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第八单元数学广角-优化（单元复习讲义）
1、沏茶问题：
合理安排时间的过程：（1）明确完成一项工作要做哪些事情;(2)明确每项事情各需要多少时间；（3）合理安排工作的顺序，明确先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。
2、烙饼问题：烙饼的最优方案是每一次尽可能的让锅里按要求放最多的饼，这样既没有浪费资源，又节省时间。
3、对策论问题：解决同一个问题有不同的策略，要学会寻找最优方案。可以用列举法选择最优方案.
【例题一】小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟，扫地要用6分钟，整理书桌要用5分钟，擦家具要用10分钟，晾衣服要用5分钟。她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟。
A．21 B．25 C．26 D．30
【分析】用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地，擦家具，整理书桌，则扫地要用的6分钟和搬家具要用的10分钟，整理书桌要用5分钟，共需要6＋10＋5＝21分钟，此时衣服已经洗完，再加上晾衣服要用5分钟，共需要21＋5＝26分钟。
【详解】由分析可知：
6＋10＋5＋5
＝16＋5＋5
＝21＋5
＝26（分钟）
则她经过合理安排，做完这些事至少要花26分钟。
故答案为：C
【分析】此题属于合理安排时间问题，要既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。
【例题二】王老师带37名同学去南湖公园划船．大船租金50元/小时，可乘6人；小船租金35元/小时，可乘4人．请你帮忙设计一个花钱最少的租船方案．
【详解】50×5=250（元）
35×2=70（元）
250+70=320（元）
（提示：老师带37名同学，实际是38人乘船）
【例题三】小莉上课期间，早晨起床后是这样安排的：
结果用了45分钟才去上学。
（1）请你帮小莉设计一种用最短的时间就能上学的方案。
（2）第（1）题中你所设计的方案最少需要多少分钟（不考虑一个环节到另一个环节所耽误的时间）？
【分析】要使需要的时间最短，应先淘米，然后用电饭煲煮饭，在煮饭的同时，可进行刷牙、洗脸和背英语单词，最后吃早饭。则一共需要（2＋18＋8）分钟。
【详解】（1）
（2）2＋18＋8＝28（分钟）
答：最少需要28分钟。
【分析】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。
一、选择题
1．小刚、小强、小丽3人分别拿着2个、3个、1个热水瓶，同时到达开水供应点打开水，热水龙头只有1个，怎样安排他们打开水的次序，可使他们打热水所花的总时间（包括等待的时间）最少是（ ）分钟。（假如打满一瓶水需要1分钟）
A．9 B．10 C．11
2．妈妈淘米要2分钟，煮米饭要20分钟，摘菜洗菜切菜要15分钟，炒菜要8分钟，妈妈最快要（ ）分钟才可以让家人吃上饭。
A．22 B．23 C．25 D．45
3．小华每天早上需要完成以下几件事情才能出门上学：起床穿衣3分钟，洗脸刷牙5分钟，电饭煲煮粥（自动）20分钟，整理书包2分钟，电壶烧开水8分钟（自动），吃早餐15分钟。小华如果合理安排做这几件事情的顺序，最少需要（ ）分钟可以出门上学。
A．31 B．35 C．38 D．46
4．王林有很好的生活习惯，这是他每天早上上学之前要做的一些事情。
穿衣叠被 刷牙洗脸 整理房间 收听广播 整理书包 吃早餐
