资源简介

8.2　排列
教学内容：排列
教学目标： 1．通过实例，理解排列的意义． 2．掌握排列公式及推导方法．
教学重难点： 重点：排列的意义． 难点：掌握排列公式及推导方法．
核心素养：数学抽象
教具准备：PPT
教学环节： 意图 复备
（一）引例导入 某职业学校三个年级有甲、乙、丙共3支篮球队.现在要从甲、乙、丙这3支球队中产生冠、亚军各1队，共有多少种不同的可能结果？ （二）讲授新课 下面，我们分两步来解决这个问题： 第一步，先确定冠军队.从甲、乙、丙这3支球队中任选1队为冠军，有3种可能； 第二步，再确定亚军队.这时，只能从余下的2支球队中去选，有2种可能. 根据分步计数的乘法原理，由甲、乙、丙共3支球队中产生冠、亚军各1队，共有32=6种可能结果.这6种不同结果表示如图8-5所示. (
图8-5
) 这个问题就是从甲、乙、丙共3个球队中每次取出2个队，按照冠军队在前，亚军队在后的顺序排列，计算共有多少种不同的排法. 把上面问题中被取的对象叫做元素.于是，问题可以叙述为：从3个不同元素a, b, c中任取2个，按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法. 它的所有不同的排列方法是：ab, ba, ac, ca, bc, cb.
提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
教学环节： 意图 复备
类似这样的问题有很多，下面我们再看一个例子： 由数字1, 2, 3, 4可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 这个问题就是从1, 2, 3, 4这4个数字中每次取出3个，按照百位、十位、个位的顺序排列组成三位数，计算共有多少种不同的排法. 我们分三步来解决这个问题： 第一步，先确定百位数字，从1, 2, 3, 4这4个数字中任选1个作为百位数字，有4种选法； 第二步，再确定十位数字，这时只能从余下的3个数字中去选，有3种选法； 第三步, 再确定个位数字, 这时只能从余下的2个数字中去选，有2种选法； 根据分步计数原理，由数字1, 2, 3, 4可以组成的没有重复数字的三位数共有4如图8-6所示. (
图8-6
) 一般地，从n个不同元素中，任取m(m按一定顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列. 特别地，当m=n时，也就是把n个不同元素全部取出来的一个排列，叫作n个不同的元素的一个全排列. 从n个不同元素中，任取m(m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 例如，从3个不同的元素中取2个素的排列数可表示为=32=6，从4个不同的元素中取出3个元素的排列数可表示为=432=24. 那么，排列数如何计算呢？ 先看两个具休的排列数计算的例子. （1）计算排列数. (
图8-7
)我们可以这样考虑：假设有排好顺序的2个空位（图8-7），从7个不同元素a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7中任意取2个去填空,—个空位填一个元素，每一种填法就得到一 个排列；反过来，任意一个排列总可以由这样的一种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数. 个元素，按一定顺序 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
教学环节： 意图 复备
那么有多少种不同的填法昵？事实上，完成这件事可分成两步： 第一步，先排第1个位置的元素，可以从这7个元素中任选1个填上，有7种方法； 第二步，确定排在第2个位置的元素，可以从剩下的6个元素中任选1个填上，有6种方法. 于是，根据分步计数原理，得到排列数为 =76=42. （2）计算排列数. 显然，计算排列数可以按依次填3个空位来考虑，得到 =765=210. 由此，我们可以类似地得到 =n (n-1)； = n (n -1) (n-2)； … 关于排列数的计算，我们可以这样考虑：假设有排好顺序的m个空位(图8-8)，从n个不同元素a1,a2 ,…，an中任意取m个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任意一个排列总可以由这样的一种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数. 那么，有多少种不同的填法呢？事实上，完成这件事可分成m步： 第一步，先排第1个位置的元素，可以从这n个元素中任选一个填上，有n种方法； 第二步，确定排在第2个位置的元素，可以从剩下的n-1个元素中任选一个填上，有n-1种方法； 第三步，确定排在第3个位置的元素，可以从剩下的n-2个元素中任选一个填上，有n-2种方法； ... 第m步，确定排在第m个位置的元素，可以从剩下的n-(m-1)个元素中任选一个填上，有n-m+1种方法. 根据分步计数原理，全部填满m个空位共有n （n-1） （n-2） … （n-m+1）种填法. 于是，我们得到排列数公式为 =n (n-1) (n-2) … (n-m+1). 这里，n,m∈N+,并且m 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
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(
第位
) （三）例题讲解 例1 计算：（1）；（2）. 解：（1）=8 = 本题可利用计算器直接计算结果： 按（nPr） 结果显示6720； 按（nPr） 结果显示5040. 在排列数公式中，当m=n时，有 n-1) (n-2) … 3 2 1 这个公式告诉我们，n个不同元素的全排列数恰好等于自然数1到n的连乘积.我们把自然数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n!表示.这样n个不同元素的全排列数公式就可以写成=n!. 另外，我们规定0!=1. 事实上，由于 =n-1) (n-2) … (n-m+1) = =. 因此，排列数公式还可以写成 =. 例2 计算：. 解：∵7！=7 =7 =7！ ∴=. 例3 用排列数符号表示下列各式. (1)1615141312； (2)(m-4)(m-3)(m-2)(m-1)(其中,m>4). 解:(1) 1615141312=； (2) (m-4)(m-3)(m-2)(m-1) =(m-1) (m-2) (m-3)(m-4) =. 例4 书架上有10本不同的书.若甲、乙、丙3人去借，且每人仅借1本, 则共有多少种不同的借法？ 解：因为从10本不同的书中任意选出3本，只要分发给甲、乙、丙3 人的顺序不同，便是不同的借法， 巩固新知，通过例题深入理解。
教学环节： 意图 复备
所以，这是求10个元素中取出3个元素的排列数： 答：共有720种不同的借法. 例5 5个人站成一排照相. (1)如果甲必须站中间，共有多少种不同排法？ (2)如果甲不能站中间，共有多少种不同排法？ (3)如果甲、乙2人必须相邻，共有多少种不同排法？ (4)如果甲、乙2人不能相邻，共有多少种不同排法？ 解：这些都是有限制条件的排列问题，可结合两个原理分步考虑. (1)由于甲必须站在中间，则只剩下4个位置，由其余4人去站，因此问题转化为求从4个元素中取4个元素的全排列数： 答：共有24种不同排法. （2）因为甲不能站在中间，所以，第一步先考虑中间位置，中间只能由其余4人去站，有种站法；中间位置站定后，余下的4个位置，则由余下的4个人(包括甲)去站，有种站法.根据分步计数原理，得排列数为 =4 答：共有96种不同排法. (3)由于甲、乙必须相邻，第一步可以把甲、乙看成一个元素，他们所站的位置也看成一个位置，这样，共有种排法.由于对于上面说的每一种排法，甲、乙两个人之间还可以进行排列，共有种排法.根据分步计数原理，得排列数为 =24 答：共有48种不同排法. (4)若无限制条件，5个人站成一排照相，共有种排法，而甲、乙相邻与甲、乙不相邻是相互对立的.由于在第(3)小题中知道，甲、乙必须相邻有48种排法，所以所求排列数为 48=120-48=72. 答：共有72种不同排法. 从上述问题的解答过程中可以看到，引进排列的概念，以及推导排列数公式，可以更加简便快捷地求解“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题. 巩固新知，通过例题深入理解。
教学环节： 意图 复备
深入理解 教材P284 习题二 巩固新知。
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