资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
北师大中职数学《三角函数》单元教学设计
第6-7课时
授课题目 5.3.2各象限角的三角函数值的符号及特殊角的三角函数值
授课类型 新授课
建议学时 2学时
单元知识概览 (
正、余弦函数图像性质
诱导公式
同角三角函数基本关系
函数主线
第五单元三角函数
任意角的三角函数
已知三角函数值求角
角的概念的推广
弧度制
)
内容分析 三角函数是重要的一种基本初等函数，是一类具有周期变化规律的重要数学模型，它是研究自然界中周期现象的重要数学工具，也是三角计算的重要基础，并广泛应用于电学、力学、工程学等领域.初中阶段，学生已学过由直角三角形中的边角关系来刻画的锐角三角函数；中职阶段，在直角坐标系中通过角终边上任意一点（非原点）的坐标值与其到原点的距离之比或坐标值之比得到三角函数的定义，更能反映三角函数的本质特性，更具有普遍性.
教学目标 知识目标 1.会利用任意角三角函数的定义推断三角函数值在各象限的符号； 2.会通过角所在象限判断给定角的正弦值、余弦值和正切值的符号，能通过角的三角函数值符号判断角所在象限； 3.能根据任意角的三角函数的定义推导出角的终边与单位圆的交点坐标与角的正、余弦值的关系； 4.掌握0到范围内特殊角的正弦值、余弦值和正切值.
能力目标 1.根据角α终边上任意一点的坐标推断三角函数值在各象限的符号，提升学生的逻辑推理和数学运算能力. 2.利用表格统计不同象限角终边上任意一点的坐标与象限角正弦值、余弦值和正切值的符号，并利用表格发现分布规律，培养逻辑推理和数学抽象的能力. 3.借助单位圆计算特殊角的三角函数值，体验单位圆求角的正弦、余弦和正切函数值的方法和过程，引导学生用类比归纳的方法计算特殊角的三角函数值，提升学生数学运算的能力.
素质目标 在对任意角的正弦值、余弦值和正切值在各象限内的符号分布探究的过程中引导学生通过对符号列表进行分析，培养学生数学抽象的核心素养，在对特殊角的三角函数值的计算过程中，培养学生数学运算的核心素养，两部分内容都用到了表格，体现了数学表格在数据分析中的作用，培养了学生工具使用和数据分析能力的提升.
教学重难点 重点 理解各象限角的三角函数值的符号分布规律；熟记0到范围内特殊角的正弦值、余弦值和正切值.
难点 理解各象限角的三角函数值的符号分布规律.
教学方法 教法 任务驱动法、自主探究法
学法 合作学习法、讨论学习法
教学资源 分类描述使用教学软件和数字化资源 1.使用表格工具对各象限角的三角函数值的符号分布情况进行统计； 2.使用云班课软件进行学生学习情况跟踪和知识检测.
课程思政 在对任意角的正弦值、余弦值和正切值在各象限内的符号分布探究，可引导学生通过对符号列表进行分析，发现取正规律“一全，二正，三切，四余”，将纷繁的符号分布表简化为口诀，让学生感受数学“化繁为简”的过程，体现数学口诀的概括性和数学中的简洁美。
教学过程
第1学时
课前准备 【课前知识储备】 1.初中平面坐标知识：平面直角坐标系下，各象限的点的横、纵坐标的符号； 2.终边相同的角的特征； 3. 30°，45°，60°等特殊的锐角的边角关系； 4.任意角的三角函数的定义；. 【学生知识储备检测】 见附录1
课中教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图、媒体资源等
（一） 情景导入 1.【研究分享】 1)以小组为单位展示三角函数发展史的数学文化研究成果. 2)罗列各小组展示中涉及到的关键人物和主要功绩. 2.【问题情境】 在课前准备环节中有一个想一想的题目：已知α的终边过点(-12，5)，若在与α相同象限的角的终边上任取一点，是否依然能得出与α一致的三角函数值的符号（正或负）？请说出你的理由. 【分享引导】 1.引导学生对前一节课的课后延展内容进行展示. 2.对学生的讲解和研究进行表扬，并对关键数学家的贡献进行补充介绍，传递数学家们勇于探索的科学精神. 【使用软件】 1.利用云班课软件平台发布课前知识储备检测，引导学生完成任意角的三角函数定义的知识回顾，并通过“想一想”的问题，将内容导向本节内容的思考. 2.教师使用软件记录学生的学习过程，并根据课前完成情况有针对性的进行抽问和引导. 【研究分享】 各小组展示三角函数发展史的研究成果，并在PPT的辅助下进行简单分享. 【软件答题】 1.学生在课前使用软件完成知识储备检测内容. 【自主探究】 1.学生独立进行自主探究，体验从特殊到一般的推理过程. 2.有困难的同学可在小组的帮助下完成. 1.以分享展示的形式进行三角函数发展史的数学文化熏陶，传递勇于探索的科学精神. 2.从具体的题目出发进行从特殊到一般的推理体验，培养学生逻辑推理的核心素养.
