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北师大中职数学《三角函数》单元教学设计
第5课时
授课题目 5.3.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
授课类型 新授课
建议学时 1学时
单元知识概览 (
正、余弦函数图像性质
诱导公式
同角三角函数基本关系
函数主线
第五单元三角函数
任意角的三角函数
已知三角函数值求角
角的概念的推广
弧度制
)
内容分析 三角函数是重要的一种基本初等函数，是一类具有周期变化规律的重要数学模型，它是研究自然界中周期现象的重要数学工具，也是三角计算的重要基础，并广泛应用于电学、力学、工程学等领域.在初中阶段，学生已学过由直角三角形中的边角关系来刻画的锐角三角函数；中职阶段，在直角坐标系中通过角终边上任意一点（非原点）的坐标值与其到原点的距离之比或坐标值之比得到三角函数的定义，更能反映三角函数的本质特性，更具有普遍性.
教学目标 知识目标 1.在初中锐角三角函数定义的基础上理解任意角三角函数的定义，知道角的三角函数值与角终边上所取点的位置无关. 2.能根据角终边上除原点外的任意一点的坐标求出这个角的正弦值、余弦值和正切值.
能力目标 1.借助图形理解任意角三角函数的定义与任意角终边上一点的坐标之间的关系，培养直观想象和数学抽象的能力； 2.根据角终边上任意一点的坐标求任意角三角函数值，提升学生的逻辑推理和数学运算能力.
素质目标 学生经历由锐角三角函数定义到任意角三角函数定义的推广，体会数学定义从局部到整体的推广过程，培养抽象概括能力，提升数学抽象核心素养，渗透不断优化的数学思想和勇于探索的科学精神.
教学重难点 重点 任意角三角函数的定义.
难点 任意角三角函数定义的理解；角的三角函数值与角终边上所取点的位置无关.
教学方法 教法 任务驱动法、自主探究法
学法 合作学习法、讨论学习法
教学资源 1.使用几何画板软件进行图形绘制； 2.使用云班课软件进行学生学习情况跟踪和知识检测.
课程思政 由锐角三角函数的定义推广到任意角三角函数的定义，渗透不断优化的数学思想和勇于探索的科学精神.
教学过程
课前准备 【课前知识储备】 1.初中锐角三角函数的定义； 2.勾股定理； 3.函数的概念. 【学生知识储备检测】 见附录1
课中教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图、媒体资源等
（一） 情景导入 1.【知识回顾】 在初中，我们在Rt△ABC中了锐角的正弦、余弦和正切，如图所示，即 正弦： ; 余弦： ; 正切： . 根据勾股定理可得： . 2.【问题情境】 我们将一个锐角放入直角坐标系中，使得顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合,如图所示.已知点P(x,y)是锐角的终边上任意一点，点 P与原点O的距离OP=r（r>0），你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角所对应的正弦值、余弦值和正切值吗？ 【使用软件】 1.利用云班课软件平台发布课前知识储备检测，引导学生完成初中锐角三角函数的知识回顾，并通过软件记录学生的学习过程. 2.抽生进行知识回顾展示. 【发布任务】 1.提出问题. 2.帮助学生理解情境问题. 【软件答题】 1.使用软件完成初中锐角三角函数的知识储备检测. 2.举手展示自己的完成情况. 【自主探究】 1.在草稿纸上绘制图像，借助几何直观和锐角三角函数的定义及勾股定理探究规律. 2.学生举手发表自己发现的规律. 1.利用云班课平台进行学生过程记录和知识回顾，提升学生自学能力. 2.让学生举手表达，展示自己的完成情况，培养学生的语言表达能力. 3．利用图像引导学生观察探究，提高学生利用图形分析问题的能力，提升学生几何直观的核心素养. 4.提升学生图形表达和语言表达的能力.
（二） 合作探究 1.【情境分析】 过点P做x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为x,线段MP的长度为y. 在中,根据勾股定理可得，，即 利用初中所学的锐角三角函数的定义，有 2.【引导追问】 在问题情境中，我们所取的点P(x,y)是锐角的终边上任意一点，取点的位置不同会不会导致对应的三角函数值也不同呢？为什么？ 3.【归纳总结】 在锐角三角形中， 1）可以根据角终边上除原点外的任意一点P(x,y)的坐标求出角的正弦、余弦和正切值： 2）角的正弦、余弦和正切所对应的比值与角终边上所取的点P(x,y)的位置无关. 3）角的正弦、余弦和正切所对应的比值随角的变化而变化，它们是角的函数. 【引导分析】 1.借助几何直观，引导学生将文字语言转换成图形语言，以此帮助其理清终边上点的坐标与对应的正弦值、余弦值和正切值的关系. 2.抽生回答问题. 3.利用追问的方式让学生思考对应的三角函数值的比值与取点的位置无关，与角的大小有关. 4.对学生发现的关键内容进行记录，引导学生进行归纳总结. 【完成任务】 1.学生举手发表自己的分析过程. 2.利用投影仪对学生的分析过程进辅助展示. 3.积极思考回答追问的问题. 4.大胆的发表自己的想法，并进行推导过程的展示. 5.在老师的引导下，对分析内容进行归纳总结. 1.鼓励学生分享分析过程，给学生提供展示的机会，逐步促进学生自主学习能力的提升. 2.让学生一边展示一边分析，既让学生熟悉了教学设备的使用，又促进学生表达能力的提升. 3.在老师的引导下主动思考，培养学生一定的逻辑推理能力，激励学生不断进取的求知精神.
