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9.1　离散型随机变量及其分布
教学内容：离散型随机变量及其分布
教学目标： 1．通过实例，理解和掌握离散型随机变量及其分布的概念． 2．可以利用离散型随机变量及其分布解决问题．
教学重难点： 重点：离散型随机变量及其分布的概念． 难点：利用离散型随机变量及其分布解决问题．
核心素养：数学抽象
教具准备：PPT
教学环节： 意图 复备
（一）引例导入 (
图9-1
)如图9-1所示，如果某人射击一次，可能出现命中0环， 1环，2环，…，10环等结果，那么这些结果可以用0,1,2,…，10这11个数字表示吗？ （二）离散型随机变量 我们知道，引例中某人击中的环数在射击前是无法预先确定的.在不同的随机试验中，它随试验结果的变化而变化，即这个随机试验的结果是一个变量. 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量一般用大写英文字母X,Y,…或小写希腊字母，η，…来表示. 如果随机变量的所有可能取得的数值能够一一列举出来，则称为离散型随机变量. 例如，引例中射击的命中环数就是一个离散型随机变量. =0，表示命中0环； =1，表示命中1环； =2，表示命中2环； … =10，表示命中10环. 我们再看一个离散型随机变量的例子. 在20件产品中，有15件正品，5件次品.从中任取3件，设其中的次品数为η，则η就是一个离散型随机变量. 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
教学环节： 意图 复备
η=0,表示含有0件次品； η=1,表示含有1件次品； η=2,表示含有2件次品； η=3,表示含有3件次品. 一般地，古典概率问题中的随机变量都是离散的. 有些随机试验的结果与数量没有直接关系，如抛掷一枚硬币，可能出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，其结果是不确定的，但我们可以设“正面朝上”为1，“反面朝上”为0,使其数量化.显然，它是一个离散型随机变量，用表示结果应为 =1，表示正面朝上； =0，表示反面朝上. （三）离散型随机变量的概率分布 对于随机变量，仅仅知道它可能取得哪些值，是远远不够的，我们更需要掌握它取这些值的概率分别是多少. 例如，抛掷一枚骰子，设得到的点数为,它可取的值有1,2,3,4,5,6.虽然在抛掷前，我们不能确定随机变量会取得哪一个值，但是却知道取每个值的概率都是，见表9-1. 表9-1 123456P
表9-1反映了离散型随机变量随机试验中取值的分布状况. 一般地，设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,…,xi,…,其中，取每个值xi(i=1,2,...)的概率p(=xi)=p，则称表9-3为随机变量的概率分布，简称为的分布列.为了表达简单，有时我们也用等式P(=xi)=pi(i=1,2 ,…)表示的分布列. 表9-3 x1 x2…xi…Pp1p2…pi…
离散型随机变量分布列的变化情况还可以用图像来表示.例如，在抛掷骰子的试验中，得到的点数为的分布列在直角坐标系中的图像，如图 9 - 2所示. 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。
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分布列不仅可以表示出离散型随机变量所有可能的取值，而且还给出了取得这些数值的概率. 不难看出，任何一个离散型随机变量的概率分布都具有如下两个性质： (1)pi(i=1,2,3,…)； (2)p1+p2+…+pi+…=1. （四）例题讲解 例1 从放有4个白球和3个黑球的口袋中同时取出2个球，写出其中所含白球个数的分布列. 分析：从4个白球和3个黑球中，取出2个球，所有可能的结果为：2个球都是黑球，1个白球和1个黑球，2个都是白球.用表示其中取得白球的个数，显然=0，1，2.利用古典概率求出取每一个值时所对应的概率，就可以得到的分布列. 解：可能取的值有0，1，2. 通过计算，得 P（=0）==； P（=1）==; P（=2）==. 于是，取得白球个数的分布列见表9-4. 表9-4 012P
例2 某射手射击所得环数的分布列见表9-5. 表9-5 45678910P0. 020. 030. 070. 110. 270. 290. 21
求此射手射击一次命中环数7的概率. 分析：事件“射击一次命中环数7”是指互斥事件“7”“”“9”“”的和.根据互斥事件的概率加法公式，可求得此射手射击一次命中环数7的概率. 解：根据射手射击所得环数的分布列，有 P(=7)=0.11, P()=0.27, P(=9）=0.29, P(=10)=0.21. 于是，得到所求的概率为 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 巩固新知，通过例题深入理解。
