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6.4.2《二面角》教案
授课题目 二面角
授课课时 1 课 型 讲授
教学 目标 知识与技能：使学生正确理解二面角与平面角的概念，并能初步运用它们解决问题；进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想； 过程与方法：通过引导学生发现二面角的平面角的定义，培养学生的类比能力、观察能力、和归纳总结能力，通过指导学生探求二面角的平面角的做法，培养学生自主探索能力与协作探究能力； 3.情感、态度与价值观：通过本节学习和运用实践，激发学生的学习积极性，培养思维的变通性和严密性，培养学生的探索精神和创新精神。
教学 重难点 1.教学重点：二面角的平面角的概念形成过程； 2.教学难点：寻求二面角的平面角。
第1课时
教学过程 教学活动 学生活动 设计思路
创设情境 如图6-52 ,它是笔记本电脑打开后的两种不同状态. 如果用笔记本电脑的屏幕相对桌面的倾斜程度来刻画它们的状态,这两种状态相对桌面的倾斜程度可能是一样的,这样就无法区别它们的真实状态. 用什么方法可以更好地区别它们的摆放状态呢 分析理解 我们可以用键盘面所在平面为参照面, 用屏幕面与键盘面之间的张开程度来刻画它们的位置状态, 这样可以有效区分两种状态. 观看课件，在教师引导下思考、讨论、回答问题 从实际事例使学生自然的走向知识点
抽象概括 上述例子中提到的“张开程度”实际就是接下来要学习的二面角的平面角. 平面内的一条直线把一个平面分成了两部分, 每一部分叫作一个半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角, 这条直线叫作二面角的棱, 这两个半平面叫作二面角的面. 以AB为棱、α和β为两个半平面的二面角(如图6-53 ( 1 )), 通常记作α-AB-β.如果二面角的棱为l (如图6-53( 2 )), 可以记作α -l -β. 如果C和D分别是半平面α和β内的点(如图6-53 ( 3 )), 也可以记作C-AB-D. 如图6-54 , 在二面角的棱l上任取一点O ,以点O为垂足, 在半平面α和半平面β内分别作垂直于棱l的射线OA , OB , 则射线OA ,OB所成的角∠ AOB 叫作二面角的平面角. 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度, 就说这个二面角是多少度 . 当二面角的两个半平面重合时, 规定二面角的大小为 0° ; 平面角为直角的二面角叫作直二面角; 当二面角的两个半平面合成一个平面时, 规定二面角的大小为180°. 所以二面角的大小的范围是[0° , 180°]. 观察图片、 积极思考、 掌握二面 角和二面 角的平面 角的概念 通过师生互动，理 解并掌握二面角和二面角的平面角的相关概念及范围
典型例题 例 1 如图6-55 , 已知二面角α-l-β 的平面角为30°, 平面β内有一点P , 它到平面α的距离是2 , 求点P到棱l的距离. 分析 过点P构造一个二面角的平面角,然后根据二面角的大小去求点P到棱l的距离. 解 在平面β内, 过点P作PB⊥l交于点B , 再过点P作PA ⊥α, 垂足为A , 连接AB , 则PA⊥l . 又∵ PB⊥l , PA∩PB = P , ∴ l⊥平面 PAB , ∴AB⊥l . 又∵ AB α, PB β, ∴ ∠PBA为二面角的平面角. ∵在 Rt△PAB中, ∠PBA =30°, PA =2 , ∴PB =4 , ∴点P到棱l的距离为4. 例 2 如图6-56 , 在三棱锥 P - ABC 中, PA ⊥平面 ABC , AB ⊥ AC , AB = AC =4 , PA =3 , 求二面角P-BC-A 的余弦值. 分析 要求二面角的大小,也就是在棱BC上找一点,然后过这个点分别在两个半平面内作垂直于BC的射线,这两条射线所成的角就是所求二面角的平面角. 解 取BC的中点E , 连接PE , AE . ∵PA⊥平面 ABC , ∴PA⊥AB , PA⊥AC , PA⊥ AE . 又∵AB = AC =4 , PA =3 , ∴PB = PC =5. 又∵E是BC的中点, ∴PE⊥BC , AE⊥BC . 又∵PE 平面PBC , AE 平面ABC， ∴∠ PEA 为二面角P-BC-A的平面角. ∵AB⊥AC , AB = AC =4 , ∴BC =42 , AE =22 , ∴PE = = 17 , ∴ cos∠ PEA =. ∴ 二面角 P - BC - A 的余弦值为. 在教师引导下读题 思考解题过程 在教师引导法探究如何找到二面角的平面角，并利用概念解题 读题 思考解题过程 回答教师提出的问题，学会求二面角 通过例题分析探究二面角的平面角的概念及其应用 通过例题分析求解进一步领会如何求二面角。
随堂练习 1. 二面角是指( ) . A. 两个平面的夹角; B. 两个平面相交所组成的图形; C. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形; D. 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形. 2. 二面角的大小的范围是( ) . A. [0°, 90°] B. [0°, 180°] C. (0°, 90°) D. (0°, 180°) 3. 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, 二面角 A - BC - A 1 的大小为( ) . A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 已知二面角α- l -β, 平面α内有一点P , 它到另外一个平面的距离是2 , 到棱l的距离为4 , 二面角α- l -β的大小为_________. 5. 在正方体中, 求二面角的正切值 . 做随堂练习 通过练习加深学生对所学知识的理解，教师及时了解学生知识掌握的情况，进一步突破重难点。
教学 反思 （正文，宋体小四，1.5倍行距，段首前空两字）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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