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第五单圆（单元复习讲义）
一、圆的特征
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。
2、圆的特征：外形美观，易滚动。
3、圆心O：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示。
圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。
半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。
直径d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。
同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或 r=d÷2
4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。
同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。
有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。
有二条对称轴的图形：长方形
有三条对称轴的图形：等边三角形
有四条对称轴的图形：正方形
有无条对称轴的图形：圆，圆环
6、画圆
（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。
二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。
1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。
即：圆周率π = 周长÷直径≈3.14
所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π)—周长公式：c=πd, c=2πr
圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。
3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
4、半圆周长=圆周长一半+直径= πr+d
三、圆的面积s
1、圆面积公式的推导
如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
长方形面积=长×宽
所以：圆的面积=圆的周长的一半（πr）×圆的半径（r）
S圆 =πr×r=πr2
2、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。
周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。
3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍,直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。
4、环形面积 =大圆–小圆=πR2-πr2
扇形面积=πr2×n÷360（n表示扇形圆心角的度数）
5、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2×π×跑道宽度。
一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米。
一个圆的直径增加b厘米，周长就增加πb厘米。
6、任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4∶π。
7、常用数据
π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7
【例题一】如图，小圆的周长是6.28cm，大圆的周长是多少cm。（计算时取3.14）
【分析】根据图示可知，大圆的半径等于小圆的直径，利用圆的周长公式：C＝πd，先计算小圆的直径，再求大圆的面积即可。
【详解】6.28÷3.14×2×3.14
＝6.28×2
＝12.56（厘米）
则大圆的周长是12.56cm。
【分析】本题主要考查圆的周长的计算，关键是找对大小圆直径的关系。
【例题二】王爷爷靠墙用篱笆围了一个半圆形的鸡舍（如下图），篱笆的长是31.4米，这个鸡舍的占地面积是多少平方米？
【分析】根据题意，圆的周长的一半是31.4米，根据圆的周长公式：C＝，则圆的周长的一半则为，代入即可求出圆的半径，再利用圆的面积公式：S＝，代入数据后，再除以2，即可求出鸡舍的占地面积。
【详解】31.4÷3.14＝10（米）
3.14×102÷2
＝3.14×100÷2
＝157（平方米）
答：这个鸡舍的占地面积是157平方米。
【分析】此题的解题关键是灵活运用圆的周长和圆的面积公式解决实际的问题。
