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第二单元分数混合运算（单元复习讲义）
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。
②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算。
③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。
2、解决问题
（1）用分数运算解决“求比已知量多（或少）几分之几的量是多少”的实际问题，方法是：
第①种方法：可以先求出多或少的具体量，再用单位“1”的量加或减去多或少的部分，求出要求的问题。
第②种方法：也可以用单位“1”加或减去多或少的几分之几，求出未知数占单位“1”的几分之几，再用单位“1”的量乘这个分数。
（2）“已知甲与乙的和，其中甲占和的几分之几，求乙数是多少？”
第①种方法：首先明确谁占单位“1”的几分之几，求出甲数，再用单位“1”减去甲数，求出乙数。
第②种方法：先用单位“1”减去已知甲数所占和的几分之几，即得未知乙数所占和的几分之几，再求出乙数。
（3）用方程解决稍复杂的分数应用题的步骤：
①要找准单位“1”。
②确定好其他量和单位“1”的量有什么关系，画出关系图，写出等量关系式。
③设未知量为X，根据等量关系式，列出方程。
④解答方程。
（4）要记住以下几种算术解法解应用题：
①对应数量÷对应分率=单位“1” 的量
②求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
③已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，还可以用列方程解答。
3、要记住以下的解方程定律：
加数＋加数＝和
加数＝和－另一个加数
被减数－减数＝差
被减数＝差＋减数
减数＝被减数－差
因数×因数＝积
因数＝积÷另一个因数
被除数÷除数＝商
被除数＝商×除数
除数＝被除数÷商
4、绘制简单线段图的方法
分数应用题，分两种类型，一种是知道单位“1”的量用乘法，另一种是求单位“1”的量，用除法。这两种类型应用题的数量关系可以分成三种:(一)一种量是另一种量的几分之几。(二)一种量比另一种量多几分之几。(三)一种量比另一种量少几分之几。绘制时关键处理好量与量之间的关系，在审题确定单位“1”的量。
绘制步骤：
①首先用线段表示出这个单位“1”的量，画在最上面，用直尺画。
②分率的分母是几就把单位“1”的量平均分成几份，用直尺画出平均的等分。标出相关的量。
③再绘制与单位“1”有关的量，根据实际是上面的三种关系中的哪一种再画。标出相关的量。
④问题所求要标出“？”号和单位。
5、补充知识点
分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
分数乘法的计算法则
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零。
分数乘法意义
分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。
分数乘整数：数形结合、转化化归
倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。
分数的倒数
找一个分数的倒数，例如3/4　把3/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是3/4的倒数。
整数的倒数
找一个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即12/1 ，再把12/1这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是1/12 ，12是1/12的倒数。
小数的倒数
普通算法：找一个小数的倒数，例如0.25 ，把0.25化成分数，即1/4 ，再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/1 用1计算法：也可以用1去除以这个数，例如0.25 ，1/0.25等于4 ，所以0.25的倒数4 ，因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。
分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。
分数除法计算法则：
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。
分数除法应用题：先找单位1。单位1已知，求部分量或对应分率用乘法，求单位1用除法。
