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北师大中职数学《函数》单元教学设计
第11课时
授课题目 3.4.2一次函数与二次函数的应用
授课类型 新授课
建议学时 1学时
单元知识概览 (
函数的表示方法
函数的概念
函数的性质
函数的应用
函数主线
第三单元
函数
)
内容分析 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具，在社会生活、生产中，函数关系随处可见，函数的应用也极其广泛。本节课的内容是建立在初中方程模型和第二单元不等式模型的基础上的函数应用，在函数的概念、一次函数、二次函数基础上，运用函数知识分析和解决实际问题，可以帮助学生完善函数的思想，激发应用数学的意识和能力，培养数学抽象、数学建模等核心素养.选用熟悉的生活情境引入一次函数、二次函数模型，引导学生感知函数是描述客观世界规律的数学基本模型，体会用函数的知识解决实际问题的过程与方法.
教学目标 知识目标 从实际问题中选择、建立一次函数、二次函数模型，通过运算、推理得出结论来解释情景中的问题.
能力目标 1.能进一步明确数学建模的一般步骤，培养分析问题的能力和数学建模能力； 2.能用二次函数模型解决最大面积和最大利润问题，提高学生解决问题的能力和数学运算能力.
素质目标 学生经历从实际问题中建立函数模型的过程，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，激发学生的数学应用意识，提升学生数学建模的核心素养。
教学重难点 重点 用一次函数和二次函数模型解决实际问题
难点 将实际问题转化为数学问题和二次函数模型的最值问题
教学方法 教法 启发式教学法、情境教学法
学法 合作学习法、讨论法
教学资源 分类描述使用教学软件和数字化资源 1.使用几何画板画一次函数、二次函数图像； 2.用录屏软件录制苏翊鸣夺冠的视频；
课程思政 在引入二次函数应用时通过冬奥会上苏翊鸣夺冠时刻的短视频，增强学生的民族自豪感，渗透爱国教育，同时引导学生要学会吃苦耐劳、勇于拼搏、坚持理想，最后回报社会、回报国家、为国争光.。
教学过程
课前准备 【课前知识储备】 1.一次函数和二次函数的解析表达式； 2.一次函数、二次函数的图像及性质（尤其是二次函数的最值问题）； 3.用待定系数法求一次函数、二次函数的表达式； 4.数学建模的一般步骤. 【学生知识储备检测】 见附录1
课中教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图、媒体资源等
（一） 情境导入 （8分钟） 1.【复习旧知，列举实例】 （1）回顾一次函数、二次函数的表达式及性质. （2）分段函数建模的一般步骤. （3）播放苏翊鸣夺冠视频. 【发布任务、播放视频】 设问： （1）一次函数的表达式是什么？其图像是什么？其单调性如何判定？ （2）二次函数的表达式有几种？图像是什么？有哪些性质？ （3）分段函数建模的一般步骤. 【完成任务、观看视频】 1.回答问题 2.观看视频，谈感想 温故知新 培养学生的民族自豪感，渗透爱国教育.
【创设情境，发现问题】 苏翊鸣在第二跳时，起跳高度达到8.49米，以爆发式的方式起跳，并在空中形成好的抛物线，这是他获得高分的关键因素之一。我们知道，在地心引力的作用下，滑雪运动员起跳后，其运动轨迹呈抛物线形式下降。 假设某滑雪运动员在一次训练中从5高的跳台A点起跳，其运动轨迹是一条抛物线，在距离跳台横跨度6米处达到最高点，距离跳台横跨度20米处落地，你能计算出他起跳后距离地面的最高高度吗？ 【发布任务】 指导学生思考问题 问题： （1）这个图像是什么函数图像？ （2）x轴表示什么？y轴表示什么？ （3）你能写出A、D、C三点的坐标吗？ （4）该运动员距离地面的最高高度是指哪一段？ 【完全成任务】 举手回答 发现问题，体验将实际问题转化为函数模型，培养学生的数学建模能力.