5分钟 5分钟 8分钟 28分钟 2分钟 6分钟
做完这些事情最少需（ ）分钟。
A．26 B．28 C．35 D．18
5．乐乐给客人沏茶。接水要用1分钟，烧水要用6分钟，洗茶杯要用2分钟，拿茶叶要用1分钟，沏茶要用1分钟，乐乐合理安排以上事情，最少要用（ ）分钟。
A．11 B．8 C．7 D．6
二、填空题
6．一只锅子每次最多只能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每面煎2分钟。3个至少需要煎( )分钟，若果煎9个鸡蛋，至少需要( )分钟。
7．小明在火炉上烤鱼，鱼的两面都要烤，每次最多烤2条，烤一面需要3分钟，则烤9条鱼至少需要( )分钟。
8．妈妈在火炉上烤鱼，每次最多烤两条，两面都要烤。烤一面要3分钟，烤9条鱼至少需要( )分钟，36分钟最多烤( )条鱼。
9．有六条铁链，每条有四个环（如图）。打开一个环要用1分钟，封闭一个打开的环要用3分钟。现在要把这24个环连成一条铁链，至少要用( )分钟。
10．煎一条鱼要8分钟（正反两面各4分钟）。如果一个平底锅一次只能同时煎2条鱼，妈妈要煎3条鱼，最少需要( )分钟。
11．一个锅一次最多能同时烙2张饼，正反两面各需要烙2分钟，烙熟5张饼至少需要( )分钟。
12．爸爸要复印9张资料，两面都要复印，复印一面需要1分钟。如果一次最多同时复印2张，他至少需要( )分钟才能复印完。
13．丹丹周六早上这样安排：起床穿衣要3分钟，刷牙洗脸要2分钟，整理房间要5分钟，听音乐要10分钟，吃早点要6分钟，丹丹做完这些事至少需要( )分钟。
14．小明、小亮、小叶三个人同时到学校医务室找陈医生看病．小明要5分钟、小亮要3分钟、小叶要1分钟．陈医生合理安排顺序后，使三人等候时间总和最少，最少要( )分钟．
15．如果每个锅最多煎2条小黄鱼，煎一条小黄鱼需要4分钟（正反面各2分钟），那么煎5条小黄鱼至少需要( )分钟，7条需要( )分钟。
三、判断题
16．用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎一张饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟），则煎3张饼至少需要6分钟。( )
17．一个平底锅可以一次煎2个鸡蛋，每面需要2分钟，两面都要煎，那么煎5个鸡蛋最少需要10分钟。( )
18．星期天，小丽打算帮妈妈做一些家务活．用洗衣机洗被单30分钟，搭被单2分钟，拖地10分钟，擦窗户10分钟，整理书房8分钟．合理安排，要把这些家务活干完至少要用30分钟．( )
19．为了节省时间妈妈边用洗衣机洗衣服边擦地。( )
20．三名同学去量身高、测视力，每项检查都需要2分钟，至少用6分钟三名学生才能完成检查。( )
21．条形统计图是用长短不同的直条表示各种数量的多少。( )
四、解答题
22．学校给20块小黑板刷油漆，刷一面需要1分钟，但必须等5分钟油漆干后才能刷另一面。请问：10分钟最多可以刷完多少块？请说明理由。
23．蜗牛沿着10米高的柱子往上爬，白天它向上爬5米，而晚上又下降3米，问蜗牛爬到柱顶需要几天？
24．看图回答问题。
25．师生390人去春游，大客车限乘50人，租金400元，小客车限乘20人，租金180元。怎样租车最省钱？最少要多少线？
26．某学校五年级师生共158人，租车去红色基地沙洲村开展研学活动。大巴车每辆限乘50人，租金为900元/辆，中巴车每辆限乘30人，租金600元/辆。怎样租车最省钱？最少要多少钱？
27．用一只平底锅煎饼，每次只能同时煎2张饼，每张饼两面都要煎，煎一面要2分钟．煎5张饼至少需要几分钟？怎样煎？如果要煎20张饼，至少需要几分钟？