【例题三】一辆自行车轮胎的外直径是70厘米，如果每分钟转100圈。要通过一座1100米的大桥，需要几分钟？（得数保留整数）
【分析】可先结合C圆＝πd求出这辆自行车每转一圈的距离，及每分钟行驶的距离是多少，再依据时间＝路程÷速度，来计算通过这座大桥需要几分钟。
【详解】70厘米＝0.7米
1100÷（3.14×0.7×100）
＝1100÷219.8
≈5（分钟）
答：需要5分钟。
【分析】本题是根据圆的周长公式计算的，同时也考查了学生对于单位的转化，小数除法商的近似数这些知识点的掌握。
一、选择题
1．一块菜地呈半圆形,它的半径是r,周长是（ ）
A．2πr× B．πr+r C．2πr D．πr＋2 r
2．从一个长为3，宽为2的长方形中挖去一个直径为1的圆，下列哪个数最接近剩下部的分面积．（　E　）
A．1 B．2 C．3 D．4 E.5
3．一个正方形与这个正方形中最大的圆的周长的比是（ ）。
A．2∶π B．4∶π C． D．
4．工厂车间有两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是6分米，当另一个轮子转1周时，它要转2周，另一个轮子的直径是（ ）分米。
A．2 B．3 C．8 D．12
5．下列语句错误的是（　　）
A．任何一个圆的周长除以它的直径的商是π
B．周长相等的两个圆的直径也相等
C．π＜
D．大弧所对的圆心角也大
6．在一个半径是4米的圆形花坛的周围修一条宽1米的小路，在小路的外围每隔1.256米放一盆花，一共可以放（ ）盆花。
A．21 B．24 C．25 D．26
二、填空题
7．圆的周长是12.56cm，它的半径是( )cm，面积是( )cm2（π取3.14）。
8．一个半径是20米的圆形花池，占地 平方米，小明每天沿着池边跑5圈，一共是 米。
9．一个圆的周长是12.56cm，在这个圆里画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )。
10．在半径5m的圆形花坛外围修一条宽1m的环形小路，环形小路的面积是( )m2。
11．钟面上，分针长10厘米，从下午3：15到3：30，分针扫过钟面的面积是( )平方厘米，针尖走过的路线长( )厘米。
12．与周长是12.56厘米的圆面积相等的长方形的长是4厘米，它的宽是( )厘米。
13．如图，长方形里有两个圆，涂色部分的面积是14cm2，那么一个圆的面积是( )cm2。
14．圆有( )条对称轴，长方形有( )条对称轴，正方形有( )条对称轴，等边三角形有( )对称轴。
15．如图所示，圆内有一个最大的正方形，已知正方形的面积为40平方厘米．求阴影部分的面积是( )平方厘米．
16．把一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，将这些近似等腰三角形照如图的样子拼起来。如果拼成图形的周长比原来圆的周长增加了，那么原来圆的周长是( )，面积是( )。
三、判断题
17．小圆和大圆的半径比是2∶3，小圆和大圆的面积比是4∶6。( )
18．半径是2厘米的圆，面积和周长相等。( )
19．用2个圆心角都是90°的扇形，一定可以拼成一个半圆。( )
20．因为一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些，所以π＝3.14。( )
21．把一个圆分成两个半圆，每个半圆的周长是这个圆周长的一半。( )
22．以圆规两脚间的距离为4厘米画一个圆，这个圆的面积是50.24平方厘米．( )
23．不论大圆还是小圆，它们的圆周率都相等，都是π。( )
四、图形计算
24．求图中阴影部分的周长和面积。
五、解答题
25．淮河公园内有一个正方形的喷泉广场，占地面积800平方米。已知正方形的对角线（两个相对角的连线）长40米，现在要把该广场扩建成正方形的四个顶点都在圆形上的圆形喷泉广场，扩建后的喷泉广场占地多少平方米。
26．图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，，它们的公共点是该正方形的中心，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少？
27．用圆规画一个半径2厘米的圆，先用字母标出圆心、半径和直径，再用红色笔标出周长，用蓝色笔标出圆面积．
28．思考并实践。
（1）请在下侧空白处画一个半径是3厘米的圆，并标出圆心“o”。
（2）在圆中画出一个圆心角是60°的最大扇形，标出圆心角度数，并把扇形涂上阴影。
（3）请你根据学过的知识，求出这个扇形的面积。
29．如下图，一个半圆中有一个直角三角形，直角三角形的顶点与圆心重合，求阴影部分的面积。
30．一只挂钟的分针长20厘米,经过45分钟后,这根分针的尖端所走的路程是多少厘米
31．在一块草坪地的木桩上拴着一只羊，绳长2米．这只羊最多能吃着草地的面积是多少平方米？
参考答案：
1．D
【详解】半圆的周长=圆周长的一半+直径的长度，据此解答.
