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北师大中职数学《指数函数与对数函数》单元教学设计
第12课时
授课题目 4.5.1指数函数与对数函数的实际应用
授课类型 新授课
建议学时 1学时
单元知识概览
内容分析 本节课是对以前所学习的一次函教、二次函数、反比例函数、指数函数及对数函数几种基本初等函数以及函数性质的综合应用，是对研究函数的方法的进一步深化．通过真实的具体情景理解直线上升、指数爆炸，对数增长的含义，比较不同函数增长的差异，体会用函数构建数学模型的基本过程，感受数学建模的思想，促进学生认识数学的价值，提升数学建模素养.
教学目标 知识目标 1.能结合具体的实际问题情境，利用计算工具，比较线性函数、指数型函数、对数函数增长的差异，并描述对数增长、线性增长、指数爆炸等术语的现实含义. 2能结合已知数据的特征，根据不同函数增长的差异，合理选择函数模型，并利用所建立的函数模型解决有关实际问题.
能力目标 1.引导学生从数学的视角发现问题，分析实际情况，用文字、符号和图像将其数学化，提升数学抽象核心素养． 2.通过作图、计算确认结果，培养学生运用函数观点分析问题的意识，促进数据分析和数学运算等核心素养的发展．
素质目标 通过案例分析，最终解决问题，让学生体会数学问题来源于生产生活，数学理论又服务社会实践，激发学生学习热情．
教学重难点 重点 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程.
难点 依据题目中的情境，建立合适的函数模型分析和解决实际问题.
教学方法 教法 任务驱动法、自主探究法
学法 合作学习法、讨论学习法
教学资源 1.使用ppt播放课件； 2. .用钉钉发布“学生知识储备检测”和“课外知识检测”
课程思政 通过阅读“数学园地”中的旅游人数的指数增长问题，习题中的GDP增长的例子使学生感受我国经济发展、社会进步，激发学生爱国情怀.“创业贷款”等素材对学生渗透创业意识，对学生进行职业精神、职业理想潜移默化的教育.
教学过程
课前准备 【课前知识储备】 所学几个基本初等函数的解析式、图像、性质. 【学生知识储备检测】 见附录1.
课中教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图、媒体资源等
（一） 知识回顾 （3分钟） 几种常见的函数模型： （1）一次函数模型： （2）二次函数模型： （3）反比例函数模型： （4）指数型函数模型： （5）对数型函数模型： 【提问】 几种函数的模型解析式？ 【回答】 学生回答 复习旧知
（二） 情境引入 （3分钟） 某种药物服用后，通过尿液排出体外.经过1天，药物在体内的剩余量就减少为原来的60%.设这种药物最初量为1，那么这种药服用一周以后体内还剩多少？ 解 ：设经过天后，在体内的剩余量为 则 ， 当时， 故这种药服用一周以后，在体内的剩余量大约还有0.028. 【提问】 PPT展示 【思考】 学生思考 引入课题
（三） 应用探究 （24分钟） 探究点1 一次或二次函数模型的应用 应用一次函数与二次函数的有关知识，可解决生产生活实际中的问题. 基本步骤：(1)反复阅读理解，认真审清题意；(2)依据数量关系建立数学模型；(3)利用数学方法，求解数学问题；(4)检验所得结果，译成实问题的答案. 例1 某企业去年销售收入1000万元，年成本分为年生产成本500万元与年广告费成本200万元两部分.若利润的 %为国税且年广告费超出年销售收入2%的部分也必须按 %征国税，其他不纳税.则该企业去年共纳税多少万元？（列出） 解：设该企业去年共纳税 万元， 则 =(1000 500 200) %+(200 1000×2%) % =4.8 ，那么 与 之间的函数为 =4.8 . 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0).用一次函数模型可以描述生活中的“线性增长”(直线增长)现象 . 探究点2 指数型函数模型的应用 在实际问题中有人口增长、银行利率细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示，指数函数模型的应用常与增长率相结合.用指数函数模型可以描述 “指数增长” 现象 . 一般地, 形如 的函数称为指数型函数,这是生活实际中常见的和实用的函数模型 . 其中, 当时, 该函数叫作指数增长模型, 如我们常说的“指数爆炸”现象所蕴含的就是这种模型; 当时, 该函数叫作指数衰减模型,如本节情境中的药物在体内的剩余量衰减现象考古工作中的碳 14 衰减现象所蕴含的就是这种模型. 例2 开展人口普查, 对于调整、 完善人口政策, 推动人口结构优化,促进人口素质提升具有重要意义.