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7.1　复数的概念
教学内容：复数的概念
教学目标： 1．通过实例，理解和掌握复数的概念． 2．理解复数的几何意义．
教学重难点： 重点：复数的概念． 难点：复数的几何意义．
核心素养：数学抽象
教具准备：PPT
教学环节： 意图 复备
（一）引例导入 在实数范围内，方程x2+2=0有两个实数根x=，而对于方程 x2 =-1则无实数根，即对于一元二次方程ax2+bx+c=O(aO),当时方程无解，我们无法利用求根公式来求得它的根.为了解决这个问题，人们将实数集进行了扩充，从而使方程x2=-1有解. （二）复数的有关概念 人们引进了一个新数i,称为虚数单位，并规定： （1）i2=-1; （2）i与实数在一起可以按照实数的运算法则进行四则运算. 在这种规定下，i可以与实数b相乘，再与实数a相加，结果可以写成a+bi；这样，形如a+bi(a，bR)的数，我们把它叫做复数.通常用字母z表示，即z=a+bi(a，bR)，也称作复数的代数形式.全体复数的集合，称为复数集.一般用大写字母C表示，即C={z|z=a+bi，(a,bR)}.如3+4i，-i，-2i，10等都是复数. 复数a + bi(a,bR)的确定要由a与b来决定.a与b分别叫做复数的实部与虚部.对于复数a+bi，当b=0时，就是实数；当b0时，叫做虚数；当a=0，b0时，叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C，因此，复数z=a+bi的分类如下： 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
教学环节： 意图 复备
这样，数集就由实数集扩充到了复数集.复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系，可用图7-2表示. 当两个复数的实部相等且虚部互为相反数时，我们称这两个复数为共轭复数.复数z的共轭复数通常用表示, 即复数z=a+bi的共轭复数是=a-bi,如复数3+2i的共轭复数是3-2i.而实数a的共轭复数仍是它本身.如果两个复数a+bi和c+di的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等,记作a+bi=c+di，即 a+bi=c+di<=>a=c且b=d（a，b，c，d R）. 特别地，a+bi=0<=>a=0且b=0. 应该注意的是，两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是实数，它们就不能比较大小，只能说相等或不相等.如1与i，2-i与3+2i,无大小可言. 例题讲解 例1 已知复数（m2-3m-4）+（m-6）i，求当实数m为何值时，这个复数表示的是 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 分析：根据虚数与纯虚数的定义，当m-6时是虚数；当m2 -3m-4=0且m-6时是纯虚数. 解：（1）当m-6=0，即m=6时，该复数是实数. （2）当m-6，即m6时，该复数是虚数. （3），得，即时，该复数是纯虚数. 例2 已知复数（5x-3y）+3xi=1+(9-y)i,x,y求x和y的值. 分析：根据两个复数相等的定义可知，两个复数的实部5x-3y与1，虚部3x与9-y应分别相等，列出方程组可求出x和y的值. 解：根据两个复数相等的定义，得方程组 解这个方程组，得 巩固新知，通过例题深入理解。
教学环节： 意图 复备
复数的几何意义 我们知道，实数可以用数轴上的点来表示.由复数的概念可知，任何一个复数都对应着唯一的一个有序实数对(a,b).所以，我们可以借助于平面直角坐标系来表示复数. 在平面直角坐标系中，每一个有序实数对(a,b) a+" (
图7-3
)都唯一确定一点Z(a, b)或一个向量=(a,b).点Z(a,b)和向量= (a,b)都是复数z=a+bi的几何表示，如图7-3所示. j ~O\ x 这个建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面.我们把复平面内的x轴叫做实轴，y轴去掉原点的部分叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数. 这样，在复平面内，复数z=a+bi与点Z(a,b)以及向量=(a,b)都是一一对应的，即 z=a+biZ(a,b)<=>, 因此,我们常把复数z=a+bi说成点Z(a,b)或者说成向量.根据向量相等的定义，我们还规定，相等的向量表示同一个复数. 在图7-4中,向量的模r(有向线段OZ的长度)叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|,即 |z|=|a+bi|=r=. 以x轴的正半轴为始边，向量为终边的角叫做复数z=a+bi的辐角，用arg z表示.由图7-4可以看出，tan= ,所在的象限由点(a, b)来确定. 由于终边相同的角相差2的整数倍，可以知道非零复数的辐角不是唯一的.若角是复数z的一个辐角，则角+2k(k)也是复数z的辐角，即arg z=+2k(k). 我们把[0,2)范围内的辐角的值叫做辐角的主值，通常记作arg z,即0arg z2. 零向量没有确定的方向，因此复数0的辐角是不确定的. 例题讲解 例3 已知z∈C，满足下列条件的复数z对应的点Z的集合是什么图形 并作出各自的图形. 通过数轴上的点理解复数的几何意义。
教学环节： 意图 复备
(1)|z|=2； (2) 2<|z|<4. 分析：(1)|z|=2,说明点Z到原点的距离等于2,因此图形是一个圆；(2)2<|z|<4表示的是圆|z|=4的内部与圆|z|=2的外部的所有点组成的集合. 解：(1)|z|=2,就是说，向量的模(点Z到原点的距离)等于 2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆, 如图7-5 (1)所示. (2)不等式2<|z|<4可化为不等式组，即 不等式|z|<4的解集是圆|z|=4的内部所有点组成的集合，不等式|z|>2的解集是圆|z|=2的外部所有点组成的集合.这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足2<|z|<4的点Z的集合. 容易看出,所求的集合是以原点0为圆心，以2和4为半径的圆所夹的圆环，但是不包括圆环的边界，如图7-5 (2)所示. (
（2）
图7-5
) 例4 求下列复数的模与辐角主值. （1）z=i (2)z=. 分析：复数的辐角主值所在的象限由点(a,b)来确定，其大小由tan=确定. 解：(1) ∵a=,b=,∴|z|=2,由 tan==1, 点Z(,)在第一象限， ∴复数z的辐角主值=. ∵a =,b=-1,r=2 , tan==-,点Z(,-1)在第四象限， ∴复数z的辐角主值 深入理解 教材P240 习题一 巩固新知，通过例题深入理解。 巩固新知。
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