资源简介

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北师大中职数学《三角函数》单元教学设计
第8-9课时
授课题目 5.4同角三角函数的基本关系
授课类型 新授课
建议学时 2学时
单元知识概览 (
第五单元三角函数
任意角的三角函数
函数主线
同角三角函数基本关系
角的概念的推广
弧度制
正、余弦函数图像性质
诱导公式
已知三角函数值求角
)
内容分析 三角函数是重要的一种基本初等函数，是一类具有周期变化规律的重要数学模型，它是研究自然界中周期现象的重要数学工具，也是三角计算的重要基础，并广泛应用于电学、力学、工程学等领域. 本课从三角函数的定义出发，利用单位圆将三角函数的基本性质与圆的几何性质进行关联，用联系的观点提出问题，获得研究思路；以单位圆上点的坐标的意义为基础，在单位圆中构造出直角三角形，利用勾股定理和三角函数的定义得出同角三角函数的基本关系，体现了数形结合的研究思想；在学习过程中经历同角三角函数基本关系的推导和利用关系进行“知一求二”的运算体现了方程的思想.
教学目标 知识目标 1.会根据三角函数的定义或借助单位圆，推导同角三角函数的平方关系和商数关系； 2.掌握同角三角函数基本关系式，并会通过一个三角函数值求出另外两个三角函数值,建立方程思想； 3.能运用同角三角函数基本关系式进行简单的化简与证明，总结提炼出化简与证明的一般方法.
能力目标 1.亲历同角三角函数的基本关系推导过程，培养观察分析、逻辑推理能力； 2.在推导过程中，用联系的观点通过数形结合的方式，培养学生观察、分析、运算、推导的基本能力求任意自变量的函数值、函数的定义域提升学生的逻辑推理和数学运算能力.
素质目标 通过在单位圆中构造出直角三角形帮助学生用几何直观和代数运算的方法推出同角三角函数的基本关系, 运用同角三角函数基本关系式进行简单的化简与证明，培养和提升学生的数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养.
教学重难点 重点 同角三角函数基关系式的推导；灵活运用同角三角函数的基本关系式解决相关问题.
难点 已知角的正切函数值利用方程思想求角的正弦值和余弦值；三角函数值的各象限符号在平方关系中的应用.
教学方法 教法 任务驱动法、自主探究法
学法 合作学习法、讨论学习法
教学资源 1.使用表格工具对各象限角的三角函数值的符号分布情况进行统计； 2.使用云班课软件进行学生学习情况跟踪和知识检测.
课程思政 1.利用单位圆引导学生推导同角三角函数的平方关系和商数关系，可将三角函数的基本性质与圆的几何性质进行关联，用联系的观点提出问题，获得研究思路，培养学生逻辑推理的核心素养；可设计平方关系的变式训练，蕴含函数与方程的数学思想，引导学生在变形推导的过程中感受数学的变换之趣，体现数学逻辑美的教育引导。 2.在等式的证明过程中遵循“由繁到简”的原则，可鼓励学生多动脑、多尝试，通过观察、分析、对比等过程总结出多种常用的等式证明方法，在培养学生分析问题、解决问题能力的同时蕴含化归的数学思想方法。
教学过程
第1学时
课前准备 【课前知识储备】 1.三角函数的定义，直角三角形的边角关系，勾股定理； 2.三角函数在各象限的符号分布； 3.单位圆. 【学生知识储备检测】 见附录1
课中教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图、媒体资源等
（一） 情景导入 1.【复习回顾】 如图，设角终边上一点P(x,y)，则 OP=r= ， ， ， . 2.【问题情境】 在课前准备环节中有一个想一想的题目：在平面直角坐标系中，已知点P(x,y)是角的终边与单位圆的交点,试利用任意角三角函数的定义计算的值. 学生展示解答情况. 【使用软件】 1.利用云班课软件平台发布课前知识储备检测，引导学生完成任意角的三角函数定义的知识回顾，并通过“想一想”的问题，将内容导向本节问题情境的思考. 2.教师使用软件记录学生的学习过程，并根据课前完成情况有针对性的进行抽问和引导. 【分享引导】 1.发布复习任务单； 2.检查并点评学生任务完成情况，给予学生课前任务完成情况的及时评价. 【软件答题】 1.学生在课前使用软件完成知识储备检测内容. 【自主探究】 1.学生独立进行自主探究，完成知识回顾内容. 2.有困难的同学可在小组的帮助下完成. 1.使用软件平台进行知识检查，既可以记录学生学习情况，又逐步促进学生自主学习能力的提升. 2.以分享展示的形式进行同角三角函数的平方关系的问题推导，促进学生探究能力的提升.