（二） 合作探究 1.【情境分析】 生1：已知α的终边过点(-12，5)，有根据任意角的正弦、余弦和正切定义可知，>0； <0； <0. 又因为α的终边过点(-12，5)，α是第二象限角，所有第二象限角的坐标都满足x<0, y>0, 并且r>0，因此所有第二象限角都有>0； <0； <0. 生2：因为α的终边过点(-12，5)，α是第二象限角，任取终边上一点P（x,y）,有 x<0, y>0, OP= r>0, 根据任意角的正弦、余弦和正切定义可知， （1）>0； （2）<0； （3）<0. 结论：相同象限的角同一三角函数值的符号相同. 2.【归纳总结】 1）三角函数值的符号分布 同理，请同学们推出其它象限内各值的符号，填入表中. 2）由于r>0，所以点P纵坐标的符号决定了正弦值的符号，点P横坐标的符号决定了余弦值的符号，点P纵坐标与横坐标的比值决定了正切值的符号。 【引导分析】 1.根据学生在云班课平台上的答题内容抽点不同思路的同学进行展示回答. 2.无论是用具体点的坐标进行推导还是从一般点的情况进行推导，都对学生进行鼓励和认可. 3.若从特殊点出发先推出与之对应的三角函数值的符号情况，可引导学生进行一般情况的猜想，再通过一般性推导予以证明，体现数学猜想-推理证明的过程. 4. 引导学生绘制表格对第二象限角终边上点的坐标符号和对应的正弦、余弦和正切的符号进行记录.布置任务，让学生完成第一、三、四象限所对应的内容. 5. 引导学生发现点P纵、横坐标的符号与正弦、余弦和正切值之间的关系. 【完成任务】 1.学生举手发表自己的分析过程. 2.利用投影仪对学生的分析过程进辅助展示. 3.积极思考回答追问的问题. 4.大胆的发表自己的想法，并进行推导过程的展示. 5.在老师的引导下绘制表格,完成相应内容的填写，对分析内容进行归纳总结. 1.鼓励学生分享分析过程，给学生提供展示的机会，逐步促进学生自主学习能力的提升. 2.让学生一边展示一边分析，既让学生熟悉了教学设备的使用，又促进学生表达能力的提升. 3.尊重不同学生的分析思路，体现 以学生为主体的教育观念. 4.在老师的引导下主动思考，培养学生一定的逻辑推理能力和运算能力，激励学生不断进取的求知精神.
（三） 抽象概括 1.【各象限角的三角函数值的符号】 一般地，当α为任意角时，α的终边上的任意一点P(x,y), 点 P与原点O的距离OP=r.因为r>0,由定义可知， 正弦值的符号与点P纵坐标的符号相同； 余弦值的符号与点P横坐标的符号相同； 正切值的符号与点P纵坐标与横坐标的比值的符号相同. 将点P 的坐标与各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号列表. 取正口诀： “一全，二正，三切，四余” 2.【单个函数在各象限的正负号分布】 【概括引导】 1.根据前面的探究的过程，引导学生抽象出各象限角的三角函数值的符号规律； 2.让学生将教材上相应内容进行勾划，并齐声朗读. 3.按照象限分布特征引导学生发现取正的规律，逐步将内容进行简化，最终得出取正口诀. 【几何直观】 1.利用直角坐标系将单个函数在各象限的正负号分布情况标出来，方便学生逐个记忆，加深对三角函数值的符号分布情况的理解. 【习惯养成】 1.在教材上对重点词句进行勾划，抓住关键词，并做好笔记. 2.声音宏亮地齐声朗读重点内容，加深对知识点的记忆. 3.逐步将学习内容进行简化，形成取正口诀，并进行诵读与记忆. 【直观记忆】 1.绘制单个函数在各象限的正负号分布示意图. 2.借助示意图对单个函数在各象限的正负号分布情况进行记忆. 1.培养学生的数学抽象核心素养. 2.引导学生学会学习，养成良好的学习习惯. 3.在老师的逐步引导过程中，掌握取证口诀，感知数学口诀对符号规律的高度概括性，体验数学简捷美. 通过绘制单个函数在各象限的正负号分布示意图，借助几何直观记忆规律，加强学生对几何直观的理解提高学生的直观想想的核心素养.
