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《三角形全等的判定》教学设计
第四课时《三角形全等的判定》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 角角边定理是“浙教版八年级数学（上）”第一章第五节第四课时的内容。本节课的主要内容是让学生通过推理证明探索并掌握判定两个三角形全等的基本事实——两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)，要求学生会运用“AAS”判定两个三角形全等.角角边定理是平面几何中的重要定理之一，有利于证明几何题中角相等和线段相等的问题，在教材中有着非常重要的地位和作用.
学习者分析 学生在上节课已经学习了角边角定理，知道三角形的内角和等于180°，且八年级的学生具备了一定的独立思考、实践操作、合作探究、归纳概括的能力，能够进行简单的推理论证.教师在教学过程引导学生通过已学知识证明两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.同时教师在教学过程中还需要注意指导学生完成角角边定理几何语言格式的书写，且教师的教学要面向全体学生，发挥学生的主体作用，让学生积极参与进来.
教学目标 1.掌握三角形全等的判定定理:两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS). 2.会运用“AAS”判定两个三角形全等. 3.掌握角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 4.提升抽象能力和推理能力，激发对数学学习的兴趣.
教学重点 判定两个三角形全等的基本事实: 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS).
教学难点 例7需添加辅助线,其证明的思路较复杂
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入，回顾旧知教师活动1： 教师提问：“角边角”定理是什么？如何用几何语言描述？ 教师带领回顾：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”). 几何语言： 在△ABC和△A'BC'中 ∵ ∴ △ABC≌△（ASA）学生活动1： 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知，推理证明教师活动2： 思考：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形一定全等吗 推理证明： 已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B', BC=B'C'. 求证:△ABC≌△A'B'C'. 证明:∵∠A=∠A',∠B=∠B' (已知) ∴∠A+∠B+∠C=∠A'+∠B'+∠C'=180°(三角形的内角和等于180°), ∴∠C=∠C'. 在△ABC和△A'B'C’中， ∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA). 教师讲授： 一般地,我们有如下基本事实: 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”). 几何语言： 在△ABC和△A'B'C'中 ∵ ∴△ABC≌△（AAS） 注意：按角、角、边的顺序书写学生活动2： 学生认真思考 学生独立思考，举手回答问题，教师进行评价和讲析 学生认真听讲 学生认真听讲，注意边角边定理几何语言格式的书写 活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精讲，再探新知教师活动3： 例6已知:如图,P是∠BAC的平分线上的一点,PB⊥AB于点B,PC⊥AC于点C. 求证:PB=PC. 证明: ∵PB⊥AB,PC⊥AC(已知), ∴∠ABP=∠ACP=Rt∠(垂线的定义)。 在△APB和△APC中, ∵ ∴△APB≌△APC (AAS). ∴PB=PC (全等三角形的对应边相等 ). 教师讲授： 角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 例7已知:如图,AB//CD,PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB, AD过点P,且与AB垂直. 求证: PA= PD. 分析: 由AB//CD,AD⊥AB,可得AD⊥CD,则PA,PD的长分别是点P到AB,CD的距离.根据角平分线的性质定理知,它们与点P到BC的距离相等.因此，可先作出点P到BC的垂线段. 证明:如图,作PE⊥BC于点E. ∵AB//CD (已知), ∴∠BAD+∠CDA=180°(两直线平行,同旁内角互补). ∵AD⊥AB (已知)， ∴∠BAD=90°(垂直的定义). ∴∠CDA= 180°-∠BAD= 180°-90°= 90°. ∴AD⊥CD (垂直的定义). ∵PB平分∠ABC(已知), ∴ PA=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等). 同理, PD=PE. ∴PA=PE= PD.学生活动3： 学生认真思考，在草稿纸上答题，教师通过多媒体展示学生答案，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考 学生认真听讲 学生认真思考，在草稿纸上答题，教师通过多媒体展示学生答案，教师进行评价和讲解 学生认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂小结，总结归纳
教师活动4： 教师提问：“角角边”定理是什么？ 教师讲授：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”). 教师提问：什么是角平分线的性质定理？ 教师讲授：角平分线上的点到角两边的距离相等.学生活动4： 学生回忆知识要点，举手回答问题，用自己的语言进行描述，教师进行评价和讲解活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图AB＝AC，∠AEB＝∠ADC＝90°，则判断△ABE≌△ACD的方法是( ) A．AAS B．SSA C．SSS D．SAS 2.如图所示是一块三角形草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应该在( ) A. △ABC三条中线的交点处 B. △ABC三边垂直平分线的交点处 C. △ABC三条角平分线的交点处 D. △ABC三条高所在直线的交点处 3.如图在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝3，BD＝2CD，则BC＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 选做题： 1.如图，已知∠1＝∠2，要用“AAS”证△ABC≌△ADC，还需添加的条件是( ) A.∠B＝∠D B.∠ACB＝∠ACD C.AB＝AD D.BC＝DC 2.如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于(　　) A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 【综合拓展类作业】 已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO. 求证： （1）△ABO≌△DCO. （2）∠OBC=∠OCB.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是( ) A.甲和乙　B. 乙和丙　C. 甲和丙　D. 只有丙 2．如图，已知∠1＝∠2，AD＝CB，AC，BD交于点O，MN经过点O，则图中全等三角形有( ) A.4对 　　 B. 5对 C. 6对 　　 D. 7对 3.如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于( ) A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 【综合拓展类作业】 如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF. （1）求证：△ADE≌△CFE. （2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长.