（二） 合作探究 1.【情境分析】 在平面直角坐标系中，如图，已知点P(x,y)是角的终边与单位圆的交点，过点P作，垂足为M，. 根据正弦和余弦的定义可知， 在中，由勾股定理有 由点P(x,y)，有OM= ，PM= ，即，所以 在单位圆中有， 根据正切的定义，当 时，可知， 所以，、和的关系有 . 2.【推导关系】 已知点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点. 过点P作x轴的垂线,交x轴于M.则ΔOMP是直角三角形，且OP=r=1. 根据正弦、余弦和正切的定义可知，在单位圆上， ；；，. 在由勾股定理有 由点P(x，y)，有OM＝x，PM＝y，即 所以，. 强调：三角函数的平方的写法：以角正弦的平方为例，其表示方法为，注意，明确书写的区别． 显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立. 根据正切的定义，当 . 强调：公式中的“同角”两字，注意这些关系式都是针对使它们有意义的角而成立的. 【引导分析】 1.根据学生在云班课平台上的答题内容抽点同学进行展示回答. 2.引导学生利用所学的知识对同角三角函数的平方关系和商数关系进行尝试性地推导. 3.考虑到学生学层次的不同，学生可以让学生自主探究或小组合作探究完成本环节. 【推导关系】 1.通过对推导过程的留白，引导学生利用勾股定理进行列式和代换，从而完整的经历利用单位圆推导同角三角函数基本关系的过程，形成同角三角函数基本关系式. 2.对关系式得出的过程进行示范展示，展现逻辑推理的过程. 3.注意对三角脚函数平方书写格式的辨析和“同角”和有意义情况的关注. 【完成任务】 1.学生举手发表自己的分析过程. 2.利用投影仪对学生的分析过程进辅助展示. 3.积极思考回答追问的问题. 4.大胆的发表自己的想法，并进行推导过程的展示. 5.在老师的引导下完成推导过程，对知识点进行理解记忆. 1.鼓励学生分享分析过程，给学生提供展示的机会，逐步促进学生自主学习能力的提升. 2.通过引导探究，使学生成为学习的主体，让学生在探究过程中对该节内容的知识逐渐成长出来. 让学生一边展示一边分析，既让学生熟悉了教学设备的使用，又促进学生表达能力的提升. 3.尊重不同学生的分析思路，体现 以学生为主体的教育观念. 4.在老师的引导下主动思考，培养学生一定的逻辑推理能力和运算能力，激励学生不断进取的求知精神.
（三） 抽象概括 1.【抽象概括】 一般地，可以得到同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：； （2）商数关系：. 2.【尝试证明】 分组活动： 利用三角函数的定义证明同角三角函数的基本关系式，并派出代表进行分享. 如图，设角α终边上一点P(x，y)，， 则 . 由上式可得 即. 由正切函数的定义，当时， , 即. 3.【归纳总结】 常用的等式证明方法 （1）左推右； （2）右推左； （3）左右推中间； （4）左右差为零. 证明恒等式一般情况下遵循“由繁到简”的原则，蕴含化归的数学思想方法. 4.【变式探究】 以同角三角函数的基本关系式为对象进行变式探究，请学生进行变式挑战，给出变式让另一组说明变式过程. 如以 为例通过移项、开方得到等，注重学生的不同思维过程，体现方程思想. 【概括引导】 1.教师进行概括，明确推导出的关系式分别为平方关系和商数关系； 【引导证明】 1.教师将公式推导转化成公式证明，引导学生再一次对同角三角函数的基本关系式进行证明. 3. 利用成语“左右逢源”引导学生理解常见的等式证明方法. 4. 引导学生归纳证明等式的方法，体现数学证明方法的灵活性和数学“化繁为简”的原则. 5. 教师引导学生以挑战为激励进行变式的开放探究. 【习惯养成】 1.在教材上对重点公式进行勾划，对公式进行理解记忆. 【推理证明】 1.巩固同角三角函数的基本关系式的推导过程，用证明的方式再一次进行推导. 【方法理解】 1.在具体的证明过程中体会常用的等式证明方法. 2.做好学习笔记. 3. 学生相互提问挑战的过程就是对关系式熟练掌握的过程，提问学生将变式的结论用一体机进行投影，回答的学生也用一体机进行展示. 1.明确平方关系和商数关系，提升学生的抽象概括能力，加深对关系式的理解. 2.引导学生通过证明的方式对关系式再一次进行推导，提升学生独立的逻辑推理能力. 3.通过对常用的等式证明方法的归纳总结，体现数学证明方法的灵活性和数学“化繁为简”的原则加强学生对数学思想方法的理解和认识. 4.以开放式的探究活动提高学生学习兴趣，培养学生的对公式的推演能力，提升学生数学运算和逻辑推理的核心素养.