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P(7)=0.11+0.27+0.29+0.21=0.88. 答：此射手射击一次命中环数7的概率为0.88. 通过例2的解答，我们可以看出,离散型随机变量在某一范围内取值的概率，等于它取这个范围内各个值的概率之和. （五）离散型随机变量的均值与方差 已知在10件产品中有2件不合格品.从这10件产品中任取3件，用表示取得产品中的不合格品的件数.我们可以求得的分布列见表9-6. 表9-6 k012P(=k)
问：取3件该产品时，平均会取到几件不合格品？ 我们先来看看一个常见的求平均值的问题.设有12个西瓜，其中有4个重5 kg, 3个重6 kg, 5个重7 kg,求这12个西瓜的平均质量. 由平均数的意义可知，西瓜的平均质量应为12个西瓜的总质量除以西瓜总个数，即 ① ①式也可写成如下形式，即 5 ② 其中，，，是质量分别为5 kg, 6 kg和7 kg的西瓜个数在西瓜总个数中的所占的比例.由②式可知，如果知道每个质量所占的比例，则平均质量等于各个质量乘相应的比例再求和. 在引例“取不合格的问题”中，根据的分布列，有 0. 一般地，设离散型随机变量的分布列如下，见表9-7. 表9-7 x1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn
则称E ()=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量的均值或数学期望(简称期望). 例 设表示抛掷一枚均匀的骰子正面向上的点数，求E(). 巩固新知，通过例题深入理解。
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解：依题意知，的概率分布为P(=i)= (i=1,2,3,4,5,6)，其分布列见表9-8. 表9-8 i123456P(=i)
根据均值的定义，可知 E（)=l++4+5+6= (2)离散型随机变量的方差. 均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，但有时两个随机变量的均值相同，其取值却存在较大的差异.如何来研究这种差异呢？ 例如，有两批灯泡，其平均寿命都是l000h,仅由这一指标还不能判断这两批灯泡质量的好坏.事实上，虽然两批灯泡的平均寿命相当，但有可能其中一批灯泡大部分的寿命范围集中在9501050 h；而另一批灯泡有可能部分寿命很长，能达1500 h,另一部分寿命很短，只能达500h左右.因此，为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考查灯泡寿命与其均值E()的偏离程度.若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差. 设有A, B两种不同类型的灯泡，通过抽样，获得它们的“寿命”分别为，η(单位：h). 已知的分布列见表9-9. 表9-9 /h95010001050P
已知η的分布列见表9-10. 表9-10 η/h70010001300P
根据η的分布列计算可得，E()=E(η)=1000 h,也就是这两种灯泡的平均寿命都是1000 h.进一步观察，我们可以发现，A类型的灯泡寿命在9501050 h, B类型的灯泡寿命在7001300 h.直观上看，A 类型的灯泡寿命与其均值的偏离程度要小一些. 一般地，若离散型随机变量的分布列如下(表9-11), 表9-11 x1x2…xi…xnPp1P2…pi…pn
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则(xi-E())2描述了xi(i=1, 2...,n)相对于均值E ()的偏离程度，而D ()=E (-E ())2=为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值E()的平均偏离程度.我们称D()为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差，记做(). （六）知识运用 教材P315 习题一 （七）课堂小结 1、随机变量一般用大写英文字母X, Y, …或小写希腊字母，η，…来表示. 2、一个离散型随机变量的概率分布都具有如下两个性质： (1)pi(i=1,2,3,…)； (2)p1+p2+…+pi+…=1. 3、E()=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量的均值或数学期望(简称期望). 4、D()为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差，记做(). 巩固新知。 总结归纳本节课内容，强调学习重难点。
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