【例题一】判断题：一段路，第一天修了，第二天修了余下的，还剩下没修。( )
【分析】第一天修了，余下，第二天修了余下的，也就是总长的，用单位“1”减去修了的，得到剩下的。
【详解】
还剩下没修，题干阐述错误，故答案为：×。
【分析】在求解分数乘除法应用题时，首先要区分单位“1”。
【例题二】修路队修一条公路，第一个月修了全长的 ，第二个月修了全长的 ，第二个月比第一个月多修240米，这条公路全长多少米？
【详解】240÷（ ﹣ ）
=240÷
=1600（米）
答：这条公路全长1600米
【例题三】学校校园文化艺术节期间，六（1）班交了40件作品，比六（2）班少交了。六年级两个班一共交了多少件作品？
【分析】六（1）班交了40件作品，比六（2）班少交了，那么可以把六（2）班交的作品数量看成单位“1”，六（1）班交的作品数量是六（2）班的（1－），根据单位“1”＝对应量÷对应分率，则用“40÷（1－）”即可求出六（2）班交的作品数量，再加40即可。
【详解】由分析可知：
40÷（1－）＋40
＝40÷＋40
＝40×＋40
＝45＋40
＝85（件）
答：两个班一共交了85件作品
【分析】本题考查分数混合运算，注意：已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数，用除法。
一、选择题
1．5×的结果是（ ）。
A．1 B．25 C． D．5
2．脱式计算，能简算的要简算．
÷-×=( )
A． B． C．0 D．
3．欢欢和乐乐都有一些2022年北京冬奥会小知识卡片，已知欢欢有35张，比乐乐多，乐乐有（ ）张。
A．23 B．25 C．28 D．30
4．a、b、c、d都是自然数，已知a＞b＞c＞d，那么、、、中最小的是（　　）
A． B． C． D．
5．工厂9月份用煤48吨，比8月份节约了，节约了多少吨？正确列式是（ ）。
A． B． C．
6．有两桶同样重的油，第一桶用去，第二桶用了千克，两桶油剩下的（ ）
A．一样多 B．第一桶多 C．第二桶多 D．无法比较
二、填空题
7．运一批货物，先运走了，如果再运走45吨，那么剩下的货物只占原有货物的，这批货物原有( )吨。
8．比较大小：
　 　
　 　
　 　1．
9．乘积是　 　的两个数互为倒数.6的倒数是　 　．的倒数是　 　．
10．一个分数，它的分母是10以内最大的质数，这个真分数最小是　 　．最小的假分数是　 　．
11．乐乐的爷爷今年72岁，爸爸的年龄是爷爷年龄的，乐乐的年龄是爸爸年龄的，乐乐的年龄是爷爷年龄的，乐乐今年（ ）岁。
12．一袋大米的是35kg，这袋大米的是( )kg。
13．一辆汽车时行45千米，照这样计算，时行( )千米。
14．爸爸的身高是1.8m，儿子的身高加上7cm还比爸爸的身高矮，儿子的身高是( )m。
三、判断题15．一种商品，先提价，再降价，这时的售价与原价相等。( )
16．男生比女生多，也就是男生人数是女生人数的1.2倍。( )
17．哥哥的邮票比弟弟的多，就是把弟弟的邮票平均分成4份，哥哥有这样的5份。( )
18．第二天比第一天增加，表示增加的是第一天的。( )
19．两根同样都是2米长的绳子，第一根用去全长的，第二根用去米，则两根剩下的部分同样长。( )
四、计算
21．速算
（1） （2）
（3） （4）
（5）4.646÷4.6＝ （6）16×0.25×0.5＝
（7） （8）
（9）2.004×730＋2004×0.27＝ （10）
五、解答题
22．淘气有30张卡片，乐乐的卡片是淘气的，笑笑的卡片是乐乐的，笑笑有多少张卡片？
23．六年级有256人，其中的学生看完电影《厉害了，我的国》后想当“大国工匠”，想当教师的人数是想当“大国工匠”人数的。六年级有多少人想当教师？
24．一廉江市实验学校小学部有学生3600人，五年级学生人数占全校学生总人数的，五年级女生占本年级学生人数的，五年级女生有多少人？
25．某区要大力发展全域旅游，去年接待了28万名游客，预计今年游客数量比去年增加，今年将接待游客多少万名？（先画出线段图，再列式解答）
26．水果批发部运来苹果120箱，运来的桃的箱数是苹果的，桃的箱数又是梨的，运来的梨有多少箱？
27．淘气和笑笑比赛速算，同样的题目，淘气用了时，笑笑用了时，谁算得快些？
28．在一次“珍爱每一滴水”活动中，小华家四月用水40吨，比三月节约了，五月比四月节约了。小华家三月、五月分别用水多少吨？
参考答案：
1．C
【分析】乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。据此解答。
【详解】5×
＝5÷5×
＝
故答案为：C。
【分析】灵活运用乘法交换律可以使计算变得简便。
2．B
【详解】÷-×
=﹣
＝
故选：B．
3．C
【分析】把乐乐的张数看作单位“1”，则欢欢的张数相当于乐乐的（1＋），根据分数除法的意义，用欢欢的张数除以（1＋）就是乐乐的张数。
