资源简介

8.1　计数原理
教学内容：计数原理
教学目标： 1．通过实例，理解和掌握计数原理的概念． 2．掌握分步计数的加法、乘法原理．
教学重难点： 重点：计数原理的概念． 难点：掌握分步计数的加法、乘法原理．
核心素养：数学抽象
教具准备：PPT
教学环节： 意图 复备
（一）引例导入 由甲地运送物资到乙地，可利用运输机、火车或汽车三类方式.若一天里有4班汽车，2班运输机，3班火车，问一天中将物资从甲地运往乙地共有多少种不同的运输方法？ 我们可以将各种不同的运输方法列出来，如图8-1所示. (
图8-1
) （二）分类计数的加法原理 上述每一种运输方法都可以完成将物资从甲地运送到乙地这项任务.可以看出，一天中完成这件事共有三类方式：第一类是乘汽车，依时间有4种走法；第二类是乘运输机，依时间有2种走法；第三类是乘火车，依时间有3种走法.显然，将物资从甲地运送到乙地的不同走法的种数，恰好是三类走法的和，即4+2+3=9种不同的走法. 一般地，有如下原理: 分类计数的加法原理 做一件事，完成它可以有n类方式，在第一类方式中有m1种不同的方法，在第二类方式中有m2种不同的方法，…,在第n类方式中有mn种不同的方法.无论通过哪类方式的哪种方法，都可以独立地完成这件事，那么完成这件事共有 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
教学环节： 意图 复备
N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 例题讲解 例1 货架分为上、下两层，上层有12台笔记本电脑，下层有7台台式电脑，从中任取一台电脑，共有多少种不同的取法？ 解：取一个笔记本电脑或取一个台式电脑都能完成“取一台电脑”这件事.显然，有两类不同的方式：第一类方式是在12台笔记本电脑中任取一台，有12种取法；第二类方式是在7台台式电脑中任取一台，有7种取法.根据分类计数的加法原理，可得到不同取法的种数为 N =12+7=19. 答：共有19种不同的取法. 例2 会计一班有学生50人,其中男生20人，女生30人；会计二班有学生56人，其中男生22人，女生34人；会计三班有学生60人，其中男生20人，女生40人. (1)从三个班中任选一名学生作为学生会干部候选人，有多少种不同选法？ （2）从会计一班、二班两个班的学生中选一名男生或从会计三班的学生中选一名女生到学生会文体部工作，有多少种不同选法？ 解：(1)从三个班中任选一名学生作为学生会干部候选人，可以分三类方式完成：第一类方式是在会计一班的学生中选，有50种选法；第二类方式是在会计二班的学生中选，有56种选法；第三类方式是在会计三班的学生中选，有60种选法.根据分类计数的加法原理，可得到不同的选法为 N=50+56+60+166. (2)从会计一班、二班两个班的学生中选一名男生或从会计三班的学生中选一名女生到学生会文体部工作，可以分三类方式完成：第一类方式是在会计一班的学生中选一名男生，有20种选法；第二类是在会计二班的学生中选一名男生，有22种选法；第三类是在会计三班的学生中选一名女生，有40种选法.根据分类计数的加法原理，可得到不同选法的种数为 N=20+22+40=82. 加法原理与分类有关.如果完成一件事有n类方式，这n类方式彼此之间是相互独立的，不论哪类方式的哪种方法，都可以独立完成这件事，求完成这件事的方法种数时，就用分类计数的加法原理. 引例导入 如图8-2所示，如果从甲地到乙地的道路有4条，从乙地到丙地的道路有2条，那么从甲地经过乙地到丙地，共有多少种不同的走法 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。
教学环节： 意图 复备
各种不同的走法如图8-3所示. (
图8-3
) 从甲地到乙地有4种不同走法，按照这4种不同走法中的每一种走法到达乙地后，再从乙地到丙地又有2种不同走法.因此，从甲地经过乙地到丙地，共有42=8种不同的走法. 分步计数的乘法原理 一般地，有如下原理： 分步计数的乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法.必须经过每一个步骤才能完成这件事，那么完成这件事共有 N=m1 m2 … mn种不同的方法. 例题讲解 例1 从甲、乙、丙3名篮球裁判中任选2名分别担任男篮主裁判和女篮主裁判，共有多少种不同的选法？ 解：要想完成“选男篮主裁判和女篮主裁判”这件事需要分成两个步骤：第一步在甲、乙、丙3名篮球裁判中选出男篮主裁判，共有3种方法；第二步在余下的2名篮球裁判中再选出女篮主裁判，共有2种方法. 根据分步计数的乘法原理，得到不同的选法种数为 N =32=6. 答：共有6种不同的选法. 乘法原理与分步有关.如果完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤都不能缺少, 且必须依次完成所有步骤，才能完成这件事, 而完成每一个步骤各有若干方法.求完成这件事的方法种数，就用分步计数的乘法原理. 例3 由数字1，2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字的两位偶数？ 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 巩固新知，通过例题深入理解。
教学环节： 意图 复备
解法1：要组成没有重复数字的两位偶数，可以有两类方式：一类是用2做个位数字，另一类是用4做个位数字. 当个位数字是2时，十位数字只能有1, 3, 4, 5这4种可能；当个位数字是4时，十位数字只能有1, 2, 3, 5这4种可能. 根据分类计数的加法原理，能组成没有重复数字的两位偶数的个数是 N=4+4+8. 解法2：要组成没有重复数字的两位偶数，可以分成两步完成：先确定个位数字的可能个数,再确定十位数字的可能个数. 显然，个位数字只有2和4这2种可能. 不论2或4哪个做个位数字，十位数字都可以由余下的4个数字组成. 根据分步计数的乘法原理，组成没有重复数字的两位偶数的个数是N=24=8. 答：由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成8个没有重复数字的两位偶数. 说明：可以看出,对于同一个问题，由于分析的角度不同，使用两个基本原理的情况也不尽相同.两个基本原理的共同点在于都是研究“做一件事” “共有多少种不同方法”.它们的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关. 深入理解 教材P275 习题一 巩固新知，通过例题深入理解。 巩固新知。
作业：
板书设计：

展开更多......

收起↑