2=8,b=7.故所求双曲线方程为-=1. 巩固新知，通过例题深入理解。
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例7 点M（x，y）与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹. 解：如图5-20所示,设d是点M到直线l的距离， 根据题意可知，所求轨迹就是集合，即P={M|由此得. 将上式两边平方并化简，得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). 设c2-a2=b2 ，就可化成-=1(a>0,b>0). 这是双曲线的标准方程，所以点M的轨迹是实轴长为2a,虚轴长为2b的双曲线. 这个例题告诉我们，当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=（e>1）时，这个点的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 对于双曲线-=1,相应于焦点F（c,0）的准线方程是x=，根据双曲线的对称，相应于焦点F’（-c，0）的准线方程是x=-，所以双曲线有两条准线. 深化练习 教材P171 习题二 课堂小结 双曲线标准方程：-=1(a>0,b>0) 离心率：e= 渐近线：y=±x 巩固新知，通过例题深入理解。 巩固新知。 总结归纳本节课内容，强调学习重难点。
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