【详解】35÷（1＋）
＝35÷
＝28（张）
乐乐有28张。
故答案为：C
【分析】此题是考查分数除法的意义及应用。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。
4．A
【详解】试题分析：根据倒数的定义结合自然数的定义可知非0自然数中，较大的自然数的倒数小于较小的自然数的倒数．
解：因为a、b、c、d都是自然数，a＞b＞c＞d，
所以、、、中最小的是．
故选A．
分析：此题考查分数大小的比较和倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．同时考查了自然数的定义．
5．C
【分析】由于9月份比8月份节约了，9月份用量相当于8月份的1－，单位“1”是8月份的量，单位“1”未知，用除法，即48÷（1－），由于求节约多少吨，用8月份用量×即可求出节约多少吨。
【详解】由分析可知：
48÷（1－）×
＝48÷×
＝48××
＝12（吨）
正确的列式是：48÷（1－）×
故答案为：C
【分析】本题主要考查分数乘除法的应用，找准单位“1”，单位“1”已知，用乘法，单位“1”未知，用除法。
6．D
【详解】略
7．150
【分析】把这批货物的总吨数看作单位“1”，先运走了，如果再运走45吨，剩下的货物只占原有货物的，单位“1”减去先运走的分率，再减去如果运走45吨后剩下的分率，求出45吨对应的占总货物的分率，再用45÷它所占总货物的分率，即可求出这批货物的总吨数。
【详解】45÷（1－－）
＝45÷（－）
＝45÷
＝45×
＝150（吨）
运一批货物，先运走了，如果再运走45吨，那么剩下的货物只占原有货物的，这批货物原有150吨。
【分析】本题的关键是找出单位“1”，并找出已知数量对应单位“1”的几分之几，用除法求出单位“1”的量。
8．＜，＞，＜
【详解】试题分析：分母相同，分子大的分数值就大；分子相同，分母大的分数值反而小；分子分母都不相等，通分令分母相同，分子大的分数值就大；即可得解．
解：＜，
＞，
＜1．
故答案为＜，＞，＜．
分析：此题考查了分数的大小比较方法的运用．
9．1，，
【详解】试题分析：根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．6的倒数是，的倒数是．
解：乘积是（1）的两个数互为倒数，6的倒数是，的倒数是．
故答案为1，，．
分析：此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法．
10．，
【详解】试题分析：10以内最大的质数是7，以7为分母的最小真分数是，最小的假分数是分子与分母相同的分数，即．
解：一个分数，它的分母是10以内最大的质数，这个真分数最小是，最小的假分数是．
故答案为，．
分析：此题考查了学生对质数以及真分数、假分数的概念的理解与掌握情况．
11．；18
【分析】根据题意可知，爸爸的年龄是爷爷年龄的，用爷爷的年龄×，求出爸爸的年龄；乐乐的年龄是爸年龄的，再用爸爸的年龄×，求出乐乐的年龄。再用乐乐的年龄除以爷爷的年龄，即可解答。
【详解】乐乐今年年龄：72××
＝48×
＝18（岁）
18÷72＝
【分析】利用连续求一个数的几分之几的是多少知识，以及求一个数占另一个数的几分之几知识进行解答。
12．28
【分析】将这袋大米看作单位“1”，它的是35kg，用35除以计算出这袋大米的重量，再根据求一个数的几分之几是多少用乘法，计算出它的是多少。
【详解】35÷×
＝70×
＝28（kg）
【分析】本题考查分数乘法和除法的应用，关键是找准单位“1”。
13．24
【分析】根据路程除÷时间＝速度，先求出汽车的速度，再根据速度×时间＝路程即可解答。
【详解】45÷×
＝45××
＝24（千米）
【分析】根据行程问题中的公式即可解答。
14．1.58
【分析】7cm＝0.07m；用爸爸的身高×，求出爸爸身高的是多少m，再用爸爸的身高减去爸爸身高的，再减去0.07m，即可求出儿子的身高。
【详解】7cm＝0.07m
1.8－1.8×－0.07
＝1.8－0.15－0.07
＝1.65－0.07
＝1.58（m）
爸爸的身高是1.8m，儿子的身高加上7cm还比爸爸的身高矮，儿子的身高是1.58m。
【分析】本题考查分数乘法的计算，熟练掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法是解答本题的关键，注意单位名数的统一。
15．×
【分析】根据“一种商品，先提价”，是把这种商品的原价看作单位“1”，提价后的价钱是：（1＋），再降价，后的价钱是：（1＋）×（1﹣），据此解答即可。
【详解】售价：（1＋）×（1﹣）
＝
＝
＜1，所以售价与原价不相等。
故答案为：×
16．√
【分析】由题意可知，把女生的人数看作单位“1”，男生比女生多，则男生的人数是1＋，然后用男生的人数除以女生的人数即可解答。