28．烤1块牛排需要6分钟（正、反两面各3分钟），如果一块铁板上最多只能烤4块，那么烤10块牛排至少需要多少时间？
29．四年级师生195人，租车去科技馆参观。汽车公司大、小客车出租价格如下表。怎样租车最省钱？
车型 限乘人数/人 每辆车租金/元
大客车 45 900
小客车 30 750
参考答案：
1．B
【分析】要想等待的时间最少，则需要让用时最少的先打，最后让用时最长的人打水即可。
【详解】（1）小丽：打水1分钟
（2）小刚：等待1分钟，打水2分钟
（3）小强：等待3分钟，打水3分钟
1＋1＋2＋3＋3＝10（分钟）
所以最少是10分钟。
故答案为：B
【分析】本题考查优化问题，明确按照用时从少到多的顺序打水等待的时间最少是解题的关键。
2．C
【分析】要使需要的时间最短，应先淘米，然后煮米饭，在完成煮米饭这项任务的同时，可进行摘菜洗菜切菜以及炒菜。则一共需要（2＋15＋8）分钟。
【详解】2＋15＋8＝25（分钟）
妈妈最快要25分钟才可以让家人吃上饭。
故答案为：C
【分析】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。
3．C
【分析】要使用的时间最少，那么能同时做的事情就应同时做，电饭煲煮粥的同时可以洗脸刷牙、整理书包、电壶烧开水，因此先计算出洗脸刷牙、整理书包、电壶烧开水需要的总时间，再与电饭煲煮粥（自动）用的时间进行比较，最后再加起床穿衣、吃早餐用的时间长即可。
【详解】5＋2＋8＝15（分钟）
15分钟＜20分钟
20＋3＋15＝38（分钟）
即小华如果合理安排做这几件事情的顺序，最少需要38分钟可以出门上学。
故答案为：C
【分析】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。
4．B
【分析】收听广播需要28分钟，在听广播的过程中，还可以穿衣，刷牙洗脸，整理房间，整理书包，吃早餐。计算出除了听广播做的其他事所需要的时间，比听广播的时间短，即可在28分钟之内完成，比听广播的时间长，多出的时间加上广播的时间就是做完这些事所需要的时间。
【详解】5＋5＋8＋2＋6＝26（分钟）
26＜28
做完这些事情最少需要28分钟。
故答案为：B
【分析】本题考查了数学广角优化中的合理安排时间。
5．B
【分析】接水→烧水（同时洗茶杯、拿茶叶）→沏茶，据此计算时间即可。
【详解】1＋6＋1
＝7＋1
＝8（分钟）
最少要用8分钟。
故答案为：B
【分析】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。
6． 6 18
【分析】先把2个鸡蛋同时下锅，2分钟时，将其中一只盛上来，另外一只翻面，同时，再放第三只鸡蛋；第4分钟，第一次放的那只鸡蛋可以出锅了，最后放的那只鸡蛋翻面，同时将盛起来的鸡蛋翻面放下去；第6分钟，就全部可以上锅；
9个鸡蛋分为4组，第一、二、三组2个，第四组3个。第一、二、三组，先放2个鸡蛋，煎一－面2分钟，全部翻面，再2分钟。即煎熟2个鸡蛋要用4分钟，三组共计用12分钟。第四组，先放2个鸡蛋，2分钟后，1个翻面，另一个拿出去，再放入最后一个鸡蛋。2分钟后，1个鸡蛋熟了，后加的翻面，再放入之前拿出的只煎了一面的鸡蛋，2分钟后全熟。共计时间：
12＋2＋2＋2
＝14＋2＋2
＝16＋2
＝18（分钟）
【详解】根据分析可得：
一只锅子每次最多只能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每面煎2分钟。3个至少需要煎（6）分钟，若果煎9个鸡蛋，至少需要（18）分钟。
【分析】本题考查优化问题，解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用工。
7．27
