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第五单元平行四边形和梯形（单元复习讲义）
1、在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
记作：a∥b 读作：a平行于b
2、两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。记作：a⊥b 读作：a垂直于b
3、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
4、与两条平行线互相垂直的线段长度都相等。或者说：两条平行线之间的距离处处相等。 经过直线上一点（或外一点）作垂线，可以画一条。
5、同一平面内，与同一条直线平行（或垂直）的两条直线也互相平行。
6、从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。
7、一个长方形，用两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉，可以拉成不同形状的平行四边形，但是周长不变。
8、平行四边形的特点：容易变形。例如：伸缩门、升降机
9、平行四边形和梯形有无数条高。
10、两腰相等的梯形叫做等腰梯形。特点：两腰相等，两底角相等。
11、有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。特点：有一条腰就是梯形的高。
12、从梯形上底任取一个点，向下底引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫做梯形的高。
13、两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形或平行四边形。
14、长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的平行四边形。正方形是特殊的长方形。
15、三角形三个内角的和是180°，四边形四个内角的和是360°。
16、四边形小结：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
只有一组对边平行的四边形叫梯形。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
四个角都是直角的四边形叫长方形。
四个角都是直角，并且四条边都相等的四边形叫正方形。
【例题一】图中，先过A点画另一条边的垂线，再过B点画另一条边的垂线．
【分析】用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A（B）点重合，过A（B）沿直角边向已知直线画直线即可．
【详解】根据分析画图如下：
【分析】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力．
【例题二】过点P画出线段MN的垂线，并量出∠M的大小：∠M＝（ ）。
【分析】过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边与已知直线重合，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线；
量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此解答即可。
【详解】
经过测量可知：∠M＝40°。
【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。本题还考查了用量角器量角的方法，应熟练掌握。
【例题三】世纪广场内有一块长方形的地，长18m，宽12m。阴影部分为草地，中间有两条小路。如图，一条小路是平行四边形的，一条是长方形的。求草地的面积。
【分析】由题干可知，如图，一条小路是平行四边形的，一条是长方形的，求草地的面积相当于求的是长为18－2＝16米，宽为12－2＝10米的长方形面积，根据长方形面积＝长×宽代入数据即可解答。
【详解】（18－2）×（12－2）
＝16×10
＝160（m2）
答：草地面积为160平方米。
【分析】此题考查的是平面图形的面积计算，解答此题关键是从不同的方法中选出最简便的方法去解答。
一、选择题
1．把一张正方形纸对折两次，展开后折痕（ ）。
A．一定互相垂直 B．一定互相平行 C．互相垂直或平行 D．以上都不对
2．下面各图中，可以表示四边形之间关系的是图（ ）。
A． B．
C． D．
3．同一平面内两条直线的位置关系有（　　）
A．2种 B．3种 C．无数种
4．下面图形不是平行四边形的是（ ）。
A． B． C． D．
5．左图中，有_________个平行四边形，_________个梯形。（ ）
A．1；1 B．2；3 C．2；4
6．用下图四根小棒可以搭成（ ）个形状不同的平行四边形。
A．4 B．2 C．1 D．无数
二、填空题
7．数一数。
图中有( )个平行四边形，有( )个梯形。
8．从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最( )，它的长度叫做这点到直线的( )。
9．图中各组直线中两条直线的位置关系，是相交关系的有( )（填序号），互相平行的有( )（填序号），可表示为( )，互相垂直的有( )（填序号），可表示为( )。
10．一个平行四边形的周长是28厘米，其中一条边的长度是6厘米，那么和它相邻的一条边的长度是( )厘米。
11．只有( )对边平行的四边形叫做梯形，两组对边分别( )的四边形叫做( )。
12．在同一平面内，过一点可以画( )条直线，过直线外一点可以画( )条直线与已知直线平行。
13．下图中，平行四边形有( )个，梯形有( )个．
14．从一点引出两条( )所组成的图形叫做角，这个点叫做角的( )，这两条射线叫做角的( )；只有一组对边平行的四边形叫做( )。
15．图中，直线c和直线d的位置关系是互相( )，直线c是直线( )的垂线，直线d是直线( )的垂线。
16．如图，与25cm的高相对应的底是( )cm。
三、判断题
17．梯形不属于平行四边形。( )
18．在同一平面内，如果两根小棒都与第三根小棒互相垂直，那么这两根小棒不一定互相平行．( )
19．把一张长方形纸沿同一方向对折两次后打开，这些折痕互相平行。( )
20．两条平行线的长都是9厘米．( )
21．如果A平行于B，B平行于C，则A平行于C。( )
四、作图题
