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北师大中职数学《三角函数》单元教学设计
第21课时
授课内容 《三角函数》单元小结
授课类型 复习课
建议学时 1学时
单元知识概览
内容分析 三角函数是很重要的基本初等函数，是具有周期变化规律的重要数学模型，是研究自然界周期现象的重要数学工具，也是三角计算的重要基础，广泛应用于电学、力学、工程学等领域.本课是前面知识的综合性应用，它既考查了特殊角的三角函数值、诱导公式、三角函数的图像等重要知识内容，也渗透了数形结合的思想方法，体现现代信息技术的优势和对数学工具的使用要求；了解由特殊的三角函数值求[0,2π]范围内的角的方法；了解由三角函数值求符合条件的角的方法；三角函数架起了义务教育阶段与中职阶段的数学知识桥梁。也为学生进一步学习高等数学打下基础，对培养和提升学生的数学运算、直观想象、逻辑推理和数学抽象等核心素养有帮助 .
教学目标 知识目标 1.根据特殊三角函数值求出指定范围的角. 2.能用诱导公式求指定范围内满足正余弦函数值的对应角. 3.借助计算器求指定范围内满足正余弦函数值的角.
能力目标 通过已知三角函数值求对应角的综合学习，培养和提升综合判断、直观想象、逻辑推理、数学运算、工具操作的能力. 2.利用三角函数模型解决相关问题，提高用三角函数模型解决问题的能力，发挥数学工具在问题解决过程中的重要作用.
素质目标 学生经历从已知特殊三角函数值求特殊角到已知任意三角函数值求角的不同情景中归纳共性，体会用不同三角函数值求不同对应角的过程与方法，培养抽象概括、归纳推理和数学运算能力，提升数学抽象归纳核心素养，树立求真务实的思维品质和遵循规则谨慎推理的严谨意识.
教学重难点 重点 已知三角函数值，求指定范围内的角.
难点 诱导公式在已知三角函数值求角中的灵活运用.
教学方法 教法 对比讲授法、自主探究法.
学法 合作学习法、讨论学习法.
教学资源 1.带三角函数计算功能的计算器（或运算软件）. 2.利用云课堂软件平台完成知识检测.
课程思政 1.通过课前播放《大国工匠》片段，增强学生的国家自豪感和学好数学以科技报国的使命感. 2.在利用三角函数值求指定范围内的角时，通过对指定范围内满足条件的角的个数的分析，形成条理清楚的数学思维，让学生在体会数学的严密性与科学性的同时培养了谨慎的数学精神. 3.在引导学生分析解决、总结归纳问题中，培养学生善思考、勇探索的科研精神.
教学过程
课前准备 【课前知识储备】 1.特殊角的三角函数值，正弦函数和余弦函数的图像，诱导公式. 2.教师授课前准备计算机绘图软件，与之相关的视频，三角直尺等教具. 【学生知识储备检测】 见附录1
课中教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图
（一） 导图展示 1.【学生展示思维导图】 学生小组代表上台展示绘制的单元知识思维导图。 2.【教师点评并提问】 问题1: 《三角函数》这一章内容庞杂，公式繁多，梳理出本章知识结构图（思维导图）有助于理解掌握本章内容。根据结构图，同学们是否能理清知识脉络，认识和掌握思维导图？ 问题2: 已知三角函数值求角中，需要用到那些数学公式、工具？ 问题3: 已知一个三角函数的特殊值，怎样求指定范围的角？ 问题4：已知一个三角函数的任意值，怎样求对应角？ 【发布任务】 1.全班按座位就近分6个讨论小组，明确小组长的任务. 2.【导图展示】 根据学生导图，发布任务:在各小组长组织下围绕4个问题讨论. 【小组讨论】 1.分组讨论，对展示的问题积极思考，由组长记录. 2. 在各小组初步的探究的基础上，各小组长归纳并展示结果. 1.梳理本章知识点，培养学生严谨求实、一丝不苟的科学精神. 2.小组合作，培养团队精神.
（二） 知识归纳 1.【师生归纳单元知识内容】 2.【教师归纳单元数学思想和方法】 (1）三角函数的函数思想. (2）数形结合思想. (3）分类整合思想. (4）转化与化归思想. 【发布任务】 1.尝试画出思维导图. 2.在评价学生的导图中引导学生完善思维导图,启发学生总结本章的数学思想和方法. 【完成任务】 1.分小组完成，并展示. 2.评述归纳. 1.整合知识，使知识系统化. 2.在培养学生归纳能力的同时,使之感受到数学的系统性. 3.提升学生数学分类转化、归纳整合的核心素养.
