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第六单元比的认识（单元复习讲义）
（一）比的基本概念
1、两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
2、比值通常用分数、小数和整数表示。
3、比的后项不能为0。
4、同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；
5、根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。
6、比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。
（二）求比值
求比值：用比的前项除以比的后项。
（三）化简比
化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比。
（四）比的应用
1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人？
题目解析：60人就是男女生人数的和。
解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人
第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人
2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？
例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？
题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量。
解题思路：第一步求每份：25÷5=5人
第二步求女生： 女生：5×7=35人。全班：25+35=60人
3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？
4、要求量=已知量×要求量份数/已知量份数
5、比在几何里的运用：
（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：ｂ。求长和宽、面积。
长=周长÷2×a/(a+b)
宽=周长÷2×b/(a+b)　
面积＝长×宽
（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求长、宽、高、体积
长=周长÷４×a/(a+b+c)
宽=周长÷４×b/(a+b+c)
高=周长÷４×c/(a+b+c)
体积＝长×宽×高
（３）已知三角形三个角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三个内角的度数。
三个角分别为：
180×a/(a+b+c)
180×b/(a+b+c)
180×c/(a+b+c)
（４）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：ｂ：ｃ，求三条边的长度。
三条边分别为：
周长×a/(a+b+c)
周长×b/(a+b+c)
周长×c/(a+b+c)
【例题一】某班人数在50到60人之间，如果男生人数和女生人数的比是5∶6，这个班有（ ）人。
A．44 B．52 C．54 D．55
【分析】根据比的意义可知，男生人数是5份，女生人数是6份，总共有5＋6＝11份，人数必须是整数，同时人数在50到60人之间，那么人数一定是总共份数的倍数，据此即可选择。
【详解】由分析可知：
5＋6＝11（份）
11×5＝55（人）
50＜55＜60
所以这个班有55人。
故答案为：D
【分析】人数、树的棵树、书本的数量等都只能是整数，在求解问题时可以利用这一点。
【例题二】为迎接第二十四届冬奥会的举行，某校组织“加强体育锻炼，展现青春风采”的手抄报展览活动。五、六年级同学原来一共展出了36份手抄报，其中六年级同学展出的手抄报占，后来五年级同学又展出了一些手抄报，此时五、六年级同学展出的手抄报份数之比是1∶2，后来五年级同学又展出了多少份手抄报？
【分析】已知五、六年级同学原来一共展出了36份手抄报，其中六年级同学展出的手抄报占，那么六年级同学展出了36×＝30份，五年级是36－30＝6份，五年级又展出一些手抄报后，五、六年级同学展出的手抄报份数之比变成了1∶2，六年级30份，占了总量的2份，用30÷2求出一份是手抄报数量，再减去五年级原有手抄报数量即可解答。
【详解】六年级：36×＝30（份）
五年级：36－30＝6（份）
30÷2－6
＝15－6
＝9（份）
答：后来五年级同学又展出了9份手抄报。
【分析】此题主要考查学生对比的理解与实际应用。
