资源简介

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北师大中职数学《不等式》单元教学设计
第9-10课时
授课题目 2.5不等式的应用
授课类型 新授课
建议学时 2学时
单元知识概览
内容分析 本课选自北师大版“十四五”国规教材中职《数学》基础模块上册第二章第五节，生活中的许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解，不等式有着丰富的实际背景.通过本节学习，让学生进一步理解数学在实际生活中的应用，理解一些数学方法和数学思想，拓宽学生的数学视野.把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述刻画问题的一种数学模型.
教学目标 知识目标 1.能根据实际问题中蕴含的数量关系或变化规律抽象出相应的一元一次不等式、一元二次不等式或含绝对值的不等式； 2.能化简、求解不等式，用区间写出解集，并结合问题情境解释解集的实际意义； 3.通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤.
能力目标 1.初步了解数学建模解决实际问题的步骤和方法，逐步提高数学建模、数学运算和逻辑推理等核心素养； 2.提高学生解决生活中实际问题的能力.
素质目标 通过对生活中熟悉的实际问题的解决，激发学生学习的热情.培养学生严肃认真的科学态度，同时感受数学的应用性.
教学重 难点 重点 根据实际情况建立数学建模解决实际问题.
难点 根据实际情况建立数学建模解决实际问题的步骤和方法.
教学方法 教法 情境教学法、自主探究法
学法 合作学习法、讨论学习法
教学资源 分类描述使用教学软件和数字化资源 1.使用GGB软件绘制二次函数图像； 2.利用网络资源收集不等式在生活、专业中的应用.
课程思政 课中设置加工精密零件问题，在解题过程中，让学生体会到大国工匠的精神.认识到工匠精神是一种严谨认真、精益求精、追求完美、勇于创新的精神。
教学过程
第1学时
课前准备 【课前知识储备】 1.复习一元一次不等式、一元二次不等式以及含绝对值的不等式的知识； 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两个不相等的实数根 x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根 x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集(﹣∞,x1)∪(x2,﹢∞)(﹣∞,－)∪(－,﹢∞)Rax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集(x1,x2)
【学生知识储备检测】 见附录1.
课中教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图、媒体资源等
（一） 情景导入 （6分钟） 1.【复习旧知，列举实例】 （1）复习一元一次不等式、一元二次不等式或含绝对值的不等式的知识； （2）利用不等式可以解决一些生活和生产实践中的实际问题． 【播放课件、图片】 组织学生复习,并举利用不等式可以解决一些生活和生产实践中的实际问题. 【观看课件、图片】 感受生活中的绝对值和生活中的不等式. 引导学生用数学的眼光观察世界,数学的思维思考世界.
2.【创设情境，导入新课】 情境1:大国工匠胡双钱是我国某飞机制造厂数控机加车间钳工组组长，在30多年的航空技术制造工作中，他经手的零件数十万，没有出过一次质量差错．大飞机的很多重要精密零部件,都需要胡双钱这样的能工巧匠手工完成.某国产大型客机需要制作一个精密零件,该零件的内孔直径为5mm，且误差不能超过0.15mm.请问该零件的内孔直径应该控制在什么范围内呢 情境2:用篱笆在墙边围一块矩形小花坛,其中一边靠墙(如图 所示),篱笆总长为8m.若小花坛的面积不小于6m2,则小花坛垂直于墙的一边的长度范围是多少 情境3:某网店销售一种电动玩具,成本为10元/个.平时按单价20元销售,日平均销售量为100个.为进一步提升业绩,该网店决定在“双11”期间举办降价促销活动.根据以往的统计,如果电动玩具单价每降低1元,日平均销售量就会增加20个.为了使促销活动期间日平均利润不低于平时,应如何确定降价的范围 【发布任务】 1.全班分6讨论小组，明确小组长的任务. 2.展示情境，引导学生分析理解.情景1的问题可用一个含有绝对值的不等式表示.分析情境2、3的问题，涉及一元一次不等式、一元二次不等式的知识. 3.引导学生学习大国工匠的严谨认真、精益求精、追求完美、勇于创新的精神. 【小组讨论】 1.分组讨论，由组长记录. 2.每个小组长归纳总结并展示. 3.感悟新时代大国工匠精神. 通过问题情景，提炼关键信息，建立数学关系.在新时代要大力弘扬工匠精神，工匠精神是一种严谨认真、精益求精、追求完美、勇于创新的精神.