（二） 合作探究 （6分钟） 1.【分析问题，解决问题】 在情境中，可将运动员的运动轨迹用二次函数图像来表示。 （1）函数的自变量的取值范围是多少？ （2）用二次函数的哪种解析表达式来解答？ 解 该运动员的运动轨迹表示在平面直角坐标戏中，如图所示，是一个二次函数，距离跳台跨度设为自变量，距离地面高度设为因变量。 根据题意可设二次函数的表达式为： 将点代入表达式解得，，根据实际意义可知，则 根据二次函数的性质可知，当时，， 所以该运动员起跳后距离地面的最高高度为6.125米. 【发布任务】 把学生分成6个小组，组织学生展开讨论，并巡视指导 【完成任务】 小组合作分析、理解问题，动手画图， 分析、解决问题，体会二次函数模型来解决实际问题.
（三） 归纳总结（2分钟） 【归纳总结，抓住核心】 建立函数模型的一般步骤: （1）分析问题情境中存在的变量； （2）合理设未知量，寻找各种变量之间的关系； （3）结合实际情况，确定自变量的取值范围； （4）根据已知条件，列出对应的函数关系； （5）用建立的函数模型解决实际问题 【指导总结】 结合创设的情境问题，归纳函数模型建立的一般步骤。 【认真学习】 跟着老师一起总结建模步骤. 培养语言表达和归纳总结能力，学会学习.
（四） 示范讲解 （15分钟） 1.【求最大面积例题讲解】 例1 某农户要用6000块砖建造三间面积相等的饲养室，如图所示，其中、两面考墙，每修筑长度时的新墙需要砖200块，当为多少米时，修建的三间饲养室的总面积最大？最大面积是多少？ 解 因为每修建的新墙需要砖200块，所以6000块砖可以修筑新墙的总长度为.设为(m),则的长度为(m),三间饲养室的总面积为(m2). 于是，，要有实际意义，必须满足. 所以与的函数关系式是. 整理得. 所以，当时，值最大，最大值为75. 即当的长度为5m时，三间饲养室的面积最大，最大面积时75m2. 【对照练习】P104随堂练习4题 【发布任务、讲解示范】 1.引导学生建立二次函数模型，分析解题思路，规范板书. 设问1：需要用砖修筑的新墙是哪几面？ 设问2：6000块砖最多能修筑多长的新墙？ 设问3：若设边为，则边用如何表示？（若设边为，则边用如何表示） 通过问题引导学生确定设自变量为，分析得出面积与的函数关系式以及自变量的取值范围. 2.布置练习，巡视指导，学生完成后点评. 【完成任务、听讲记笔记】 1.在老师的引导下仔细思考，寻找情境中的变量及存在的关系，举手回答老师问题,做好笔记. 2.独立完成. 1.进一步让学生掌握从实际问题中抽象出二次函数模型解决最大面积实际问题，体会建模的过程与方法.通过练习，巩固知识.