（四） 示范讲解 1.【判断各三角函数值的符号例题】 例2 确定下列各三角函数值的符号. （1）； （2）； （3）. 解（1）因为-210°是第二象限的角，所以. （2）因为 ， 可知760°角与40°角终边相同，是第一象限的角， 所以. （3）由，可看出π＜π+＜π+=，故是第三象限的角， 所以 . 2.【已知三角函数的符号求角所在象限例题】 例3根据且，确定是第几象限的角. 解 因为，所以的终边在第一或二象限或轴的正半轴上； 又因为，所以的终边在第二或三象限或轴的负半轴上. 因此，为第二象限的角. 【发布任务】 1.例2先引导学生尝试完成，教师进行巡视，对个别学生进行单独指导，疏通象限角判断的相关知识点. 2.抽生进行展示和讲解. 3.教师根据学情进行点评，多对学生进行鼓励. 4.引导分析题目，强调“且”的求解过程是“求交集”的思想方法. 【完成任务】 1.独立完成例2，有一定学习困难的同学可在询问同伴进行完成. 2.积极争取上台讲解. 3.例3中熟练掌握“求交集”的思想方法. 1.综合应用象限角的概念和三角函数的定义判断任意角的三角函数符号,前后衔接,温故知新. 2.在教师引导分析的基础上让学生尝试完成例题，有意培养学生的学习能力和写作能力，让学生有参与感. 3.引导学生利用“求交集”的思想方法来分析解决问题，培养学生的逻辑推理能力.
（五） 课堂练习 1.【对照练习】 P171【随堂练习】1，2题. 2.【课堂检测】 P171【随堂练习】3题. 【发布任务】 1.让学生独立完成随堂练习后点评. 2.学生独立完成 【完成任务】 1.独立完成【随堂练习】 2. 独立完成【课堂检测】，并阐述理由. 巩固知识内容，培养独立思考的学习习惯，检测学生对知识的学习情况.
（六） 课堂小结 1.各象限角的三角函数值的符号； 2.取正口诀； 3.已知三角函数的符号求角所在的象限. 【发布任务】 让学生自主归纳总结，多鼓励表扬参与者. 【归纳总结】 学生积极参与课堂小结归纳，其它同学可作补充. 提升学生的归纳概括能力
板书设计 5.3.2各象限角的三角函数值的符号 一、三角函数相关数学史分享 三、例题示范 四、课堂练习 关键人物、事件 例2 二、各象限角的三角函数值的符号 1.表格 例3 2.取正口诀 简单明了，重点突出.
第2学时
课中教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图、媒体资源等
（一） 情景导入 1.【知识回顾】 （1）各象限角的三角函数值的符号取正口诀. （2）完成各象限角的三角函数值的符号表格. （3）计算30°，45°，60°的三角函数值，完成下列表格. 2.【问题情境】 初中我们学习了锐角三角函数，用比值可以算出特殊的锐角，如30°，45°，60°的三角函数值. 前面我们也通过“坐标比”来讨论了各象限角的三角函数值得符号规律.在平面直角坐标系中，有一类角它们的终边正好与坐标轴重合，它们是不属于任何象限的特殊角，如0°，90°，180°，270°等，它们的正弦值、余弦值和正切值又是多少？ 以180°为例，试求出它的正弦值、余弦值和正切值. 【使用软件】 1.利用云班课软件平台发布各象限角的三角函数值的符号表格，请学生用“+”“—”进行填空. 2.发布计算填表任务. 3.提出问题，引导学生思考. 【软件答题】 1.使用软件完成知识复习. 2.对30°，45°，60°的弧度数和三角函数值进行计算,并进行集中展示. 3.动脑思考，进入学习状态. 1.利用云班课平台进行学生过程记录和知识回顾，提升学生自学能力. 2.对弧度制的表示进行巩固，加深学生对特殊锐角三角函数值的复习，为本节内容进行铺垫. 3.让学生举手表达，展示自己的完成情况，培养学生的语言表达能力.
（二） 合作探究 1.【情境分析】 在平面直角坐标系中，180°角的终边正好与轴的负半轴重合，且为点P到原点的距离，则与轴的负半轴交于点P (-,0). 根据任意角的正弦、余弦和正切定义可知， ； ； . 2.【单位圆探究】 以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.用单位圆上的点来推导特殊角的三角函数值更简便. 以180°为例，在平面直角坐标系中，180°角的终边正好与轴的负半轴重合，则单位圆与轴的负半轴交于点P (-1,0). 根据任意角的正弦、余弦和正切定义可知， ； ； . 3.【类比归纳】 类比求180°角的三角函数值的方法，求出0°，90°，270°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值，填入下表: 得到对应值表格为： 【引导分析】 1.引导学生利用三角函数的比值定义对特殊角的位置进行分析，利用终边上点的坐标求出特殊角的三角函数值. 2.提问：有没有不同的分析方法？如有，请说明.教师鼓励差异化的解题思路,及时给予发言学生肯定. 3.利用单位圆引导学生进行分析，将三角函数比值的定义表达从一般性的取点引导向特殊点的取法,提出问题：为什么也可以取单位圆与轴负半轴的交点P (-1,0)？进一步加深理解“角的三角函数值与角终边上所取点的位置无关”. 4.引导学生通过类比求值，得出0°，90°，270°等特殊角的的正弦值、余弦值和正切值. 【自主探究】 1. 对特殊角的终边位置进行分析,利用终边上点的坐标和三角函数的比值定义求值. 2.学生主动举手，板演（投影）推导过程. 3.不同思路的同学展示不同的推导过程. 4.根据学生习得的方法进行推理计算，完成表格填写. 1.在学生已有的知识基础上对学生进行引导，帮助学生逐步探究，培养学生的发现问题、分析解决问题的能力. 2.展示不同学生的不同思维过程，体现对学生的差异化思维的认可与尊重，同时体现数学的灵活性. 3.引导学生用不同的思路分析题目，如从一般性的取点引导向特殊点的取法，体现数学中不同的逻辑推理过程，培养学生逻辑推理的核心素养. 4.利用表格对特殊角的三角函数值进行表示，体现表格的简捷性，突显数学工具的实用性，提升学生利用表格汇总数据的能力.