【例题三】一种喷洒果树的药水，农药和水的质量比是1∶120，现有5千克农药，能配这种药水多少千克？
【分析】农药和水的质量比是1∶120，则水的质量是农药的120倍。现有5千克农药，用5乘120即可求出水的质量。最后把农药和水的质量加起来即可求出药水的质量。
【详解】5×120＋5
＝600＋5
＝605（千克）
答：能配这种药水605千克。
【分析】本题考查比的应用。根据农药和水的质量比得出“水的质量是农药的120倍”从而求出水的质量是解题的关键。
一、选择题
1．甲仓存粮的等于乙仓存粮的，甲、乙两仓存粮的最简整数比是（　　）
A．9：10 B．10：9 C．： D．：
2．一种农药，用药液和水按配制而成，现在有水2000kg，配制这种农药需要药液（ ）kg。
A．20 B．200 C．2 D．10
3．五（1）班有40人，男生人数和女生人数比不可能是（　　）
A．3：1 B．3：2 C．3：5 D．5：1
4．把12：6比的前项减去8，要使比值不变，后项要减去（　　）
A．8 B．6 C．4 D．9
5．参加学校体操表演的男女生共120人，男女生人数比一定不可能是（　　）
A．1：5 B．7：5 C．11：13 D．9：2
6．在一个正方体里挖一个最大的圆锥，这个圆锥与正方体的体积比是（　　）
A．4：3π B．3：4π C．π：7 D．π：12
二、填空题
7．一辆汽车6小时行了360千米，这辆汽车行驶的路程和时间的比是　 　，比值是　 　，比值表示（单位时间所走过的路程），这辆汽车行驶的时间和路程的比是　 　，比值是　 　，比值表示　 　．
8．大圆的直径是4厘米，小圆的直径是2厘米，大圆和小圆周长的最简整数比是 ,大圆和小圆面积的最简整数比是 ．
9．一个长方形的长是8厘米，宽是6厘米，长与这个长方形周长的比是　 　，它们的比值是　 　．
10．如图所示，在正方形中画一个最大的圆，再在圆中画一个最大的正方形，那么大、小正方形的面积比是　 　．
11．在3：4的前项加上6，要使比值不变，后项应加　 　．
12．小明的学号是个六位数，这个六位数从左到右各位上的数字分别为：首位是10以内的最大奇数，第二位是3的最小倍数，第三位是最小的质数，第四、五位两个数字的比是1∶2，和是12，第六位是1的倒数。小明的学号是　 　。
13．大小两个圆的半径比是5∶3，那么大小两个圆的直径的比是 ，周长的比是　 　，面积的比是　 　。
14．纺织厂男工和女工人数的比是，男工人数是全厂职工人数的。
15．一个比的前项是0.6，后项是2.4，这个比写作 ，化简是 ，比值是 ．
16．在一个直角三角形中，两个锐角的度数比为1∶2，这两个锐角中，较大角的度数是　 　。
三、判断题
17．化成最简整数比是2 ( )
18．比的前项扩大100倍，后项缩小到原来的，比值不变。( )
19．把∶化成最简整数比是，比值是．( )
20．小丽的身高是1米，他爸爸的身高是175厘米，小丽和爸爸的身高比是 1∶175。 ( )
21．1.5小时 : 45分="1:30" .( )
四、解答题
22．甲、乙、丙三队接到合修一条公路的任务，全部修完时，甲队修了全长的，乙队和丙队修路的比是3∶5，已知甲队比乙队多修了15千米，这条公路全长多少千米？
23．一块长方形的菜地，周围篱笆长140米，长方形的长与宽的比是4∶3，这块菜地的面积是多少？
24．长方形花坛的护栏总长40米，长与宽的比是3：2，花坛护栏的长、宽分别是多少？
25．一根绳子剪成三段，第一段占全长的，第二段占全长的，剩余的是第三段，写出这三根的长度比．
26．淘气看一本故事书，第一天看的页数与全书总页数的比是3∶8，如果再看35页，就可以看完全书的 ，这本书共有多少页？
27．用一根72cm长的铁丝焊接成一个长方体，使长、宽、高的比为4:2:3，这个长方体的体积是多少？
28．五年级三个班植树，平均每班植树40棵，一班植了总数的，二班和三班植的棵数的比是3：5，三个班各植树多少棵？
参考答案：
1．A
【详解】试题分析：由“甲仓存粮的等于乙仓存粮的，”得出甲仓存粮的重量×=乙仓存粮的重量×，再逆用比例的基本性质和比的基本性质求出甲、乙两仓存粮的最简整数比．
解：因为甲仓存粮的重量×=乙仓存粮的重量×，
所以甲仓存粮的重量：乙仓存粮的重量=：，
=（×15）：（×15），
=9：10，
答：甲、乙两仓存粮的最简整数比是9：10；
分析：本题主要是灵活利用比例的基本性质和比的基本性质解决问题．
2．A
【分析】已知药液和水的比是1：100，根据药液和水的比例用乘法求出药液的质量即可；
【详解】
＝
2000×＝20（千克）
现有水6000千克，配制这种农药需要药液20千克。
故答案为：A
【分析】本题的关键是根据比与分数的关系，再根据分数乘法和分数除法的意义列式解答。
3．D
【详解】试题分析：把每个选项中的比的前项和后项加在一起，能整除40，即为正确答案．