【分析】当烤2条及以上的鱼（两面都要烤），并且锅里只能同时烤2条时，最少需要的时间＝烤一面需要的时间×条数；依此计算并填空。
【详解】3×9＝27（分钟），即烤9条鱼至少需要27分钟。
【分析】熟练掌握优化问题的计算，是解答此题的关键。
8． 27 12
【分析】烙饼问题，一次最多烙2张，一面时间为n分钟，要烙m张的最短时间是m×n（分钟）；据此解答。
【详解】根据分析：
①9×3＝27（分钟），所以烤一面要3分钟，烤9条鱼至少需要27分钟；
②36÷3＝12（条），所以36分钟最多烤12条鱼。
【分析】掌握烙饼问题的计算方法是解答本题的关键。
9．16
【分析】把第一条铁链的每个都打开，总共打开4个环，就可以全部连起来。
【详解】打开4个环，需要（分钟）
连接4次，需要（分钟）
（分钟）
【分析】本题考查的是优化问题，要把两个环连在一次，只需要打开一个就可以了。
10．12
【分析】由于每次可煎两条，煎一条鱼需要8分钟。（正反面各4分钟），所以第一次煎两条鱼的正面，用时4分钟，第二次煎两条鱼中一条鱼的反面，煎第3条鱼的正面，4分钟，此时已经煎好一条，第三次煎两条鱼中另一条鱼的反面，第3条鱼的反面，4分钟，总用时12分钟。
【详解】第一次煎两条鱼的正面，用时4分钟；
第二次煎两条鱼中一条鱼的反面，煎第3条鱼的正面，4分钟；
第三次煎两条鱼中另一条鱼的反面，第3条鱼的反面，4分钟；
总用时4×3＝12（分钟）
11．10
【分析】先烙前2张饼，每次烙两张饼，共需2×2＝4分钟。剩下的三张饼分别为a、b、c；第一次烙a、b的正面；第二次烙a的反面和c的正面；第三次烙b、c的反面。所以烙剩下的三张饼需要3×2＝6分钟。这样烙5张饼至少需要4＋6＝10分钟。
【详解】一个锅一次最多能同时烙2张饼，正反两面各需要烙2分钟，烙熟5张饼至少需要10分钟。
【分析】在烙饼优化问题中，要统筹安排烙饼的顺序，使锅里始终没有空位，这样才能保证需要的时间最短。
12．9
【分析】第1次同时复印第1张纸和第2张纸的正面，第2次同时复印第1张纸和第2张纸的反面，第3次同时复印第3张纸和第4张纸的正面，第4次同时复印第3张纸和第4张纸的反面，第5次同时复印第5张纸和第6张纸的正面，第6次同时复印第5张纸和第6张纸的反面，第7次同时复印第7张纸和第8张纸的正面，第8次同时复印第7张纸的反面和第9张纸的正面，第9次同时复印第8张纸和第9张纸的反面。最少复印9次。
【详解】9×1＝9（分钟）
他至少需要9分钟才能复印完。
【分析】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。
13．16
【分析】先观察做事情的顺序考虑哪些事情可以同时做，听音乐的10分钟同时可以起床穿衣（3分钟）、刷牙洗脸（2分钟）、整理房间（5分钟），最后吃早点需要6分钟；计算所需的时间即可解答。
【详解】听音乐的10分钟同时可以起床穿衣、刷牙洗脸、整理房间。
因此需要：10＋6＝16（分钟）
【分析】本题考查优化问题，关键需要统筹考虑哪些事情可以同时做。
14．14
【详解】解：5＞3＞1
三人看病的顺序依次是：小叶→小亮→小明，
1×3+3×2+5×1
＝3+6+5
＝14（分钟）
答：陈医生合理安排顺序后，使三人等候时间总和最少，最少要14分钟．
故答案为14．
15． 10 14
【分析】煎2条鱼，需要4分钟。煎4条鱼，需要（2×4）分钟。剩下的3条鱼分别为a、b、c；第一次煎a、b的正面；第二次煎a的反面和c的正面；第三次煎b、c的反面。煎5条鱼，需要（4＋3×2）分钟。煎7条鱼，需要（2×4＋3×2）分钟。
【详解】4＋3×2
＝4＋6
＝10（分钟）
2×4＋3×2
＝8＋6
＝14（分钟）
那么煎5条小黄鱼至少需要10分钟，7条需要14分钟。