（三） 归纳总结 1.【求特殊角的三角函数值的方法】 （1）根据特殊角终边上一点的坐标利用三角函数的坐标比值定义，求出特殊角的三角函数值； （2）利用特殊角终边与单位圆的交点坐标，求出特殊角的三角函数值. 【引导归纳】 引导学生总结归纳求特殊角的三角函数值的方法. 【归纳总结】 在教师的引导下归纳求特殊角的三角函数值的方法. 培养学生的归纳总结的能力.
（四） 示范讲解 1.【角度制表示的特殊角的三角函数值相关运算例题讲解】 例4 求 的值. 解 =5×0－4×1＋2×0－7×（－1） =3. 2.【弧度制表示的特殊角的三角函数值相关运算例题讲解】 例5 求 解 =0. 【发布任务】 1.例4与例5由学生独立完成，教师进行巡视，对个别学生进行单独指导. 2.抽生进行展示和讲解. 3.教师根据学情进行点评，多对学生进行鼓励. 【完成任务】 1.独立完成例和例5. 2.积极争取上台讲解. 1.检验学生对角度制表示的特殊角的三角函数值的掌握情况，题目较简单，鼓励学生展示讲解，有意培养学生的成就感和数学学习的自信心. 2.检验学生对弧度制表示的特殊角的三角函数值的掌握情况，巩固弧度制的内容，提升学生数学运算的核心素养.
（五） 课堂练习 1.【对照练习】 P173【随堂练习】1、2题. 2.【课堂检测】 P173【随堂练习】3题. 【发布任务】 1.让学生独立完成随堂练习后点评. 2.教师巡视. 【完成任务】 1.独立完成【随堂练习】. 2.独立完成【课堂检测】，并阐述理由. 巩固知识内容，培养独立思考的学习习惯，检测学生对知识的学习情况.
（六） 课堂小结 1.求特殊角的三角函数值的方法； 2.特殊角的三角函数值表. 教师有到学生进行归纳总结. 梳理知识并归纳总结. 提升学生的归纳概括能力.
布置作业 必做题：P173【习题5.3】水平一2题、3题、5题. 选做题：P174【习题5.3】水平二1题. 分层练习，满足不同层次学生需求
板书设计 5.3.2求特殊角的三角函数值 一、求特殊角的三角函数值的方法 三、例题讲解 三、课堂练习 例4 二、特殊角的三角函数值表 例5 简明扼要，突出重点.
课后拓展延伸 1.利用课堂中学习的方法尝试计算120°角所对应的正弦、余弦和正切值，并与同组的同学进行对比，分享你的计算过程. 2.利用单位圆和同组的同学一起探究任意角α终边同单位圆的交点与、有怎样的对应关系. 3. 完成学习平台上的知识检测内容.
反 思 诊 改
重点是教学反思
附录1：学生知识储备检测
1. 若α的终边过点(-12，5)，则= ，= ，= .
2. 若α的终边过点(-12，5)，则α为第 象限的角， 0， 0， 0.（填“>”“<”或“<”）.
3.想一想：若在与上题中α相同象限的角的终边上任取一点，是否依然能得出与α一致的三角函数值的符号（正或负）？请说出你的理由.
附录2：知识检测
1.完成三角函数在各象限的符号分布表格填写（填“+”或“-”）.
所在的象限 点的坐标
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
2. 若∠A，∠B，∠C是钝角三角形ABC的三个内角，则sinAcosBtanC的值 ( ).
A.一定大于零 B.一定小于零 C.可能大于零 D.一定等于零
3. 想一想：在平面直角坐标系中，已知点P(x,y)是角的终边与单位圆的交点,试利用任意角三角函数的定义计算的值.
教案设计：李恒
重庆市渝中职业教育中心
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