（三） 抽象概括 1.【任意角的正弦、余弦和正切的定义】 在弧度制下，我们已将的范围扩展到了全体实数. 一般地，当为任意角时，点P(x,y)是的终边上异于原点的任意一点，点P到原点的距离为我们仍然将的正弦、余弦、正切分别定义为： . 2.【理解定义】 1）为什么在定义任意角的正弦、余弦、正切时，在正切后面增加了一个括号，特别说明 2）在直角坐标系中可以表示为哪个位置的图像？ 3）即无意义，此时的角是否存在，如果存在，其位置在哪里？ 3.【任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义】 对于每一个确定值，其正弦、余弦及正切（当时）都分别对应一个确定的比值；因此，正弦、余弦及正切都是以为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数及正切函数. 可以看出，当点P的横坐标x等于0时，的终边在y轴上，此时，所以无意义. 除此之外，对于确定的角，三个函数都有意义. 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数 ，； 余弦函数 ，； 正切函数 ， . 【发布任务】 1.按照锐角三角函数中正弦、余弦和正切定义的描述方式，尝试用自己的语言定义任意角的正弦、余弦和正切. 2.对比锐角与任意角的正弦、余弦和正切定义的描述，谈谈你发现的不同. 3.运用学过的函数定义谈谈你对三角函数的理解，并用函数的知识分析任意角的正弦函数、余弦函数及正切函数的定义域. 【完成任务】 1.学生举手发言，用自己的语言表达仿写的过程. 2.利用投影仪对学生的定义内容进辅助展示. 3．认真思考，回答问题. 【习惯养成】 1.在教材上对重点词句进行勾划，抓住关键词，并做好笔记. 【框架搭建】 1.利用函数的概念理解三角函数的概念，将函数的主线进行关联，搭建起函数主线的逻辑框架. 1.培养学生模仿能力和对比学习的能力. 2.在对比过程中对不同的内容进行思考，在培养分析能力的过程中体现数学学科求真务实的科学精神. 3.温故知新，循序渐近,利用函数三要素分析三角函数，加深学生对三角函数定义的理解，突破教学难点. 4.帮助学生构建函数主线学习框架，学习利用函数的知识理解和分析新学习的三角函数知识，从而掌握学习函数的一般方法.
（四） 示范讲解 1.【三角函数定义例题讲解】 例1 如图，已知α的终边经过点 P(3，-4)， 求 解 由已知有，=3,=-4, 则， 于是 . 【发布任务】 1.例1由学生独立完成，教师进行巡视，对个别学生进行单独指导. 2.抽生进行展示和讲解. 3.教师根据学情进行点评，多对学生进行鼓励. 【完成任务】 1.独立完成例1. 2.积极争取上台讲解. 1.在前期的引导分析的基础上让学生独立完成例题，有意培养学生的成就感和数学学习的自信心. 2.检验学生对正弦、余弦和正切定义的理解，培养学生的分析能力，提升学生逻辑推理的核心素养.
（五） 课堂练习 1.【对照练习】 P169【随堂练习】1、2题. 2.【课堂检测】 P169【随堂练习】3题. 【发布任务】 1.让学生独立完成随堂练习后点评. 2.学生独立完成. 【完成任务】 1.独立完成【随堂练习】. 2. 独立完成【课堂检测】，并阐述理由. 巩固知识内容，培养独立思考的学习习惯，检测学生对知识的学习情况.
（六） 课堂小结 1.正弦、余弦与正切的定义； 2.任意角三角函数定义的理解； 3.根据角终边上任意一点的坐标求任意角三角函数值的方法. 【发布任务】 让学生归纳树立本节课的学习要点，抽生逐条补充，鼓励发言学生. 【归纳总结】 学生积极参与课堂小结归纳，其它同学可作补充. 进行学习内容梳理，提升学生的归纳概括能力.
布置作业 必做题：P173【习题5.3】水平一1题、4题. 选做题：P174【习题5.3】水平二2题、3题. 分层练习，满足不同层次学生需求
板书设计 5.3.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义 一、三角函数的定义 二、例题示范 三、课堂练习 1.锐角三角函数 例1 2.任意角三角函数 3.对比分析 4.归纳特点 简单明了，重点突出.
课后拓展延伸 1.以小组为单位进行三角函数发展史的数学史研究，形成简单的研究文档，并以WORD文档的形式上传到云班课的学习任务内容中. 2.以小组为单位准备1-2分钟的研究分享展示，制作2页配套的展示PPT. 3.查阅视频学习用单位圆定义三角函数的方法，加深对三角函数定义的理解. 4.完成学习平台上的知识检测内容.
反 思 诊 改
重点是教学反思
附录1：学生知识储备检测
1.在Rt△ABC中，我们定义了锐角的正弦、余弦和正切，如图所示
正弦：; 余弦：;
正切：.
根据勾股定理可得：
2.函数的三要素：（ ），（ ）和（ ）.
附录2：知识检测
1. 若α的终边过点(-12，5)，则= ，= ，= .
2. 若α的终边过点(-12，5)，则α为第 象限的角， 0， 0， 0.（填“>”“<”或“<”）.
3. 想一想：若在与上题中α相同象限的角的终边上任取一点，是否依然能得出与α一致的三角函数值的符号（正或负）？请说出你的理由.
教案设计：李恒
重庆市渝中职业教育中心
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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