（二） 探索新知 （15分钟） 1.【合作探究，自主建构】 情境1中,设零件的内孔直径为xmm，则应满足|x－5|≤0.15. 解得4.85≤x≤5.15． 所以,加工该零件的内孔时，应将内孔直径控制在[4.84,6.15]范围内（单位:mm）． 情景2中，设小花坛垂直于墙的一边的长度为xm,则与墙平行的一边的长度为(8－2x)m.其中x>0,并且8－2x＞0,所以要求x满足02.【归纳总结，抓住规律】 【从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤】 （1）阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系. （2）设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）. （3）解不等式（或求函数最值）. （4）回扣实际问题. 思考解一元二次不等式应用题的关键是什么？ 【提示】在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解. 【发布任务】 引导学生从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤.并提出思考：解一元二次不等式应用题的关键是什么？ 【完成任务】 抽象出一元二次不等式模型的步骤.并思考. 提升学生的归纳概括能力.
（三） 示范讲解 （10分钟） 【一元一次不等式的应用例题讲解】 例1 如图所示，现有质量分数为 50%的酒精溶液100g，要稀释成质量分数不低于20% 且不高于30%的酒精溶液500 g，那么需要加入质量分数介于什么范围内的酒精溶液呢？ 分析 加入另外的酒精溶液后，酒精溶液质量和溶液中的酒精质量都会发生变化． 解 设需要加入质量分数为 x%的酒精200g，依题意可得： 化简，得不等式组 解得12.5 ≤x≤25，所以x的取值范围是[12.5,25],即所要添加酒精的质量分数应该介于12.5%到25%之间． 【板书示范】 分析解题思路，板书示范解题过程. 【听讲】 认真听讲，记录笔记. 学以致用 ，树立学生的学习自信.
【一元二次不等式的应用例题讲解】 例2 如今,智慧农业深入民心，通过科学种植可以大幅提高农产品的产量.实践证明,果树栽培过程中栽种密度过大,果树之间的透气性就会受到影响,不能保证有足够的光照度,水果的产量和品质都会受到影响.通过数据分析,在某果园内种植面积不变的情况下,如果按照种植50棵果树计算,平均每棵树可以产果600个.如果种植密度增加,每多种一棵树,平均每棵树就会减少结果5个.如果要使水果总产量不少于33000个,应该如何安排种植数目？ 解 设要增种x棵果树，增种后每棵树会结果(600-5x)个，根据题意得 整理得 即 解得10≤x≤60．因此要使水果总产量不少于33000个，该果园内至少要增种10棵果树，但不能增种超过60棵. 【发布任务】 例2由学生上讲台讲解，教师根据学情点评，多鼓励表扬. 【完成任务】 积极争取上台讲解. 感受农业强国，智慧农业的重要性.培养学生的逻辑推理能力，提升数学运算核心素养.
（四） 课堂练习 （6分钟） 1.【对照练习】 P57【随堂练习】1、2题. 2.【课堂检测】 小王准备用自己节省的零花钱为妈妈买一件礼物，他现在已存80元，计划从现在起以后每个月节省20元，直到他至少有200元.设x个月后他能存够，则x满足的不等式 . 【发布任务】 1.让学生独立完成随堂练习后点评. 2.学生独立完成或小组内合作完成【合作交流】. 【完成任务】 1.独立完成【随堂练习】 2.合作完成，并阐述理由. 巩固知识，同时培养学生数学运算、逻辑推理等核心素养.
（五） 课堂小结 （3分钟） 知识层面：能根据实际问题中蕴含的数量关系或变化规律抽象出相不等式,并对不等式进行化简、求解,用区间写出解集,并结合问题情境解释解集的实际意义. 能力层面：初步了解数学建模解决实际问题的步骤和方法，逐步提高数学建模、数学运算和逻辑推理等核心素养. 课程思政：课中设置加工精密零件问题，在解题过程中，让学生体会到严谨认真、精益求精、追求完美、勇于创新的精神. 【发布任务】 让学生自主归纳总结，多鼓励表扬参与者. 【归纳总结】 学生积极参与课堂小结归纳，其它同学可作补充. 提升学生的归纳概括能力
板书设计 2.5.1不等式的简单应用 一、情景导入 二、例题示范 三、课堂练习 1.情境1： 例1 2.情境2： 例2 3.情境3： 简单明了，重点突出.