（四） 示范讲解 1.【“知弦求切”例题讲解】 例 1 已知, 且是第四象限的角，求和. 分析 由，得 这种变形形式可直接使用，以便简化解题书写过程. 解 因为 是第四象限的角，所以 . 所以, . “知弦求切”的方法：利用平方关系由正弦求余弦或由余弦求正弦，再利用商数关系求正切. 2.【“知切求弦”例题讲解】 例2 已知，且是第三象限的角，求的正弦值和余弦值. 分析 由得，① ，再与②组成方程组，可解出和的值. 解 由得，，即…①， 把①代入…② ,得 因为角是第三象限的角，所以. 所以，代入①式，得 . “知切求弦”的方法：同时利用平方关系和商数关系得到关于正、余弦的方程组，再解方程组得解. 【发布任务】 1.在变式训练的基础上给出例题，疏通知识障碍，引导学生进行例题分析. 2.教师根据学情进行点评，多对学生进行鼓励. 3.引导学生归纳推导过程，得出“知弦求切”和 “知切求弦”的方法，强调在推演过程中注意角的象限与三角函数值的正负关系 . 【完成任务】 1.学生板演解题过程，老师给与点评. 2.在变式探究之后进行例1、例2的探究性学习，思考给出角所在象限的作用，对比有无给出角所在象限的条件时解题的区别. 3.通过对例题的分析，归纳出“知弦求切”和 “知切求弦”的一般方法. 1.在教师引导分析的基础上让学生完成例题，培养学生的逻辑推理和数学的符号表达能力. 2.通过变式与例题，引导学生感受给出象限的条件对角和值的限定作用，感受数学表达的精确性. 3.通过对不同类型题目解题过程的分析，归纳出“知弦求切”和 “知切求弦”的一般方法，渗透数学分类概括的思想.
（五） 课堂练习 1.【对照练习】 P177【随堂练习】1题. 2.【课堂检测】 P177【随堂练习】2题. 【发布任务】 1.让学生独立完成随堂练习后点评. 2.教师巡视. 【完成任务】 1.独立完成【随堂练习】 2. 独立完成【课堂检测】，并阐述理由. 巩固知识内容，培养独立思考的学习习惯，检测学生的学习情况.
（六） 课堂小结 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系 (2)商数关系 2.常见等式的证明方法 3.“知切求弦”与“知切求弦”的方法. 【发布任务】 让学生归纳总结，多鼓励表扬参与者. 【归纳总结】 学生积极参与课堂小结归纳，其它同学可作补充. 提升学生的归纳概括能力
板书设计 5.4同角三角函数的基本关系 一、同角三角函数的基本关系 三、例题示范 四、课堂练习 1.平方关系 例1 2.商数关系 例2 二、常见等式的证明方法 “知切求弦”与“知切求弦”的方法 简单明了，重点突出.