解：选项A，3+1=4，能整除40，所以可能；
选项B，3+2=5，能整除40，所以可能；
选项C，3+5=8，能整除40，所以可能；
选项D，5+1=6，不能整除40，所以不可能；
分析：解答此题的关键是明白：总份数应能整除总数量．
4．C
5．D
【详解】试题分析：由题意知道，男女人数的总份数必须是120的因数，由此即可得到答案．
解：9+2=11（份），
11不是120的因数，所以男女生人数的比不可能是2：9；
故选D．
分析：由题意知道，男女人数的总份数必须是120的因数，由此即可得到答案．
6．D
【详解】试题分析：一个正方体木料削成最大的圆锥，这个圆锥的底面直径等于正方体的棱长，圆锥的高等于正方体的棱长，圆锥的体积公式：v=sh，正方体的体积公式：v=a3分别求出体积再根据比的意义解答．
解：设正方体的棱长为a，则圆锥的底面直径等于a，
[π×（）2a]：a3，
=[π×a]：a3，
=：a3，
=π：12；
分析：此题主要根据正方体和圆锥的体积计算方法以及比的意义解决问题．
7．60：1，60；1：60，，行1千米所用的时间．
【详解】试题分析：因为要求行驶的路程与时间的比是多少，也就是用360与6的比，利用比的基本性质化成最简整数比即可；这辆汽车行驶的时间和路程的比是多少，也就是用6与360的比，利用比的基本性质化成最简整数比即可；根据路程，速度，时间的关系即可得出答案．．
解：（1）360：6=（360÷6）：（6÷6）=60：1，
60：1=60；
（2）6：360=（6÷6）：（360÷6）=1：60
1：60=；
所以，一辆汽车6小时行了360千米，这辆汽车行驶的路程和时间的比是60：1，比值是60，比值表示（单位时间所走过的路程），这辆汽车行驶的时间和路程的比是1：60，比值是，比值表示表示行1千米所用的时间；
分析：本题考查了比的基本性质的应用，以及速度，时间，路程的关系．
8． 2:1 4:1
【详解】略
9．2：7，．
【详解】试题分析：根据：长方形的周长=（长+宽）×2，把数据代入，求出长方形的周长，然后根据题意进行比即可；
求比值，根据比值的含义，用比的前项除以比的后项即可．
解：8：[（8+6）×2]，
=8：28，
=2：7；
比值：2：7=；
分析：此题考查了比的意义，用到的知识点：长方形周长的计算方法和比值的计算方法．
10．2：1．
【详解】试题分析：（1）在一个正方形中画的最大的圆的直径是大正方形的边长；
（2）在圆中画的最大正方形可以用对角线平均分为两个等腰直角三角形，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径．
据此可以分别求出两个正方形的面积，接着求出比即可．
解：设圆的半径为r，则：
大正方形的面积：2r×2r=4r2，
小正方形的面积：2r×r÷2×2=2r2，
大、小正方形的面积比为：4r2：2r2=2：1．
分析：解决本题主要是将两个正方形的边长转化为用半径来表示，再进一步求出面积及面积比．
11．8
【详解】试题分析：由题意可知：3：4的前项加上6，前项变为9，可知是前项扩大了3倍，要使比值不变，后项也要扩大3倍，由此即可得出答案．
解：3：4的前项加上6，前项变为9，可知是前项扩大了3倍，
要使比值不变，后项也要扩大3倍，即变为12，
所以后项应加上12﹣4=8；
分析：此题主要利用比的性质解决问题，像此类题由加上或减去一个数要看是扩大或缩小了几倍，再根据比的性质即可解答．
12．932481
【分析】是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；3的最小倍数是它本身；最小的质数是2；根据按比例分配：第四、五位两个数字比是1∶2，即第四、五位数字和分成了（1＋2）份，用12÷（1＋2），求出1份是多少，进而求出第四位数、第五位数；1的倒数还是1，据此写出小明的学号。
【详解】第一位数是10以内的最大奇数，最大奇数是9；
第二位是3的最小倍数，3的最小倍数是3；
第三位是最小的质数，最小质数是2；
第四、五位数：
12÷（1＋2）
＝12÷3
＝4
4×1＝4
12－4＝8
第四位数是4；
第五位数是8
第六位数是1的倒数，是1。
小明学号是：932481。
小明的学号是个六位数，这个六位数从左到右各位上的数字分别为：首位是10以内的最大奇数，第二位是3的最小倍数，第三位是最小的质数，第四、五位两个数字的比是1∶2，和是12，第六位是1的倒数。小明的学号是932481。
【分析】本题知识点较多，要综合运用所学知识，关键是掌握数的分类。
13． 5∶3 5∶3 25∶9
【分析】根据圆的直径＝半径×2，圆的周长＝2πr可知：圆的半径比＝直径比＝周长比；根据圆的面积公式：C＝πr2可知：圆的面积的比＝半径平方的比；据此解答。
【详解】由分析可得：大小两个圆的半径比是5∶3，那么大小两个圆的直径的比是 5∶3，周长的比是5∶3，面积的比是25∶9。