2．E
【详解】试题分析：根据题干剩下部分的面积应该是长方形的面积减去直径为1的圆的面积，由此利用长方形和圆的面积公式进行计算，得出剩下部分的面积即可进行选择．
解：3×2﹣3.14×，
=6﹣3.14×，
=6﹣0.785，
=5.215，
≈5；
故选E．
分析：此类问题可以利用面积公式计算出结果，再进行比较、选择．
3．B
【分析】正方形中最大的圆的半径是正方形的边长的一半，设正方形的边长为a，则正方形的周长为4a，圆的周长为a，写出对应的比，化简即可。
【详解】设正方形的边长为a，则正方形的周长为4a，圆的周长为a
所以正方形周长与正方形中最大圆的周长的比是：4a∶a＝4∶
故答案为：B
【分析】关键是知道正方形中最大的圆的半径是正方形的边长的一半，再利用正方形的周长公式与圆的周长公式解决问题。
4．D
【分析】根据题意可知，一个直径是6分米的轮子转2圈的路程＝另一个轮子转1圈的路程，然后根据圆周长公式，用3.14×6即可求出一个直径是6分米的轮子转1圈的路程，再乘2即可求出它转2圈的路程，最后除以3.14即可求出另一个轮子的直径是多少分米。
【详解】3.14×6×2
＝18.84×2
＝37.68（分米）
37.68÷3.14＝12（分米）
另一个轮子的直径是12分米。
故答案为：D
【分析】本题考查了圆的周长公式的灵活应用，需牢记公式。
5．D
【详解】试题分析：根据圆的周长公式，圆的周长与直径的关系，数的大小比较，弧与圆心角之间的关系即可求解．
解：A、任何一个圆的周长除以它的直径的商是π是正确的，不符合题意；
B、周长相等的两个圆的直径也相等是正确的，不符合题意；
C、因为π=3.1415926…，=3.142857，所以π＜是正确的，不符合题意；
D、同一个圆中，大弧所对的圆心角大，原来的说法是错误的，符合题意．
故选D．
分析：考查了圆的周长，数的大小比较，弧与圆心角之间的关系，综合性较强，度数难度不大．
6．C
【分析】在小路的外围放花，要先求出环形小路的外圆周长。根据圆的周长＝2πr即可求出外围的周长。“封闭型”植树问题中，棵数＝段数＝全长÷间隔，则用外围的周长除以1.256米即可求出花的盆数。
【详解】（4＋1）×2×3.14÷1.256
＝5×2×3.14÷1.256
＝31.4÷1.256
＝25（盆）
故答案为：C
【分析】本题考查圆的周长和植树问题的综合应用。明确“封闭型植树问题中，棵数＝段数”是解题的关键。
7． 2 12.56
【分析】根据“r＝c÷π÷2”“s＝πr ”求出圆的半径和面积即可。
【详解】12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）；
3.14×2 ＝12.56（平方厘米）
【分析】熟练掌握圆的周长和面积公式是解答本题的关键。
8． 1256 628
【详解】3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方米）
3.14×20×2×5＝628（米）
占地 1256平方米，小明每天沿着池边跑5圈，一共是 628米。
9．8cm2/8平方厘米
【分析】已知一个圆的周长是12.56cm，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，求出圆的直径；根据r＝d÷2，求出圆的半径。
因为正方形是圆内最大的正方形，用一条对角线把正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是这个正方形的面积。
【详解】如图：
圆的直径：12.56÷3.14＝4（cm）
圆的半径：4÷2＝2（cm）
正方形的面积：4×2÷2×2＝8（cm2）
【分析】外圆内方的图形，在无法求出正方形边长的情况下，把正方形的面积转化成两个完全一样的三角形的面积，找到三角形的底、高与圆的直径、半径的关系，然后利用三角形的面积公式列式计算。
10．34.54
【分析】由题意可知，环形小路的面积＝半径是5＋1＝6m圆的面积－半径是5m圆的面积，据此解答即可。
【详解】3.14×（5＋1）2－3.14×52
＝3.14×36－3.14×25
＝3.14×（36－25）
＝3.14×11
＝34.54（平方米）
【分析】本题考查圆环的面积，熟记公式是解题的关键。
11． 78.5 15.7
【详解】3.14×102×
=3.14×100×
=314×
=78.5（平方厘米）
3.14×10×2×
=31.4×2×
=62.8×
=15.7（厘米）
故答案为：78.5；15.7 。
12．3.14
