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第九单元9.3《离散型随机变量及其分布》教案
授课题目 正态分布
授课课时 1 课 型 讲授
教学 目标 一、知识与技能 理解正态分布的含义，能描述正态分布曲线的含义，并会求正态分布函数中μ,σ的值以及应用正态分布函数求解相应的问题。 二、过程与方法 通过绘制频率直方图，进一步缩小组距推导正态分布的过程，理解并掌握正态分布及其曲线。 三、情感与价值 通过学习正态分布及其曲线，体会数学在生活及企业管理中的应用，并能结合生活实际应用数学知识。
教学 重难点 一、教学重点 正态分布 二、教学难点 正态分布曲线及其性质
第1课时
教学过程 教学活动 学生活动 设计思路
创设情境 某加工厂加工一批长度为25.40 cm的管子,为了检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,测得它们的实际尺寸如下(单位:cm). 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39 我们是否有合理的方法判断这批产品是否合格 自主探究 面对这样的数据, 我们可以借助频率直方图来帮助我们分析.把这批产品的长度尺寸看成一个总体, 那么这100个产品的实际尺寸就是容量为100的样本, 根据前面的知识可以得到这组样本数据的频率直方图.如图9-1 图9-1 如果样本容量无限增大, 组距无限缩小, 那么频率直方图中的小矩形的顶部就会无限地接近一条光滑的曲线y=f(x), 我们把这条曲线叫作概率密度曲线。 图9-2 根据概率密度曲线，取值于某一范围的概率(如图9-2中的(a,b)), 都可以通过计算曲线下方相应部分的面积而得到。 一般地, 如果随机变量的概率密度曲线是 其中μ,σ是常数,σ>0(μ是期望,σ2是方差,σ是标准差), 那么称随机变量ξ服从参数μ,σ2的正态分布, 简记为ξ~N(μ,σ2).这时, 我们把随机变量ξ的概率密度曲线叫作正态分布曲线或正态曲线,ξ叫作正态随机变量.正态分布曲线的函数表达式称为正态分布的密度函数.μ,σ是两个重要参数, 一旦μ,σ给定了, 就给定了一个具体的正态分布。 图9-3 GGB案例：正态分布 教师借助GGB演示,并总结性质。 正态分布曲线具有以下性质. (1)函数在x=μ处取得最大值, 且关于直线x=μ对称, 函数图像在x轴上方； (2)当μ一定时,σ的大小决定函数图像的“高”“矮”“胖”“瘦”.σ越大，函数图像越“矮胖”；σ越小，函数图像越“高瘦”； (3)当σ一定时, 函数图像的位置由μ决定, 函数图像随着μ的增大而沿着x 轴的正方向平移； x轴是正态分布曲线的渐近线. μ=0,σ=1时的正态分布, 即ξ~N (0, 1)叫作标准正态分布, 相应的曲线叫作标准正态分布曲线。 图像如图所示 图9-4 标准正态分布曲线的密度函数 图9-5 特别地, 如图9-5所示, 对于正态分布曲线有以下性质: P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.3%, P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈95.4%, P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈99.7%. 从上面的结论可以看到, 随机变量服从正态分布, 在区间(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率小于0.3%.因为这些概率值很小, 在一次试验中几乎不可能发生, 所以通常称这些事件为小概率事件.在实际应用中,服从于正态分布ξ~N (μ,σ2)的随机变量ξ只取区间(μ-3σ, μ+3σ)内的值,这就是企业管理中的“3σ 原则”。 例题讲解 例1.如图，如果μ=3, 你能写出图中三条曲线的函数表达式吗 解 根据正态分布曲线的函数表达式, 可以求得: 当μ=3,σ=1/2时, 曲线的函数表达式是 当μ=3,σ=1时, 曲线的函数表达式是 当μ=3,σ=2时, 曲线的函数表达式是 例2.若工厂生产符合标准的某种配件的尺寸满足正态分布N (39.40,0.032), 质量检验员随机抽查了10个配件, 测量得到它们的尺寸如下(单位: cm). 编号12345尺寸39.3339.5639.4539.4739.27编号678910尺寸39.3639.3939.4839.4639.40
请你根据“3σ 原则”, 帮助质量检验员确定哪些配件应该判定为不符合标准. 分析 利用服从于正态分布ξ~N (μ,σ2)的随机变量ξ 只取区间(μ-3σ,μ+3σ)内的值来判定. 解：根据“3σ原则”, 我们把尺寸落在区间(39.40-3×0.03, 39.40+3×0.03), 即(39.31, 39.49)之外的零件配件判定为不符合标准的配件,所以尺寸为39.56和39.27的两个配件, 符合落在区间(39.31, 39.49)之外这一条件.因此判定2号和5号配件是不符合标准的. 正态分布的应用非常广泛, 如产品的质量、农作物的亩产量、测量中的随机误差、航天飞机和火箭的落点、学生的考试成绩等, 一般都服从正态分布。 课堂练习 1.均值为3、方差为π的正态分布的密度函数为 . 2.正态曲线下, 横轴上从μ 到+∞的曲线与横轴围成的图形面积是 . 3.正态分布有两个参数μ 与σ, 相应的正态曲线的形状越“高瘦”, 则( ). A.μ 越大 B.μ 越小 C.σ 越大 D.σ 越小 4.设有一正态分布, 它的概率密度曲线的函数表达式是 指出这个正态分布的期望、方差和标准差. 课堂小结 本节课主要学习： 1.概率密度曲线 2.正态分布及正态曲线 3.小概率事件 作业布置 回答初中绘制频率直方图的方法与过程 学生在稿纸上根据情境问题绘制频率直方图 提出问题 让学生思考，缩小组距会发生什么变化 学生听讲 依据GGB案例，回答问题 分析正态分布曲线所具有的性质 让学生举出生活中的小概率事件 教师提问，学生回答 学生做练习 学生回顾课堂所学 结合生活情境实例，提出问题，分析问题 为新课教学做准备 调动学生学习的主动性 借助软件激发学生探究的兴趣 教师点评并总结图像性质 教师示范 巩固课堂所学 巩固课堂所学
教学 反思 借助GGB教学软件辅助教学，能直观地展示正态分布曲线变换的动态过程，能加深学生的印象，提高教学效果。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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