教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过复习导入激发学生学习的兴趣。安排学生探索新知，观察思考，从而获得数学活动经验，直观感知知识。本设计例题习题安排恰当，缺点是题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生。另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整教学方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。
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1.5.4三角形全等的判定
浙教版 八年级上册
内容总览
教学目标
01
复习导入
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
角角边定理是“浙教版八年级数学（上）”第一章第五节第四课时的内容。本节课的主要内容是让学生通过推理证明探索并掌握判定两个三角形全等的基本事实——两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)，要求学生会运用“AAS”判定两个三角形全等.
角角边定理是平面几何中的重要定理之一，有利于证明几何题中角相等和线段相等的问题，在教材中有着非常重要的地位和作用.
教学目标
1.掌握三角形全等的判定定理:两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS).
2.会运用“AAS”判定两个三角形全等.
3.掌握角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.
4.提升抽象能力和推理能力，激发对数学学习的兴趣.
复习导入
“角边角”定理是什么？如何用几何语言描述？
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).
几何语言：
在△ABC和△A'BC'中∵
∴ △ABC≌△ A'B'C' （ASA）
探究新知
思考：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形一定全等吗
探究新知
已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B', BC=B'C'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明:∵∠A=∠A',∠B=∠B' (已知)
∴∠A+∠B+∠C=∠A'+∠B'+∠C'=180°(三角形的内角和等于180°),
∴∠C=∠C'.
在△ABC和△A'B'C’中，
∵
∴△ABC≌△A 'B'C'(ASA).
探究新知
一般地,我们有如下基本事实:
两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).
几何语言：
在△ABC和△
∵
∴ △ABC≌△（AAS）
按角、角、边的顺序书写
例题精讲
例6已知:如图,P是∠BAC的平分线上的一点,PB⊥AB于点B,PC⊥AC于点C.
求证:PB=PC.
证明:∵PB⊥AB,PC⊥AC(已知),
∴∠ABP=∠ACP= Rt∠(垂线的定义)。
在△APB和△APC中,
∵
∴△APB≌△APC (AAS).
∴PB=PC (全等三角形的对应边相等 ).
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
例题精讲
例7已知:如图 ,AB//CD,PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB, AD过点P,且与AB垂直.
求证: PA= PD.
分析:由AB//CD,AD⊥AB,可得AD⊥CD,
则PA,PD的长分别是点P到AB,CD的距离.
根据角平分线的性质定理知,它们与点P到BC的距离相等.
因此，可先作出点P到BC的垂线段.
例题精讲
例7已知:如图 ,AB//CD,PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB, AD过点P,且与AB垂直.
求证: PA= PD.
证明:如图,作PE⊥BC于点E.
∵AB//CD (已知),
∴∠BAD+∠CDA=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵AD⊥AB (已知)，
∴∠BAD=90°(垂直的定义).
例题精讲
例7已知:如图 ,AB//CD,PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB, AD过点P,且与AB垂直.
求证: PA= PD.
续:∴∠CDA= 180°-∠BAD= 180°-90°= 90°.
∴AD⊥CD (垂直的定义).
∵PB平分∠ABC(已知),
∴ PA=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等).
同理, PD=PE.
∴PA=PE= PD.
课堂练习
1.如图AB＝AC，∠AEB＝∠ADC＝90°，则判断△ABE≌△ACD的方法是( )
A．AAS
B．SSA
C．SSS
D．SAS
【知识技能类作业】
必做题
A
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
2.如图所示是一块三角形草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应该在( )
A. △ABC三条中线的交点处
B. △ABC三边垂直平分线的交点处
C. △ABC三条角平分线的交点处
D. △ABC三条高所在直线的交点处
C
课堂练习
3.如图在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝3，BD＝2CD，则BC＝（　　）
A．7
B．8
C．9
D．10
【知识技能类作业】
必做题
C
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
1．如图，已知∠1＝∠2，要用“AAS”证△ABC≌△ADC，还需添加的条件是( )
A.∠B＝∠D
B.∠ACB＝∠ACD
C. AB＝AD
D. BC＝DC
A
课堂练习
2.如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于(　　)
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．4cm
【知识技能类作业】
选做题
B
课堂练习
【综合实践类作业】
已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO.
求证：
（1）△ABO≌△DCO.
（2）∠OBC=∠OCB.
(1)证明：在△ABO与△DCO中，
∵
∴△ABO≌△DCO （AAS）
∠ABO=∠DCO（已知）
）
）
课堂练习
【综合实践类作业】
已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO.
求证：（2）∠OBC=∠OCB.
（2）解：∵△ABO≌△DCO，
∴∠A=∠D，AO=DO,OB=OC
∴AC=DB
在△ABC和△DCB中，
∵
∴△ABC≌△ DCB(SAS).
∴ ∠OBC=∠OCB
课堂总结
“角角边”定理是什么？
两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).
什么是角平分线的性质定理？
角平分线上的点到角两边的距离相等.
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是( )
A.甲和乙　B. 乙和丙　C. 甲和丙　D. 只有丙
B
作业布置
【知识技能类作业】
2.如图，已知∠1＝∠2，AD＝CB，AC，BD交于点O，MN经过点O，则图中全等三角形有( )
4对 　　
B. 5对
C. 6对 　　
D. 7对
C
作业布置
【知识技能类作业】
3.如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于( )
A. 50
B. 62
C. 65
D. 68
A
作业布置
【综合实践类作业】
如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF.
（1）求证：△ADE≌△CFE.
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长.
(1)证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠F，∠A=∠ECF.
在△ADE和△CFE中，
∵，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
布置作业
【综合实践类作业】
如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF.
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长.
(2)解：∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4.
∴BD=AB-AD=5.5-4=1.5，
答：BD的长为1.5.
板书设计
角角边定理：
几何语言：
角平分线的性质定理：
1.5.4三角形全等的判定
习题讲解书写部分
谢谢
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