【分析】根据题意分析可知，先算出圆的半径r＝12.56÷3.14÷2＝2（厘米），圆面积＝3.14×22＝12.56（平方厘米），圆的面积等于长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，可知宽等于面积除以长，即可解答。
【详解】r＝12.56÷3.14÷2＝2（厘米），圆面积＝3.14×22＝12.56（平方厘米），宽＝12.56÷4＝3.14（厘米）。
【分析】此题主要考查了圆周长公式、圆面积公式的应用。
13．43.96
【分析】阴影部分的面积实际是三角形的面积，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，利用面积公式可求出圆的半径，再代入到圆的面积公式中，计算出圆的面积。
【详解】圆的半径是r，根据分析得，2r×r÷2＝14
可得r2＝14
圆的面积＝
＝3.14×14
＝43.96（cm2）
【分析】此题的解题关键是利用三角形的面积公式表示出圆的半径的平方数，再通过圆的面积公式得到最终的结果。
14． 无数 2 4 3
【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此解答即可。
【详解】
圆有条对称轴；
长方形有2条对称轴；
正方形有4条对称轴；
等边三角形有 3对称轴。
【分析】明确轴对称图形的特点是解答本题的关键。
15．22.8
【详解】试题分析：由图意可知：阴影部分的面积=圆的面积﹣正方形的面积，这个最大圆的直径应该等于正方形的对角线，据此即可用圆的半径表示出正方形的面积，正方形的面积已知，从而可以求出阴影部分的面积．
解：如图，
设圆的半径为r，
则正方形的面积为：2r×r÷2×2=40，
即2r2=40，
r2=20；
阴影部分的面积=3.14×20﹣40，
=62.8﹣40，
=22.8（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是22.8平方厘米．
故答案为22.8．
分析：解答此题的关键是用圆的半径表示出正方形的面积，再利用等量代换即可逐步求解．
16． 12.56 12.56
【分析】把圆分成若干个等腰三角形，那么拼成的图形的上下两个底相当于圆的周长，即这个图形的周长比原来圆的周长多了两个半径的长度，因为拼成图形的周长比原来圆的周长增加了4厘米，那么可以知道2个半径的长度是4厘米，一个半径是2厘米，利用圆的周长公式：C＝πd和圆的面积公式：S＝πr2，求出圆的周长和面积即可。
【详解】因为拼成图形的周长比原来圆的周长增加了4厘米，即直径＝4厘米
圆的周长：3.14×4＝12.56（厘米）
圆的面积：3.14×（4÷2）2
＝3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
【分析】本题主要考查了圆的周长公式和面积公式，熟练掌握圆的周长和面积的公式并灵活运用。
17．×
【分析】根据圆的面积＝πr2，小圆和大圆的半径比是2∶3，可将大圆、小圆半径看作2、3，再计算出面积，再根据比的基本性质化简比，据此得出答案。
【详解】小圆和大圆的半径比是2∶3，则小圆和大圆的面积比为：
故答案为：×
【分析】本题主要考查的是圆的面积计算及比的化简，解题的关键是注意圆面积的计算公式，进而得出答案。
18．×
【分析】面积与周长的定义不同：圆的表面或围成的圆形表面的大小，叫做圆的面积；围成圆的一周的长度叫做这个圆的周长；所采用的计量单位也不同：此题中，周长的单位是厘米，面积的单位是平方厘米，单位不能统一，所以没法比较它们的大小。只能说半径是2厘米的圆的周长和面积的数据相等。
【详解】圆的周长：2×3.14×2＝12.56（厘米）
圆的面积：3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
可见圆的周长和圆的面积虽然得出的数据一样，但计算方法不一样，单位不一样，表达的意义也不一样，所以面积和周长无法比较。
故答案为：×
【分析】此题的解题关键是充分理解圆的面积和周长的意义。这里要注意：单位不能统一的数据无法比较它们的大小。
19．×
【分析】根据扇形的面积＝，扇形的面积大小与圆心角、半径有关系，圆心角相等，半径不一定相等，所以面积无法确定；进而判断即可。
【详解】由分析知：扇形的面积大小与圆心角、半径有关系，圆心角相等，半径不一定相等，所以面积无法确定，因此两个圆心角均为90°的扇形不一定能组成半圆；
故答案为：×
【分析】此题考查的是扇形面积的大小与哪些量有关系，应注意分析要全面，不能以点代面。
20．×