【分析】在优化问题中，要统筹安排煎鱼的顺序，使锅里始终没有空位，这样才能保证需要的时间最短。
16．×
【分析】煎饼的时候，本着每次都能放两张饼的原则来煎饼，据此解答。
【详解】第1分钟，煎前两张饼的正面，第2分钟，煎第一张饼的反面和第三张饼的正面，第3分钟，煎第二张饼和第三张饼的反面，至少需要3分钟，原题说法错误。
故答案为：×
【分析】此题考查了优化问题，合理安排，认真解答即可。
17．√
【解析】略
18．×
【分析】本题是优化问题．用洗衣机洗被单需要30分钟，洗被单的同时可以拖地、擦窗户、整理书房，可以节约10＋10＋8＝28（分钟），搭被单需要2分钟，据此解答即可．
【详解】至少需要30＋2＝32（分钟）．
故答案是错误的．
19．√
【分析】在沏茶问题中，要统筹安排时间，使事情能够顺利完成，但又不至于相互干扰。用洗衣机洗衣服的同时可以做其他事情，两件事情不冲突，还能节省时间，据此判断即可。
【详解】根据分析可知，为了节省时间妈妈边用洗衣机洗衣服边擦地，此题说法正确。
故答案为：√。
【点精】在沏茶问题中，要想节约时间，则同时进行的这两件事情不能互相干扰，比如烧水的同时扫地等。
20．√
【分析】为了保证做完这些检查用的时间最少，三位同学要分开检查，如：同学①量身高，同时，同学②测视力，要用2分钟；再同学②量身高，同时同学③测视力，要用2分钟；最后同学③量身高，同时同学①测视力，再用2分钟；三人做完检查共用了3个2分钟，即6分钟。
【详解】3×2＝6（分钟）
他们至少用6分钟才能全部做完这些检查，原题说法正确。
故答案为：√
【分析】本题考查了如何合理安排时间的问题。
21．√
【分析】条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些按照一定的顺序排列起来。据此判断即可。
【详解】根据分析可知，条形统计图是用长短不同的直条表示各种数量的多少。
故答案为：√
【分析】本题考查条形统计图的认识，条形统计图用直条的长短表示数量的多少，从图中直观地看出数量的多少，便于比较。
22．4块
【分析】根据题意可知：可以先刷一面，刷6块，第六块刷完时，第一块正好等了5分钟，接着刷第一块的另一面，刷完后第二块也正好等了5分钟，也就可以刷另一面，依此类推，10分钟可以刷完4块，据此即可解答。
【详解】可以先刷一面，刷6块，第六块刷完时，第一块正好等了5分钟，接着刷第一块的另一面，刷完后第二块也正好等了5分钟，也就可以刷另一面，依此类推，10分钟可以刷完4块。
【分析】本题主要考查优化问题。
23．4天3夜
【分析】白天向上爬5米，而晚上又下降3米，相当于一昼夜可以爬2米，当距离顶端的距离小于等于5米时，只需要一个白天就可以了。
【详解】（米）
（米）
再需要一个白天就可以了；
答：爬到柱顶需要4天3夜。
【分析】本题考查的是蜗牛爬井的问题，虽然蜗牛相当于一昼夜可以爬2米，但如果当作5天计算就错了，爬到柱顶是不需要下落的。
24．见详解
【分析】起床穿衣→刷牙→烧开水（洗脸→吃早饭），这样完成这些事情的时间为起床穿衣、刷牙和烧开水的时间和。
【详解】4＋3＋8
＝7＋8
＝15（分钟）
先起床穿衣、接着刷牙、再烧开水，烧开水的同时洗脸和吃早饭，这样安排最节省时间，最少用时为15分钟。
【分析】合理安排，把能同时进行的事情安排在同一时间里完成，这样用时最少。
25．租7辆大客车和2辆小客车最省钱；3160元
【分析】根据题意，分别计算大客车和小客车每人所需钱数，大客车：400÷50＝8（元/人），小客车：180÷20＝9（元/人），比较可知，尽量租大客车而且尽可能坐满或少空位比较省钱，计算所需钱数即可。
【详解】大客车：400÷50＝8（元/人）
小客车：180÷20＝9（元/人）