第七次全国人口普查结果显示, 2020年年末全国大陆总人口为 141178万人,其中城镇常住人口 90199万人,占总人口的比例(常住人口城镇化率)为 63.89%,与2010年相比,提高了14.21个百分点 . ( 1 )假设此后每年都增加700万人口,20年后我国大陆人口总数是多少 ( 2 )假设此后每年人口的平均增长率是1% (每年都在前一年基础上增加1%),20年后我国大陆人口总数约为多少 (单位:万, 结果精确到 0.01) 分析 (1)这是经济社会中的“线性增长”现象,即每年增加量保持不变,每年增加 700万人口,20年共增加14000 万人口,因此总共人口为155178 万 . (2)这是经济社会中的“指数增长”现象,即每年按照一定的增长率(成倍数)增长.我们首先考查逐年增长的情况,从中发现每一年都是前一年的(1+1%)倍(也可采用后一年与前一年的比值发现规律),即呈指数增长,最后利用指数函数知识解决问题 . 2020 年年末人口约为141178万; 经过1年 人口约为 万; 经过2年 人口约为 141178(1+1%)(1+1%)=万； 经过3年 人口约为 (1+1%)=万； … 经过x年 人口约为万. 解 (1)因为每年增加700万人口,20年共增加20×700万=14000万人口, 因此20年后我国大陆人口为155178万(15.5178亿) . （2）设经过x年，我国人口为y万，由题意，得 . 当x=20时，. 利用科学计算器可求得 y≈172263.99 万. 答 假设每年增加700万人口,20年后我国大陆人口为155178万;假设每年人口的平均增长率是1%,经过20年后我国大陆人口约为172263.99万. 【教师讲解】 由学生独立思考解题思路后讲解，教师根据学情点评,鼓励表扬发言学生. 【听讲】 学生听讲并思考，阐述解题思路、方法. 学会学习 培养学生提出问题，分析问题，解决问题的逻辑推理能力，提升数学建模核心素养.
探究点3 对数型函数模型的应用 而利用相关知识建立函数模型来描述、刻画科学与技术、经济与社会、生产与生活中的除了“指数增长”现象，还有“对数增长”现象等. 一般地, 形如 的模型叫作对数型函数模型，直接以对数型函数为模型的应用问题不是很多，这类题一般是先给了对数函数模型，利用对数的运算性质求解. 例3 2020年12月8日,中国、尼泊尔两国共同向全世界正式宣布,世界第一高峰珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86m.由于珠穆朗玛峰气候多变、高寒缺氧、环境复杂,对测量装备、测绘技术和测绘人员有很高的要求,因此精确测量珠穆朗玛峰高程是一个国家测绘技术水平和能力的综合体现.已知海拔高程y( m )与大气压强x( Pa )之间的关系可用函数来近似描述,其中c,k可看成常量.又知登顶过程中,海平面的大气压强为, 北坳营地海拔7028m,大气压强约为. (1)当大气压强为时, 海拔高度是多少 (2)当测绘人员在登顶过程中测得其所在位置的海拔高度为8844.43m时,大气压强为多少 解 海平面的高度为0m时.将 , , , 分别代入函数关系式，解得 . 于是，大气压强与海拔高度的关系式近似为 . ① （1）当时， . 所以当大气压强为时，海拔高度约为 7 827.090 m； （2）把代入①式， , . 所以当测绘人员在登顶过程中测得其所在位置的海拔高度为8844.43m时,大气压强约为，约为海平面大气压强的. 【教师讲解】 引导学生归纳指数函数与对数函数模型 【听讲】 学生认真听讲并识记 培养善于归纳总结的学习习惯
（四） 课堂练习 （10分钟） 【课堂检测】 1.一部价值4650元的手机，若每年的折旧率为30%，三年后其价值多少元？ 2.某工厂年产值为800万元,计划从今年起,年产值平均增长率为25%,写出年产值随年数变化的函数关系式, 并求三年后其年产值是原来的多少倍(结果取整数). 3.某种放射性物质，每经过1年剩留的质量约是原来的90%.大约经过几年，剩留的质量是原来的一半？ 要求学生独立完成后点评 独立完成，并分享，查漏补缺. 加强师生、生生互动，让学生进一步熟悉指数函数与对数函数的实际应用
（五） 课堂小结 （2分钟） 【学习回顾】 1.几种常见的函数模型： （1）一次函数模型： （2）二次函数模型： （3）反比例函数模型： （4）指数型函数模型： （5）对数型函数模型： 2.建立相关的函数模型，解决简单的实际问题 让学生自主归纳总结，多鼓励表扬参与者，教师补充 进一步熟悉了解本节课的知识点以及规律总结 让学生进一步完善本节课的知识框架，达成本节课的教学目标，培养学生归纳总结
布置作业 必做题：P145【习题4.5】水平一1、2、3题. 选做题：P145【习题4.5】水平二1题、2题. 分层练习，满足不同层次学生实际需求
板书设计 4.5指数函数与对数函数的实际应用 一、几种常见的函数模型 二、例题示范 三、课堂练习 （1） （2） …
教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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