2.【求最大利润例题讲解】 例2 某批发商购入一批30元/kg的绿色食品，若以40元/kg销售，则每月可批发销售400kg.由批发销售经验知道，每月销售量(kg)是销售单价（元）的一次函数，其图像如图所示. （1）用解析法表示函数； （2）该批发商不低于购入价销售，设该批发商每月销售这批食品可获得利润元，用解析法表示函数; （3）当销售单价为多少时，该批发商每月可获利润最大？最大利润是多少？ 解 （1）设函数，则 ，解得，即. 根据题意，当时，函数才有意义. 所以函数可表示为：. （2）由题意得，， 所以，函数的解析式可表示为： 由（2）知，配方后得， 所以，当时，的值最大，最大值是4500. 答：当销售单价为45元时，该批发商可获得最大利润，最大利润为4500元. 【对照练习】P104随堂练习5题 【讲解示范】 1.帮助学生、阅读理解题意，引导学生建立函数关系式，求得自变量的取值范围，设置问题，逐步递进. （1）观察图像，函数是 ，解析式为 ，过点 。 利润= ，自变量的取值范围为 . （3）如何求二次函数的最大值？ 2.学生独立完成后点评 指导学生计算 【听讲做笔记】 1.先回答教师的提问，然后在教师的引导下理解题意，建立函数关系式，认真听讲,做好笔记. 2.独立思考完成 ，组内互评. 用数学知识解决实际问题，让学生体会函数模型在实际生活中的意义和作用，培养学生的分析、理解能力，提升数学建模的核心素养. 培养团结协作精神 依法纳税教育
（五） 课堂练习 （6分钟） 1.【对照练习】 P106【习题3.4】水平二第2题. 2.【课堂检测】 开学季到了，某文具店以3元/个的价格购进一批新的文具盒（数量充足），根据每年的销售经验得知，若以8元/个的价格销售，开学当天可售10个，在不低于进价的基础上进行降价优惠活动，每个文具盒降0.5元，销售量将增加2个.设降次0.5元，销量为个，利润为元. （1）利润的计算公式：利润= . （2）根据实际意义，的取值范围为 ，销售单价用表示为 . （3）销量为与的关系式为 . （4）利润为与的关系式为 . （5）当 时，取最大值，最大值为 . 巡视指导，学生完成后点评 独立完成 巩固二次函数模型的应用，体会数学源于生活，用于生活.
（六） 课堂小结 （3分钟） 【归纳总结】 1.二次函数模型应用的两种类型； 2.函数模型建立的一般步骤； 让学生自主归纳总结，多鼓励表扬参与者，教师补充，拓展生活的一些函数模型的应用现象. 学生积极参与课堂小结归纳和举例，其它同学可作补充. 提升学生的归纳总结能力、培养数学应用意识
板书设计 3.4.2一次函数与二次函数的应用 一、建立函数模型的一般步骤 二、例题讲解 三、课堂练习 例1 例2 简单明了，重点突出.
布置作业 必做题：P106【习题3.4】水平二3、4题 选做题：P112【单元检测】水平二5题 分层练习，满足不同层次学生实际需求
课后拓展延伸 1.任务一：寻找生活中可以用二次函数模型来解决的实际问题. 2.任务二：了解银行贷款方式. 3.知识检测（见附录2）.
反 思 诊 改
教学反思：
附录1：学生知识储备检测题
1.一次函数、二次函数的解析表达式：
（1）一次函数的表达式： ;
（2）二次函数的三种表达式：一般式 ；顶点式 .
2.请画出一次函数和二次函数的简图.
3.（1）若一次函数的图像过点，则的解析表达式为 ；
（2）若二次函数的图像过三点，则的解析表达式为 ；
（3）若二次函数的图像的顶点坐标为，且过点，则的解析表达式为 ；
（4）若二次函数的图像与轴的交点的横坐标分别为-2和4，且过点，则的解析表达式为 ；
4.二次函数配方后得 ，顶点坐标为 ，对称轴方程为 ，开口向 ；当 时，取最 值，且为 .
附录2：知识检测题
1.某商店老板要进购一批铅笔，单价为0.5元.若设购入数量为支，费用为元,则的取值范围为 ，与的函数关系表达式为 .
2.已知某工厂生产一批零件，其生产数量件与利润元之间的关系满足：
，则的取值范围为 ，当 时，取最大值，且最大利润为 .
3.小丽家今年正在装修自己家的新房，小丽很想对自己的家客厅进行设计，她想在一面面积足够的墙上设计一面矩形的照片墙，横框需要用到材料，竖框需要用到材料.已知材料单价为8元/米，材料单价为10元/米，小丽的预算是100元.聪明的你，请帮忙设计一下，横框和竖框分别为多长，使得照片墙的面积最大？求出最大面积.
教学设计者：唐天芳
工作单位：重庆市龙门浩职业中学校
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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