第2学时
课中教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图、媒体资源等
（一） 情景导入 （6分钟） 情景4 我国交通法规对小汽车驾驶员的年龄限制如下:最低年龄18周岁,最高年龄70周岁.已有研究表明,小汽车驾驶员对红绿灯变化的反应时间y(ms)与驾驶员年龄x(岁)的关系为y= 0.005x2-0.2x+22,18≤x≤70.问:反应时间超24.5ms的驾驶员所处的年龄范围是多少 情景5 身体质量指数(BodyMass Index,简称BMI)是衡量人体胖瘦程度的一个常用标准,计算公式为BMI=(BMI单位: kg/ m2).研究指出,在研究中使用身体素质指标来衡量学生的身体素质,该指标是指学生参加50m跑,立定跳远,力量(男生引体向上,女生1分钟仰卧起坐),耐力跑(男生1000m,女生800m),坐位体前屈等项目的成绩总和.身体素质指标为正数说明身体素质较好.上述研究发现，身体素质指标(y)与BMI(x)之间的关系如表所示. 问:身体素质较好的男生和女生,其BMI的范围分别是多少 【创设问题情境】 展示情境，引导学生分析理解。情景4、5的问题都可转化成解一元二次不等式. 【思考问题】 积极思考并发言. 用学生熟悉的实际情境案例帮助学生分析理解并形成结论，培养学生的发现问题、分析解决问题的能力.
（二） 探索新知 （15分钟） 1. 合作探究，自主构建 情景4中，由题意得, y=0.005x2 －0.2x+22>24.5,即0.005x2－0.2x -2.5>0. 化简得x2-40x-500>0. 考查二次函数y=x2-40x-500,a=1 >0,Δ=b2-4ac=(-40)2-4×1×(-500)=3600>0,所以二次函数y=x2-40x -500的图像开口向上,并且与x轴有两个交点. 其简图如图所示. 由图像可知, 不等式x2-40x -500>0的解集为(-∞, -10)∪(50, +∞), 这也是不等式0.005x2-0.2x -2.5>0的解集.考虑到18≤x≤70, 所以x的范围是(50, 70], 即反应时间超过24.5ms的驾驶员所处的年龄范围在50岁至70岁之间(不包含50岁,包含70岁). 情景5中，先考虑男生的情况.由题意得, y=-0.05x2+2x-19.2>0, 即 0.05x2-2x+19.2<0.化简得x2-40x+384<0.考查二次函数y=x2-40x+384, a=1>0, Δ=b2-4ac=402-4×1× 384=64>0, 所以二次函数y=x2-40x+384的图像开口向上, 与x轴有两个交点. 所以不等式x2-40x+384<0的解集为(16, 24), 这也是不等式 -0.05x2+2x-19.2>0的解集.再考虑女生的情况.由题意得, y=-0.01x2+0.39x-3.68>0, 即 0.01x2-0.39x+3.68<0. 化简得 x2-39x+368<0. 考查二次函数y=x2-39x+368, a=1>0, Δ=b2-4ac =(-39)2-4×1×368=49>0, 所以二次函数y=x2-39x+368的图像开口向上, 与x轴有两个交点.所以不等式x2-39x+368<0的解集为(16, 23), 这也是不等式-0.01x2 +0.39x-3.68>0的解集.因此,身体素质较好的男生BMI的范围是(16, 24),身体素质较好的女生BMI的范围是(16, 23). 【发布任务】 1.明确每组任务及小组长任务,设问： ①情境4中，反应时间超24.5ms的驾驶员所处的年龄范围是多少 ②情境5中，体素质较好的男生和女生，其BMI的范围分别是多少 【完成任务】 1.分组讨论，合作完成，由组长记录，并展示结论. 1、2、3组讨论完成情景1； 4、5、6组讨论完成情景2. 通过小组讨论，培养学生的合作精神，从分析问题情境，建立数学建模的思想,提升学生解决问题的能力.
2.归纳总结，抓住规律 解不等式应用题的步骤： （1）分析题意，找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）； （2）解不等式（组），求出未知数的范围； （3）从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案． 【总结归纳】 引导学生总结归纳解不等式应用题的步骤: （1）分析题意,找出实际问题中的不等关系,设定未知数，列出不等式（组）； （2）解不等式（组）,求出未知数的范围； （3）从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案． 【做好笔记】 归纳并记录解不等式应用题的步骤. 通过归纳总结，提升学生的归纳总结的能力.