【详解】（1＋）÷1
＝÷1
＝1.2
则男生人数是女生人数的1.2倍。故原题干说法正确。
【分析】本题考查求一个数是另一个数的几倍，明确用除法是解题的关键。
17．√
【分析】将弟弟的邮票看作单位“1”，哥哥的邮票是弟弟的（1＋），据此再根据分数的意义解题即可。
【详解】1＋＝
所以，把弟弟的邮票平均分成4份，哥哥有这样的5份。
故答案为：√
【分析】本题考查了分数的意义，将一个整体平均分成若干份，取其中的一份或几份，可以用分数表示。
18．√
【分析】第二天比第一天增加，把第一天的看作单位“1”，把它平均分成5份，每份是它的，第二天比第一天增加这样的1份，即增加部分是第一天的。
【详解】根据分析可知：第二天比第一天增加，把第一天的看作单位“1”，增加部分就是第一天的。原题说法正确
故答案为：√
【分析】本题考查分数的意义，需明确是把第一天看作单位“1”。
19．×
【分析】将2米长的绳子看成单位“1”，第一根用去全长的，还剩下全长的1－＝，根据分数乘法的意义，用乘法求出第一根剩下的长度；根据减法的意义，用减法求出第二根剩下的长度，最后比较即可。
【详解】第一根剩下：2×（1－）
＝2×
＝（米）
第二根剩下：2－＝（米）
＜，所以第二根剩下的长，原说法错误。
故答案为：×
【分析】解题时注意分数带单位表示具体的量，分数不带单位表示整体的几分之几。
20．×
【分析】第一天修了，余下，第二天修了余下的，也就是总长的，用单位“1”减去修了的，得到剩下的。
【详解】
还剩下没修，题干阐述错误，故答案为：×。
【分析】在求解分数乘除法应用题时，首先要区分单位“1”。
21． 8 28.26 2300 1 1.01 2 49 50 2004 2
【详解】略
22．5张
【分析】用30×求出乐乐的卡片数量，然后再乘，即可解答。
【详解】30××
＝20×
＝5（张）
答：笑笑有5张卡片。
【分析】此题主要考查学生对分数乘法的实际应用。
23．84人
【分析】根据题意，用六年级人数×，求出想当“大国工匠”的人数，想当老师的人数是想当“大国工匠”人数的，再用想当“大国工匠”的人数×，即可解答。
【详解】256××
＝112×
＝84（人）
答：六年级有84人想当老师。
【分析】本题考查连续求一个数的几分之几是多少的问题。
24．320人
【分析】用全校学生人数×，求出五年级学生的人数，再用五年级学生人数×，即可求出五年级女生人数。
【详解】3600××
＝800×
＝320（人）
答：五年级女生有320人。
【分析】利用连续求一个数的几分之几是多少的知识进行解答。
25．线段图见详解；35万名
【分析】根据题意，把去年接待的游客数量看作单位“1”， 用一条线段表示；预计今年游客数量比去年增加，则把去年的游客数量平均分成4份，今年的游客数量比去年多1份，据此画线段表示今年的游客数量，最后标上已知信息完成线段图。
把去年接待的游客数量看作单位“1”，则今年的游客数量是去年的（1＋），用去年的游客数量乘（1＋）即可求出今年的游客数量。
【详解】
28×（1＋）
＝28×
＝35（万名）
答：今年将接待游客35万名。
【分析】求比一个数多（或少）几分之几的数是多少，先求出未知数占单位“1”的几分之几，再用乘法计算。
26．135箱
【分析】已知运来的桃的箱数是苹果的，苹果是单位“1”，用苹果箱数×＝桃的箱数，又知桃的箱数又是梨的，这时，梨是单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，即桃的箱数÷＝梨的箱数，以此解答。
【详解】120×÷
＝90×
＝135（箱）
答：运来的梨有135箱。
【分析】此题主要考查学生对分数乘除法的实际应用，需要注意题目中单位“1”的变化。
27．笑笑
【详解】试题分析：利用通分分数化成同分母分数，也可以把它们利用名数的互化化成分钟再比较．
解：方法一：
=（时），
=（时），
所以＞，
答：笑笑算得快些．
方法二：
时=18分，时=16分，
所以＞，
答：笑笑算得快些．
分析：本题主要考查分数的大小比较．注意谁用的时间少谁就快．
28．三月份用水50吨；五月份用水35吨
【分析】把三月份的用水量看作单位“1”，四月份的用水量是三月份的，根据分数除法的意义，用即可求出三月份的用水量，再把四月份的用水量看作单位“1”，五月份的用水量是四月份的，根据分数乘法的意义，用即可求出五月份的用水量。
【详解】
（吨）
（吨）
答：三月份用水50吨，五月份用水35吨。
【分析】本题考查了分数乘除法的混合应用，明确求比一个数多（少）几分之几的数是多少，用乘法计算，已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数用除法计算。

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