【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率；即圆的周长总是直径的3倍多一些，用字母“π”表示，π是一个无限不循环小数，取近似值为3.14；进而判断即可。
【详解】由分析可知：
因为一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些，π表示圆周率，用近似值3.14表示，所以π≈3.14。原题干说法错误。
故答案为：×
【分析】本题考查圆周率，明确圆周率的定义是解题的关键。
21．×
【分析】圆的周长公式：C＝2πr＝πd，半圆的周长公式：C＝πd÷2＋d，进行判断。
【详解】半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度。
因此，题干中的结论是错误的。
故答案为：×
【分析】本题考查对周长的理解以及圆的周长公式。
22．√
【详解】略
23．√
【分析】根据圆周率的含义“圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率”可知：圆周率是定值，不随圆的大小的变化而变化；进而解答即可。
【详解】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，可知不管是大圆还是小圆，都相等，都是π，说法正确。
故答案为：√
24．周长33.12cm；面积25.12cm2
【分析】观察图形可知，阴影部分的周长是一个直径8cm圆的周长的一半加上半径8cm圆的周长的，再加上一条正方形的边长；根据圆的周长公式C＝πd或C＝2πr，代入数据计算；
阴影部分的面积是半径8cm圆的面积的减去直径8cm圆的面积的一半，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算。
【详解】3.14×8×＋2×3.14×8×＋8
＝12.56＋12.56＋8
＝33.12（cm）
3.14×82×－3.14×（8÷2）2×
＝3.14×64×－3.14×16×
＝50.24－25.12
＝25.12（cm2）
阴影部分周长是33.12cm，面积是25.12cm2。
25．1256平方米
【分析】由图可知，正方形的对角线40米是圆的直径，则圆的半径为20米，利用即可求得扩建后喷泉广场的占地面积。
【详解】3.14×（40÷2）2
＝3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方米）
答：扩建后的喷泉广场占地1256平方米。
【分析】掌握圆的面积计算公式是解答题目的关键。
26．8平方厘米
【详解】解：面积为４个圆减去８个叶形，叶形面积为：π-1×1=π-1所以阴影部分的面积为:4π-8(π-1)=8平方厘米
27．如图
【详解】试题分析：依据圆的基本画法，以任意一点为圆心，以2厘米为半径即可画出符合要求的圆，进而标出圆心、半径和直径，再据圆的周长和面积的意义，标出相应的颜色即可．
解：据分析画图如下：
分析：此题主要考查圆的基本画法以及圆的周长和面积的意义．
28．（1）（2）见详解（3）4.71平方厘米
【分析】（1）画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆；
（2）由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形；
（3）根据扇形面积＝，代入数据进行解答即可。
【详解】（1）（2）作图如下：
（3）3.14×32×
=3.14×9×
=28.26×
=4.71（平方厘米）
【分析】关键是掌握画圆的方法，掌握扇形面积公式。
29．9.63cm
【分析】阴影部分的面积是半圆的面积减去空白部分直角三角形的面积，直角三角形的两条直角边就是圆的半径。
【详解】6÷2＝3（cm）
3.14×3 ÷2－3×3÷2
＝3.14×9÷2－9÷2
＝14.13－4.5
＝9.63（cm ）
答：阴影部分的面积是9.63cm 。
30．94.2cm
【详解】=
C=×2πr
=×2×3.14×20
=94.2(cm)
31．12.56平方米
【分析】由题意可知：羊能吃到草的地面是一个圆形，长2米的绳子看作圆的半径，然后再根据圆的面积公式S＝π计算出圆的面积．
【详解】3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方米）；
答：这只羊最多可以吃到的草地的面积是12.56平方米．

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