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教案第四单元4.4.1
《平面向量的内积》
授课题目 平面向量的内积
授课课时 2 课 型 讲授
教学 目标 知识与技能：能从做功的角度说出平面向量内积的意义；能写出平面向量内积的公式； 过程与方法：从功的意义去理解向量的内积；能利用向量内积的公式解决一些简单问题； 情感态度：在探究数学问题中感受获得知识的成就感；感受数学思维的逻辑性，严谨性，规范性。
教学 重难点 重点：平面向量内积的计算公式； 难点：已知向量的内积和模，求解两向量的夹角；一些特殊向量的内积：如；
第1课时
教学过程 教学活动 学生活动 设计思路
创设情境 2018年世界室内拔河锦标赛，中国队勇夺两枚金牌，若我国选手的拉力为F，使得对手沿着绳子的水平方向发生了位移s，选手们的手臂用力的方向与绳子的水平方向夹角为，你能不能计算我国选手的拉力F对对手所做的功？ 分析：功是一个数量，由拉力(F)和位移(s)两个向量来确定.如图1所示，把拉力F分解为水平方向的分力F1和垂直于地面向上方向的分力F2，对手的位移s的方向与F1的方向一致，因此拉力F对对手做的功实际上就是水平方向的分力F1对对手做的功，即,由图1易得：,所以 一个人提着一桶装满水的水桶在水平的地面上行走100米，请问这个人对水桶做了多少功？ 答：人对水桶不做功。 知识概述 如图2,设有两个非零向量和b，作,,则叫作向量与b的夹角，记作 显然,当时, 和b同方向;当时, 与b反方向;当, 与b垂直,记作 b. 一般地,两个非零向量,b的模与它们的夹角的余弦值之积叫作向量与向量b的内积(或数量积),记作,即 两个向量的内积是一个实数。该实数的大小与两个向量的模及其夹角的余弦值有关. 如图3 ，过点B向所在的直线作垂线，垂足为点B1,，由三角函数的定义可知， 我们把向量在向量方向上的投影。 因此，的几何意义：向量的模与向量在向量上的投影的乘积。 特别的，， 三、知识巩固和应用 回答：一般地，已知两个非零向量与，它们的夹角为，且__________，我们把数量与的____________，记作_________. 例1 已知, ,求 解：= 思考：两个非零向量的夹角在什么范围内取值时，其内积的结果分别是正数、负数或零。 思考与回答 ↓ 分析探究 ↓ 理解记忆 思考 ↓ 回答 ↓ 提问 ↓ 分析 思考 ↓ 分析 ↓ 解答 ↓ 提问 从生活中的问题出发，结合物理知识，理解向量内积的意义。 由物理中的“功”过度到数学中的向量内积，需循序渐进的指导，学生难以接受时，可采用分组合作，互相提问的方式加深理解。 数学的内积比较抽象，需给足消化的时间，学习后同步答疑，可进一步加深理解和记忆。
第2课时
教学过程 教学活动 学生活动 设计思路
一、知识点回顾 一般地,两个非零向量,b的模与它们的夹角的余弦值之积叫作向量与向量b的内积(或数量积),记作,即 两个向量的内积是一个实数。 习题讲练 习题1 已知，求 解 因为 得 由于 所以， 提示：求解反三角比时，需要考虑夹角在规定范围内。 习题2 已知，求 解：由 提问1：为什么 可以分组验证，向量内积满足以下的运算律。 注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即 习题3 已知，且向量与，求. 解 因为与， 0 所以() =0 所以 因为 ，所以 又因为 所以 思考 ↓ 回答 ↓ 求解 ↓ 计算 ↓ 提出问题 ↓ 解决问题 通过练习巩固知识点，并加以运用,提升思维能力。
教学反思 向量的内积比较抽象，可借助生活情境理解“做功”问题，给足理解的空间和时间。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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