8＜9
390÷50＝7（辆）……40（人）
所以尽可能多租大客车，并且尽可能坐满或少空位。
方案一：可以租8辆大客车所需钱数：400×8＝3200（元）
方案二：可以租7辆大客车和2辆小客车，所需钱数：
400×7＋180×2
＝2800＋360
＝3160（元）
答：租7辆大客车和2辆小客车最省钱；最少要3160元。
【分析】本题主要考查优化问题，比较两种客车的单价，多租用单价低的客车。并且要做到少空位，才能达到省钱。
26．租2辆大巴车，2辆中巴车最省钱；最少要3000元
【分析】从“单价”考虑：租大巴车，每人的租金是900÷50＝18（元）；租中巴车，每人的租金是600÷30＝20（元）。可见，租大巴车“单价”要低一些，因此应尽可能租大巴车，而且空座要最少租车最省钱。
【详解】158÷50＝3（辆）……8（人）
（1）租3辆大巴车和1辆中巴车：
900×3＋600
＝2700＋600
＝3300（元）
（2）租2辆大巴车和2辆中巴车：
900×2＋600×2
＝1800＋1200
＝3000（元）
（3）租1辆大巴车和4辆中巴车：
900＋600×4
＝900＋2400
＝3300（元）
3000＜3300
答：租2辆大巴车，2辆中巴车最省钱，最少要3000元。
【分析】本题的解答策略是：要尽量租用“单价”要低一些的大巴车，并且最好不要空座，这样最省钱。
27．10分钟；先煎2张，剩下3张交替煎；40分钟
【分析】（1）5张饼时，先煎2张，用时为2+2=4分钟，剩下3张交替煎，设分别为a、b、c；前2分钟煎a、b的正面，中间2分钟煎a的反面和c的正面，这样a煎好了，后2分钟煎b、c的反面，2×3=6分钟也就烤好了；所以共用4+6=10分钟；
（2）20张饼，每次煎2张，20÷2=10次即可煎完，需要4×10=40分钟．据此解答即可．
【详解】（1）先煎2张，用时为2+2=4分钟；
剩下3张交替煎：设分别为a、b、c；前2分钟煎a、b的正面，中间2分钟煎a的反面和c的正面，
这样a煎好了，后2分钟煎b、c的反面，2×3=6分钟也就烤好了；
一共用：4+6=10（分）；
答：煎5张饼至少需要10分钟．
（2）20÷2=10（次）；
10×4=40（分）．
答：如果要煎20张饼，至少需要40分钟．
28．15分钟
【分析】10块牛排共有2×10＝20（面），一次只能烤4个面，需要烤20÷4＝5（次），烤一面需要3分钟，共需要5×3＝15（分钟），据此即可解答。
【详解】2×10÷4×3
＝20÷4×3
＝5×3
＝15（分钟）
答：烤10块牛排至少需要15分钟。
【分析】合理安排，使每次都能同时烤4块，这样用时最少。
29．租3辆大车，2辆小车最省钱。
【分析】根据两种车所坐人数和租金，分别计算每人所需钱数：900÷45＝20（元/人），75÷30＝25（元/人），30＞20，比较可知，尽量多租大车而且都坐满比较便宜；再考尽可能没有空座位的方案比较省钱，据此比较几种方案即可。
【详解】方案一：租4辆大车、1辆小车；
195÷45＝4（辆）……15（人）
剩下15人还需要租1辆小车；
4×900＋750
＝3600＋750
＝4350（元）
方案二：租3辆大车，2辆小车，
3辆大车坐45×3＝135（人），2辆小车坐2×30＝60（人）
1辆大车和5辆小车共坐135＋60＝195（人）
900×3＋750×2
＝2700＋1500
＝4200（元）
租1辆大车，5辆小车需要4650元；
4200＜4350
答：租3辆大车，2辆小车最省钱。
【分析】本题主要考查最优化问题，关键根据选择“单价低”、“少浪费”找出最省钱的租车方案。

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