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8.5　二项式定理
教学内容：二项式定理
教学目标： 1．通过实例，理解和掌握二项式定理和性质． 2．利用二项式定理解题．
教学重难点： 重点：理解和掌握二项式定理和性质． 难点：利用二项式定理解题．
核心素养：数学抽象
教具准备：PPT
教学环节： 意图 复备
（一）引例导入 (a+b)1=a+b； (a+b)2=a2+2ab+b2; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ； (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 如果(a+b)n的指数n继续增大，我们仍然根据多项式乘法展开显然会越来越麻烦，那么能否找到一种更为简单的方法展开(a+b)n呢？ （二）二项式定理的概念 通过观察，我们可以发现： （1）从展开式的项数看，不难发现，每个展开式的项数都比(a+b)n中的指数n多1. (2)从a与b在各项中的次数来看，a在第一项中的次数最高，恰好等于(a+b)n中的指数n,从第二项开始，a在每一项中的次数都比前一项少1,直到最后一项，a的次数为0；b的次数正好相反，它在第一项中的次数为0,从第二项开始，b在每一项中的次数都比前一项多1,直到最后一项，b的次数恰好等于(a+b)n中的指数n.也就是说，展开式中各项的次数和都等于(a+b)n中的指数n. (3)从展开式各项的系数看，我们不难发现它的对称性，即与两端“距离相等”的两项系数相等.至于每一项的系数是如何确定的，我们还需以(a+b)4为例看一下它的展开过程. (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b),当我们把它展开时，展开式的每一项，就是从每个括号里任取一个字母的乘积，因此展开式应有下列形式的各项，即 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
教学环节： 意图 复备
a4,a3b,a2b2,ab3,b4. 根据组合的知识，可以发现展开式各项系数的规律如下： ①在4个括号中，都不取b,共有1种，即,所以a4的系数是； ②在4个括号中，恰有1个取b,共有种，所以a3b的系数是； ③在4个括号中，恰有2个取b,共有种，所以a2b2的系数是； ④在4个括号中，恰有3个取b,共有种，所以ab3的系数是； ⑤在4个括号中，4个都取b,共有种，所以b4的系数是. 因此，有 (a+b)4=a4+a3b+a2b2+ab3+b4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 根据以上分析，得 (a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5 =a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5. 一般地，对于任意正整数n，上述关系式也是成立的，即(a+b)n=an+an-1b1+…+an-rbr+…+bn. 这里，n∈N+.这个公式表示的定理叫做二项式定理.等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，展开式中的an-rbr叫做二项展开式的通项，用T(r+1)表示，即二项展开式的第r+1项为T(r+1)=an-rbr. 遇到n是比较小的正整数时,二项式系数可直接利用下表计算: (a+b)0 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 ... 这个表叫做杨辉三角. 例题讲解 例1 写出（1+的展开式. 解：（1+=1+5（）+10+10+5 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
教学环节： 意图 复备
=1+++++. 例2 写出(2a -3b)6的展开式. 解:(2a-3b)6 =(2a)6+(2a)5(-3b)1+(2a)4(-3b)2 +(2a)3(-3b)3+(2a)2(-3b)4+(2a)1(-3b)5+(-3b)6 =64a6-576a5b+2160a4b2-4320a3b3+4860a2b4 -2916ab5+729b6. 说明：例1中展开式各项的二项式系数是利用书中所给的数表计算的，例2中展开式各项的二项式系数是利用二项式定理计算的.一般地, 当n不大于5时可借助于数表，直接写出二项式系数；当n大于5时需用二项式定理计算，且最终要将结果进行整理. 例3 求(2a -b)8展开式中的第6项及第6项的二项式系数. 解：∵r+1=6, ∴r=5, T6=(2a)8-5(-b)5=-568a3b5=-448a3b5 , 其中，=56. 答：第6项是-448a3b5,第6项的二项式系数是56. 说明：利用通项公式求展开式的某一项时，关键是确定公式中所需要的r；另外，二项展开式中某一项的二项式系数与这项的系数是两个不同的概念.本例中，56是第6项的二项式系数，而-448是第6项的系数. 二项式系数的性质 (a+b)n的展开式各项的二项式系数是一列组合数，即 ,,,...,,. 通过观察，我们可以得到二项式系数的下列性质： (1)对称性. 在二项展开式中，与首、末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. (2)单调性与最大值. 在二项展开式中，二项式系数是先增后减，中间最大. 当n是偶数时，展开式共有n+1项，而n+1是奇数，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大. 当n是奇数时，展开式共有n+1项，而n+1是偶 巩固新知，通过例题深入理解。
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数，所以展开式有中间两项，这两项的二项式系数相等并且最大. 各二项式系数的和. 通过观察，我们发现： 1+1=2； 1+2+1=4=22； 1+3+3+1=8=23； 1+4+6+4+1=16=24； 1+5+10+10+5+1=32=25 ； 1+6+15+20+15+6+1=64=26； … 事实上，我们利用 (1+x)n=+x+x2+…+n， 令x=1，就可得到 n=+++…++…+. 这就是说，(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n. 例题讲解 证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明：在展开式(a+b)n=an+an-1b1+an-2b2+…+bn中，令a=1,b=-1,则有(1-1)n=-+-…+(-1)n. 于是,有 0=(++…)-(++…), 所以++…=++… 即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 深入理解 教材P300 习题五 巩固新知，通过例题深入理解。 巩固新知。
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