第2学时
课中教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图、媒体资源等
（一） 复习导入 1.【知识回顾】 同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：； （2）商数关系：. 抽学生对公式进行默写. 默写公式. 温故知新
（二） 合作探究 1.【变式探究】 以同角三角函数的基本关系式为对象进行变式探究，请学生进行变式训练. 如： ， ， ， 等. 【布置任务】 1.引导学生进行变式训练. 2.教师巡视课堂，督促学生完成变式任务. 【变式训练】 1.学生完成变式训练，熟练掌握移项、开方等运算. 1.强化变式训练，让学生熟悉平方关系的变式达标，为后续内容的完成奠定基础.
（三） 示范讲解 1.【证明题讲解】 例3 求证 . 证明： 2.【化简题讲解】 例4 化简 . 解 原式 . 3.【化简求值题讲解】 例5 已知,求 的值. 解 方法一：， . 方法二：由，得 . . . 4.【归纳总结】 方法一的运算思路是由正弦、余弦函数变化为正切函数求出结果，我们简称为“弦化切”；方法二的运算思路是由正切函数变化为正弦函数和余弦函数后求出结果，我们简称为“切化弦”. 【发布任务】 1.教师发起例题的联系任务，引导学生先认真审题，再思考解决题设. 2.设问：例4中、与同时出现，怎么进行化简 3.指导学生小组合作完成例5. 4.学生完成例题后抽生进行展示讲解. 5.对学生的解题过程进行点评并给予鼓励. 6.教师进行方法点拨. 【完成任务】 1.认真审题，联系变式探究的过程分析题目. 2.回答：利用商数关系将正切转化为正弦与余弦的比值，在进一步进行变化. 3.小组合作完成例5. 4.完成后主动积极举手发言和分享讲解. 5.对照不同的解题过程理解“弦化切”与“切化弦”的不同运算思路. 1.利用证明等式的一般方法分析题目，确定求证的思路，巩固了等式证明的方法. 2.针对提出的问题进行合理分析和转化，培养学生数学运算和推理的能力. 3.对于有一定难度的题目，运用小组合作探究的方式进行学习，培养学生团结协作的意识. 4.灵活运用商数关系进行构造或变形，题目中蕴含化归的数学思想方法，旨在锻炼学生灵活运用公式的能力.
（五） 课堂练习 1.【对照练习】 P177【随堂练习】3题. 2.【课堂检测】 P177【习题5.4】水平一5题. 教师巡视指导 独立完成 巩固重要知识
（六） 课堂小结 同角三角函数基本关系的灵活运用 教师引导学生归纳总结 梳理知识并归纳总结 让学生学会学习
布置作业 必做题：P177【习题5.4】水平一. 选做题：P177【习题5.4】水平二. 分层练习，满足不同层次学生需求
板书设计 5.4同角三角函数的基本关系 一、同角三角函数的基本关系 三、例题示范 四、课堂练习 1.平方关系 例3 2.商数关系 例4 二、常见等式的证明方法 例5 简单明了，重点突出.
课后拓展延伸 1.例5中已知tanθ＝-3，求的值是一种“齐次式”类型的题目，此类试题体现了数学的形式与逻辑美，请你以探究数学之美为内容，形成简单的研究文档，并以WORD文档的形式上传到云班课的学习任务内容中. 2.以小组为单位准备1-2分钟的研究分享展示，制作2页配套的展示PPT. 3.完成学习平台上的知识检测内容.
反 思 诊 改
重点是教学反思
附录1：学生知识储备检测
1.完成三角函数在各象限的符号分布表格填写（填“+”或“-”）.
所在的象限 点的坐标
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
2. 若∠A，∠B，∠C是钝角三角形ABC的三个内角，则sinAcosBtanC的值 ( ).
A.一定大于零 B.一定小于零 C.可能大于零 D.一定等于零
3. 在平面直角坐标系中，已知点P(x,y)是角的终边与单位圆的交点,试利用任意角三角函数的定义计算的值.
附录2：知识检测
1.完成特殊角的三角函数值得表格填写.
0° 30° 45° 60° 90°
2. 在0°～360°或范围内，找出与下列各角终边相同的角：
（1）390° （2）780° （3） （4）
3. 试一试：在平面直角坐标系中，已知点P(x,y)是角的终边与单位圆的交点,试利用任意角三角函数的定义计算和的值.
教案设计：李恒
重庆市渝中职业教育中心
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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