资源简介

8.3　组合
教学内容：组合
教学目标： 1．通过实例，理解和掌握组合公式和性质． 2．利用组合公式和性质解决问题．
教学重难点： 重点：组合公式和性质． 难点：利用组合公式和性质解决问题．
核心素养：数学抽象
教具准备：PPT
教学环节： 意图 复备
（一）引例导入 从甲、乙、丙3支球队中选出2支球队做表演赛，共有多少种不同的选法？ （二）讲授新课 这个问题与前面的“从甲、乙、丙3支篮球队中产生冠、亚军各1队，共有多少种不同的可能结果”的问题相比，虽然都是从3个元素中取出2个元素，前者要把选出的2支球队按照冠、亚军的顺序排列，我们说它与顺序有关.而后者选出2支球队做表演赛，不需要按 照顺序排列，我们说它与顺序无关.这就是我们要学习的组合问题. 一般地，从n个不同元素中，任取m(m个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合. 引例中要确定的选法数，实际上就是要求从3个不同的元素中取出2个元素的所有组合的个数. 从排列与组合的定义可以看出，它们的共同点都是从n个不同元素中取出m个元素，但不同的是，排列与取出的元素的顺序有关，组合则与取出的元素的顺序无关. 只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，只要两个组合的元素相同，不论元素排列的顺序如何，都是相同的组合.例如，ab，ba是两个不同的排列，但它们是同一个组合. 类比排列数的问题，我们引进下面的概念. 从n个不同元素中，任取m(m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
教学环节： 意图 复备
例如，从3个不同的元素中取出2个元素的组合数表示为,从7个不同的元素中取出4个元素的组合数表示为. 那么，组合数如何计算呢？ 下面,我们从分析组合数与排列数的关系入手，推导出组合数的计算公式. 例如，从4个不同的元素a，b，c,d中取出3个元素的排列与组合的关系如图8-9所示. (
图8-9
) 当我们把所有的排列都列举出来后，就会发现其中每6个不同的排列都是由同一个组合的3个元素排列而成的. 因此，求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数,可以考虑按下面两个步骤完成： 第一步，从4个不同的元素中取出3个元素做组合，共有个； 第二步，对每个组合中的3个不同元素做全排列，各有个. 根据分步计数原理，得 = . 因此，=. 一般地，求从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，可以考虑按下面两个步骤完成： 第一步，从n个不同的元素中取出m个元素做组合，共有个； 第二步，对每个组合中的m个不同元素做全排列，各有个. 根据分步计数原理，得 = . 因此，我们得到组合数公式为 ==. 这里，n，m∈N+，并且mn. 另外，我们规定=1.
教学环节： 意图 复备
（三）例题讲解 例1 利用计算器计算：（1）；（2）. 解：（1）按（nCr） 结果显示210. （2）按（nCr） 结果显示56. 例2 计算：和. 解：==35，==35. 从这个例题可以看出，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，也就是说，从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合；反过来也是一样.因此，从n个不同元素中取出m个元素的组合数等于从n个不同元素中取出n-m个元素的组合数，即 =. 当m>时，我们通常不直接计算，而改为计算，这样会比较简便. 例3 计算：====4950 例4 某段铁路上有12个车站，在应准备的普通硬座车票中，共有多少种不同的票价 解：因为票价与两个车站的顺序无关，所以这是一个从12个元素中任取2个不同元素的组合问题. 因此，应有==66种不同票价. 例5 在产品检验时，我们常从产品中抽取一部分进行检验，现在从100件产品中抽取3件. 求一共有多少种不同的取法？ 如果100件产品中有2件次品，那么抽取出的3件产品中恰好有1件次品的取法有多少种 如果100件产品中有2件次品，那么抽出的3件产品中至少有1件次品的取法有多少种？ 解：(1)所求的不同的取法种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，即 ==161700 答：共有161700种取法. (2)分为两步考虑：第一步，从2件次品中抽出1件的取法有种；第二步，从98件合格品中抽出2件的取法有种.根据分步计数原理, 抽出的3件产品中恰好有1件次品的取法种数是 巩固新知，通过例题深入理解。
教学环节： 意图 复备
=2 答：3件产品中恰好有1件次品的取法有9506种. (3)从100件产品中任意抽取3件，一共有种取法，在这些取法中，减掉抽出的3件都是合格品的取法种，便得出3件中至少有1件次品的取法种数，即 700-152096=9604. 本小题也可以这样来解： 从100 产品中抽出的3件产品中至少有1件次品的取法，包括有恰有1件次品和恰有2件次品两类情况.其中，恰有1件次品的取法有 种，恰有2件次品的取法有 种.因此，根据分类计数原理，至少有1件次品的取法的种数为 + = 9506+98=9604. 答：3件产品中至少有1件次品的取法有9604种. （四）深入理解 教材P290 习题三 巩固新知，通过例题深入理解。 巩固新知。
作业：
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