【分析】熟记“圆的半径比＝直径比＝周长比，圆的面积的比＝半径平方的比”可以快速解题。
14．
【分析】根据男工和女工人数比是1∶4，可知男工是1份数，女工是4份数，则全厂职工人数就是1＋4＝5份数，再用男工的份数除以全厂职工的份数，即可解答。
【详解】1÷（1＋4）
＝1÷5
＝
纺织厂男工和女工人数的比是，男工人数是全厂职工人数的。
【分析】利用比的应用以及求一个数占另一个数的几分之几的知识进行解答。
15． 0.6：2.4 1：4 0.25
【详解】试题分析：首先根据一个比的前项是0.6，后项是2.4，用比的前项比上比的后项，这个比写作：0.6：2.4，然后根据比的性质化简，再用前项除以后项可以求出比值．
解：一个比的前项是0.6，后项是2.4，
这个比写作：0.6：2.4，
0.6：2.4
=（0.6×10）：（2.4×10）
=6：24
=1：4
0.6：2.4
=0.6÷2.4
=0.25
故答案为0.6：2.4；1：4； 0.25．
【分析】此题考查了比的意义和比值的含义以及化简比的方法，应注意基础知识的积累．
16．60°
【分析】由题意知：直角三角形中，两个锐角的角度和是90 ，度数比为1∶2，用90 ×＝60 即可求得较大角的度数。据此解答。
【详解】180 －90 ＝90
90 ×＝60
【分析】本题考查了直角三角形中锐角的特点及比的应用。
17．×
【解析】略
18．×
【分析】根据比的性质可知：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值才不变，由此即可解答。
【详解】由分析可知，比的前项扩大100倍，后项也应该扩大100倍，比值才不变，由于后项缩小到原来的。
故答案为：×。
【分析】此题考查比的性质的灵活应用，理解比的性质的内容是解决此题的关键。
19．×
【详解】试题分析：（1）根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变；
（2）用比的前项除以后项即可．
解：：，
=（×6）：（×6），
=3：2，
比值：3：2，
=3÷2，
=1.5
故答案为×．
【分析】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数．
20．×
【详解】略
21．×
【详解】试题分析：【错因】：①单位不统一，不能求比值，②不太细心哦！
【正确答案】：比值为2 （√）
分析：
22．180千米
【分析】设这条公路全长x千米，甲队修了全长的，甲队修了x千米；把这条公路全长看作单位“1”，乙队和丙队修了全长的（1－），乙队和丙队修了（1－）x千米；乙队和丙队修路的比是3∶5；即求出乙队修了（1－）x×千米，再用甲队修的长度－乙队修的长度＝15千米，列方程：x－（1－）x×＝15，解方程，即可解答。
【详解】解：设这天公路全长x千米。
x－（1－）x×＝15
x－x×＝15
x－x＝15
x－x＝15
x＝15
x＝15÷
x＝15×12
x＝180
答：这条公路全长180千米。
【分析】根据方程的实际应用，利用甲队、乙队和丙队之间修路长短的关系，利用按比例分配问题，设出未知数，找出它们之间相关联的量，列方程，解方程。
23．1200平方米
【分析】长方形的长与宽的比是4∶3，根据比与分数的关系可知：两条长占了周长的，两条宽占了周长的，乘140，再除以2，就是一条长和宽的长，然后再根据长方形的面积公式求出它的面积。
【详解】140÷2＝70（米）
4＋3＝7
70×＝40（米）
70×＝30（米）
40×30＝1200（平方米）
答：这块菜地的面积是1200平方米。
【分析】本题的关键是根据按比例分配的计算方法求出长方形的长和宽，再根据面积公式进行计算。
24．12米； 8米
【详解】长：×＝12(米)
宽：×＝8(米)
25．6：2：1．
【详解】试题分析：把这根绳子的总长看作单位“1”，先用1﹣求出第三段占全长的分率，进而写出三段长度占的分率比即可．
解：第三段占全长的分率：1﹣=，
第一段：第二段：第三段=：：=6：2：1；
答：这三段的长度比为6：2：1．
分析：先求出第三段占的分率是解决此题的关键，最后要化简成最简分数．
26．280页
【详解】35÷（-）=280（页）
27．192cm
【详解】72÷4÷(4+2+3)=2(cm)
(4×2)×(2×2)×(3×2)=192(cm )
答：这个长方体的体积是192cm ．
28．一班48棵； 二班： 27棵； 三班： 45棵
【详解】一班：40×3×2/5＝48(棵)
二班：(40×3－48)÷（3+5）×3=27(棵)
三班：40×3－48－27＝45(棵)

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