22．如图，过直线外一点P画出直线L的垂线和平行线。
23．如图折线，这是一条公路的示意图，M点处有一个商场。
（1）请你量出这条公路拐角的度数，并标记在图中。
（2）从AO段修一条路通往商场，使距离最短，请你画出来。
（3）以商场为起点，往东修一条路与OB平行，请你画出来。
五、解答题
24．下面每个小方格都是边长1厘米的正方形，请你在方格纸上分别画一个长方形和一个正方形，并计算它们的面积．（要写出计算过程）．
我画的长方形的面积：　 　；
正方形的面积：　 　．
25．育红小学有一个等腰梯形的花坛，花坛上底长4米，下底长10米，从上底到下底的距离是4米，一条腰长5米，如果在花坛四周围上护栏，那么护栏长多少米？
26．小明家想把自来水接到房子前的水表处，请你设计最节省长度的水管安装线路．
（1）在图中画出水管安装线路图．
（2）你设计的理由是________
27．（1）量一量，下图梯形中最大的角是（ ）°，这是一个（ ）角。
（2）画一画，过点A画出梯形的高。
28．在两条平行线上分别截取3厘米和6厘米长的线段作为梯形的上、下底，再添加两条线段围成一个直角梯形，这个直角梯形的高是（ ）厘米。
29．画出每个图形指定边上的高．
30．在点子图中画出2个不同形状的四边形
参考答案：
1．C
【分析】把一张正方形纸对折两次，有两种折法，一种是纵对折再对折，此时形成的两条折痕互相平行；一种是横对折再纵对折，此时形成的两条折痕互相垂直。
【详解】如图：
所以，把一张正方形纸对折两次，展开后折痕互相平行或垂直。
故答案为：C
【分析】本题是考查简图形的折叠问题，此题不难理解，只要动手操作一下即可解决问题。
2．B
【分析】正方形、长方形、平行四边形和梯形都是四边形；正方形和长方形是特殊的平行四边形；正方形是特殊的长方形，依此选择。
【详解】四边形之间的关系是：
故答案为：B
【分析】熟练掌握四边形、正方形、长方形、平行四边形和梯形之间的关系是解答此题的关键。
3．A
【详解】试题分析：利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答，同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交．
解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交；
故选A．
分析：本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．
4．C
【分析】正方形和长方形是特殊的平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，依此选择即可。
【详解】A．正方形是特殊的平行四边形。
B．长方形是特殊的平行四边形。
C．是梯形。
D．是平行四边形。
故答案为：C
【分析】解答此题的关键是要熟练掌握四边形的分类及其关系，以及梯形和平行四边形的特点。
5．C
【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；依此计算出平行四边形和梯形的个数即可。
【详解】图中由2个梯形组成的平行四边形有2个，单个的梯形有3个，由3个小梯形组成的大梯形有1个，3＋1＝4（个）
即：图中，有2个平行四边形，4个梯形。
故答案为：C
【分析】熟练掌握平行四边形和梯形的特点是解答此题的关键。
6．D
【分析】把相等的边作为对边可以搭成平行四边形，由于平行四边形具有不稳定性，易变形，所以可以搭成无数个形状不同的平行四边形。
【详解】根据分析可知，图中四根小棒可以搭成无数个形状不同的平行四边形。
故答案为：D。
【分析】本题主要考查学生对平行四边形易变性知识的掌握。
7． 3 4
【分析】有两组对边平行的四边形叫作平行四边形；有一组对边平行的四边形叫作梯形；据此数清楚图形。
【详解】根据分析可得：
图中有（3）个平行四边形，有（4）个梯形。
【分析】本题考查图形的认识，掌握二个图形的概念是解题的关键。
8． 短 距离
【解析】略
9． ①③④ ② d∥c ③ m⊥n
【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足，垂直用“⊥”表示。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线，平行用“//”表示。在同一平面内的两条直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况。
【详解】图中各组直线中两条直线的位置关系，是相交关系的有①③④ （填序号），互相平行的有②（填序号），可表示为d∥c，互相垂直的有③（填序号），可表示为m⊥n。
【分析】本题主要考查学生对相交、垂直和平行概念的掌握和灵活运用。
10．8
【分析】平行四边形的周长等于平行四边形相邻两条边长度和乘2；平行四边形的周长除以2，再减其中一条边的长度，即等于和它相邻的另一条边的长度。
【详解】28÷2－6
＝14－6
＝8（厘米）
一个平行四边形的周长是28厘米，其中一条边的长度是6厘米，那么和它相邻的一条边的长度是8厘米。
【分析】本题主要考查学生对平行四边形周长的认识。
11． 一组 平行 平行四边形
【详解】只有一组对边平行的四边形叫做梯形，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。如下图所示：
12． 无数 一
【详解】略
13． 6 12
【详解】（1）观察图形可知，单个的平行四边形有3个，2个平行四边形组成的平行四边形有2个；3个平行四边形组成的有1个；据此加起来即可；（2）把此图分为：上下两部分；先看上边，整体看，有3个小梯形，又2个梯形组成一个较大的梯形有2个；3个梯形组成的梯形有1个；所以一共有3+2+1=6个，下边也是6个，据此加起来即可解答．
14． 射线 顶点 边 梯形
【分析】根据角的定义和角特点可知：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边，角的两条边是射线，可以向一端无限延伸，所以角的大小和边的长短没有关系，如果将这两条线延长，角的大小不变。梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形；据此解答。
【详解】根据分析：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
【分析】本题主要考查了学生对角的概念以及梯形的概念的掌握情况。
15． 垂直 d c