（三） 示范讲解 （8分钟） 【例题讲解】 例3 已有研究表明，小型汽车驾驶员对红绿灯变化的反应时间y1(ms)与驾驶员年龄x（周岁）的关系为y1=0.005x2-0.2x+22, 18≤x≤70.对消防车警笛的反应时间y2（ms）与驾驶员年龄x（周岁）的关系为y2=0.0051x2-0.3x +15,18≤x≤70.问：哪个年龄段的驾驶员对红绿灯变化的反应时间要对要长于对消防车警笛的反应时间？ 解 根据题意，y1＞y2,所以 0.005x2-0.2x+22＞0.0051x2-0.3x+15 -0.0001x2+0.1x+7＞0 -x2+1000x+70000＞0 x2-1000x-70000＜0 根据求根公式 所以x. 可知当18≤x≤70均在此范围内, 所以18≤x≤70的驾驶员对红绿灯变化的反应时间要长于对消防车警笛的反应时间. 【发布任务】 审题并思考解决问题.指导学生小组合完成例3，点评并给予鼓励. 【完成任务】 小组合作完成例3. 巩固知识，提升学生实际问题的能力.同时培养学生团结协作的意识.
（四） 课堂练习 （8分钟） 1.【对照练习】 P59【随堂练习】 2.【课堂检测】 1.如今,智慧农业深入民心，通过科学种植可以大幅提高农产品的产量.实践证明,果树栽培过程中栽种密度过大,果树之间的透气性就会受到影响，不能保证有足够的光照度,水果的产量和品质都会受到影响.通过数据分析,在某果园内种植面积不变的情况下,如果按照种植50棵果树计算，平均每棵树可以产果600个,如果种植密度增加,每多种一棵树,平均每棵树就会减少结果5个.如果要使水果总产量不少于33000个，应该如何安排种植数目？ 2.已知国际标准足球场为矩形，其长为100—110m，宽为64—75m.若某一足球场的宽为70m，周长大于350m,面积小于7560m2.求该足球场的长x（m）的取值范围，并判断这个场地是否满足国际足球比赛的要求. 【发布任务】 1.让学生独立完成随堂练习后点评. 2.学生独立完成或小组内合作完成【合作交流】. 【完成任务】 1.独立完成【随堂练习】 2.合作完成，并阐述理由. 巩固重要知识，提高学生分析解决问题的能力.
（五） 课堂小结 （3分钟） 知识层面：通过实际问题的情景,让学生掌握不等式的实际应用,掌握解决这类问题的一般步骤. 能力层面：提高学生解决生活中实际问题的能力. 课程思政：课中设置加工精密零件问题，在解题过程中，让学生体会到大国工匠的精神.认识到工匠精神是一种严谨认真、精益求精、追求完美、勇于创新的精神. 教师让学生通过学习后归纳总结. 梳理知识并归纳总结. 让学生学会学习.
布置作业 必做题：P59-60【随堂练习】水平一 选做题：P60水平二1题、2题. 分层练习，满足不同层次学生需求
板书设计 2.5.2不等式与复杂实际问题 一、情景导入 二、例题示范 三、课堂练习 1.情境4： 2.情境5： 简明扼要，突出重点.
课后拓展延伸 1.复习一元一次、一元二次、含绝对值的不等式的解法； 2.了解数学史上的几个著名不等式介绍； 3.知识检测（见附录2）
反 思 诊 改
教学反思：
附录1：学生知识储备检测题
1.求关于x的一元二次不等式x2-4x+3>0的解集.
2.小明家距离学校2000m.按平常的速度匀速行走，小明需要步行30 min才能按时到校．若某日小明在前一半时间只走了800 m，问后半段时间平均速度至少为多少才能保证按时到校？
3.某商店出售甲、乙两种品牌的水泥，袋子上分别标注规格及误差范围是“（20±0.2）kg”和“（20±0.3）kg”．现从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差多少？
附录2：知识检测题
1.园林工人计划使用20 m的栅栏材料，在靠墙的位置围出一块长方形的花圃，要求花圃面积不小于42m^2，试确定与墙平行的栅栏的长度范围．
2.某商品以每个25元的价格销售，每年可以售出8万，由于某种原因，商家要对该商品提价，根据市场调查，若单价每提商0.1元,销售量可能相应减少2000件，若要销售的总收入仍不低于20万元，则该商品的单价应该控制在什么范围内
3.某学校要用一个39 m长的栅栏围成一个中间有隔断的矩形场地来种植花草(如图所示)，要求这个场地的面积不小于45m2，请你设计一个方案，并指出方案中场地隔断x的范围.
教学设计：陈易
重庆市奉节职业教育中心
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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