【分析】图中的两条直线所成的角其中有一个角是直角，那么其余的4个角也是直角，两直线相交所成的角是直角时，这两条直线互相垂直，据此来解答。
【详解】直线c和直线d的位置关系是互相垂直，直线c是直线d的垂线，直线d是直线c的垂线。
【分析】考查学生对两条直线互相垂直的认识。
16．20
【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高。
【详解】如图，与25cm的高相对应的底是（20）cm。
【分析】平行四边形有两组对边分别平行，可以画出两组不同的高。
17．√
【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；依此判断。
【详解】根据梯形和平行四边形的特点可知：梯形不属于平行四边形。
故答案为：√
【分析】熟练掌握梯形和平行四边形的特点是解答此题的关键。
18．√
【详解】略
19．√
【分析】把一张长方形纸沿同一方向对折两次后打开，会形成3条折痕，可以画图或实际操作证明。
【详解】
根据图中折痕可以得出这些折痕互相平行，原题说法正确，故答案为：√。
【分析】本题考查图形的折叠和平行知识，可以画图直观解答。
20．×
【详解】略
21．√
【分析】根据平行的性质：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行；据此解答。
【详解】如下图：
因为直线A和直线B平行，直线B和直线C平行，
所以直线A和直线C平行，
所以原题判断正确。
故答案为：√
【分析】此题考查了平行的性质，应灵活运用。
22．见详解
【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合。再沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。
（2）画已知直线的平行线：三角尺的一条直角边和直线L重合，固定三角尺，用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺和点P重合。平移后，沿直角边画出另一条直线。
【详解】如下图所示：
【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。
23．（1）
（2）
（3）
【详解】（1）用量角器量角的方法：把量角器放在角的上面，使量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所指的量角器上的刻度就是这个角的度数，据此测量图中的角的度数；
（2）从直线外一点到这条直线可以画出无数条线段，其中垂线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离，据此过M点向AO画垂线；
用三角尺过直线外一点画已知直线垂线的方法：1.把三角尺的一条直角边与已知直线重合；2.沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边通过直线外的点，沿这条直角边画一条直线；3.在垂足处标出垂直符号，据此作图；
（3）过直线外一点画已知直线平行线的方法：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和直线外的点重合，过点沿三角板的直角边画直线即可，据此作图。
24．
长方形的面积为：1×3=3（平方厘米），
正方形的面积为：2×2=4（平方厘米），
【详解】试题分析：确定长方形的长和宽分别为3厘米和1厘米，正方形的边长为2厘米，然后分别画出即可；
然后根据：长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长，分别求出其面积即可．
解：长方形的长和宽分别为3厘米和1厘米，正方形的边长为2厘米，
于是作图如下：
长方形的面积为：1×3=3（平方厘米），
正方形的面积为：2×2=4（平方厘米），
答：长方形的面积是3平方厘米，正方形的面积是4平方厘米；
故答案为3平方厘米，4平方厘米．
分析：此题考查了长方形和正方形的画法及长方形和正方形面积的计算方法，比较简单．
25．24米
【分析】求护栏的长度，即是求该梯形花坛的周长，梯形的周长等于上底、下底及两腰的长度之和，据此列式计算即可解答。
【详解】4＋10＋5＋5
＝14＋5＋5
＝19＋5
＝24（米）
答：护栏长24米。
【分析】解答本题理解周长的含义，了解等腰梯形的特点，从而解决问题。
26．（1）
（2）从直线外一点向直线所画的线段中，垂线最短．
【详解】点到直线的距离中，垂线最短，所以从水表的点作自来水主管道的垂线，垂线段的长度就是安装水管的长度．
27．（1）140，钝；
（2）见详解
【分析】（1）量角器的中心和角的顶点重合，量角器的0刻度线和角的一条边重合，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈；然后根据角的分类判断是什么角即可；
（2）高是指梯形上下底的距离，在梯形的上底的任取一个端点作垂直于下底的线段，称为作高，注意高要用虚线画，且要标明垂足，据此解答。
【详解】（1）下图梯形中最大的角是（140）°，这是一个（钝）角。
（2）如图所示：
【分析】本题考查了角的度量方法及梯形高的画法，熟练掌握并正确作图是解答本题的关键。
28．见详解
【分析】根据题意，已知两条平行线，借助直尺再平行线上面分别截取出3厘米和6厘米，然后再画一条垂线作为直角梯形的直角边，连接两边的端点即可；然后用直尺量出直角梯形的高，据此解答。
【详解】如图所示：
用直尺量得梯形的高为2厘米。
答：这个梯形的高为2厘米。
【分析】本题主要考查了直角梯形的画法，掌握直角梯形的特征是解答此题的关键。
29．
【详解】试题分析：经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四形的高；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高．
解：作梯形、平行四边形、三角形的高如下：
分析：本题是考查作三角形的高、平行四边形、梯形的高．注意作高用虚线，并标出垂足．
30．
【详解】试题分析：根据平行四边形、正方形的特征，利用点子图即可画出符合题意的图形．
解：根据题干分析画图如下：
分析：解答此题的关键是明确平行四边形的两组对边平行且相等，正方形的四个角都相等，四条边都相等的特征．

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