（三） 综合运用 1.【角的概念推广的综合运用】 例1 写出终边在轴上的角的集合． 分析 在0°～360°范围内，终边在轴正半轴上的角为90°，终边在轴负半轴上的角为270°，因此，终边在轴正半轴、负半轴上所有的角分别是 ， 其中．⑴式等号右边表示180°的偶数倍再加上90°；(2)式等号右边表示180°的奇数倍再加上90°，可以将它们合并为180°的整数倍再加上90°． 解 终边在轴上的角的集合是 {β︱｝． 当取偶数时，角的终边在轴正半轴上；当取奇数时，角的终边在轴负半轴上． 2.【弧度制的综合运用】 例2将下列各角作角度与弧度的互相转化： ⑴ 75° ⑵ 240° ⑶ 105° （4） （5） 3.【任意角的三角函数的综合运用】 例3求值： 分析 这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再进行代数运算． 解 = 4.【同角三角函数的基本关系的综合运用】 例4. 已知,求的值． 分析 利用已知条件求三角式的值问题的基本方法有两种：一种是将所求三角函数式用已知量来表示；另一种是由得到，代入所求三角函数式进行化简求值． 【发布任务】 1.老师引导学生思考例题涉及的知识点,学生协同完成. 2.例1由学生完成. 3.分析. 4.归纳. 5.总结. 6.讲解. 例2引导学生自己处理. 8.巡视指导. 9.例3 老师简析. 10.简析. 11.明确. 12.例4引导学生利用同角三角函数的基本关系协同解决. 13.简析. 【完成任务】 1.学生协同完成. 2.例1领会. 3.求解. 4.理解. 5.明确. 6.例2思考. 7.求解. 8.交流. 9.例3自主完成. 10.思考. 11.求解. 12.理解. 13.例4自主完成. 14.观察思考. 15.理解领会. 【复习巩固】 1.例1.通过观察图像帮助对问题的理解. 2.强调规范写法. 3.例2、3、4旨在了解和巩固对弧度制、任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系的掌握情况.
（四） 能力提升 1.【能力训练】 (1)【诱导公式的综合运用】 例5. 求下列各三角函数值： (1) (2) (3) 分析 将任意角的三角函数转化为内的角的三角函数． 解 (1) (2) (3) (2)【三角函数的图像和性质的综合运用】 例6.已知, 求的取值范围． 解 因为≤，所以≤，即 解得 . 故的取值范围是． (3)【已知三角函数值求角的综合运用一】 例7 已知，求区间中的角x（精确到0.0001）． 分析 由于，所以角x在第三或第四象限．按照所介绍的步骤，可以求出内的角，利用公式和分别求出指定区间的角． 解 按步骤计算，得到 内的角为 ． 利用，得到中的角为 （ 0.4115）； 利用得到中的角为 ． 所以区间中，正弦值为 0.4的角为3.5531和5.8717． (4)【已知三角函数值求角的综合运用二】 例8 已知，求0°～360°范围内的角x（精确到0.01°）． 分析 因为，所以角x在第一或三象限．利用计算器可以求出锐角，再利用周期性可以求得180°~270°范围中的角． 解 按步骤计算，得到所求的锐角为x=21.80°． 利用周期性得到相应第三象限的角为 =201.80°． 所以在0°～360°范围内，正切值为0.4的角为21.80°和201.80°． 【课堂检测】 （1）学生自主完成教材 P210【单元检测题】水平一2,3. （2）教材P211【单元检测题】水平二2（2）、（3），4. 【发布任务】 1.老师引导,学生协同完成. 2.例5质疑 引导学生协同完成. 3.引导. 4.解析. 5.巡视. 6.例6 引导学生协同完成. 7.强调. 8.启发. 9.例7说明. 10.引导. 11.讲解. 12.总结. 13.例8质疑. 14.说明. 15.引领. 16.讲解. 17.汇总. 18.总结. 【三角函数的综合运用】1.巡视指导. 【完成任务】 1.学生协同完成. 2.例5自主完成. 3.观察. 4.思考. 5.领会求解. 6.例6思考. 7.领会求解. 8.例7 听讲. 9.思考. 10.讨论. 11.理解. 12.明确. 13.认真听讲. 14.例8观察. 15.思考. 16.理解. 17.主动求解. 18.自主完成. 【巩固重要知识】 1.例5 调动学生主动解决问题的积 极性. 2.例6强化学生独立完成不等式的求解过程. 3.例7 复习巩固相关的诱导公式. 4.巩固求角方法的掌握. 5.例8复习相关的诱导公式. 6.巩固加强用计算器由三角函数值求角的方法.
（五） 课堂小结 1.【学生小结】 通过回答问题、展示成果等多种形式引导学生自我总结. 2.【教师点评】 通过教师点评等方式补充完善学生的小结. 引导学生后归纳总结. 围绕思维导图梳理知识,归纳结论. 培养学生数学归纳总结核心素养.
布置作业 1.教材：P210【单元检测题】水平一4 2.学习指导与能力训练P152 水平二 1、2 作业分层,因材施教.
板书设计 三角函数单元小结 一、复习导入 例2 二、思维导图 例3 三、例题讲解 例1 例4 内容简明，重点突出,版式规范清爽.
课后拓展延伸 1.阅读《三角函数》的相关资料. 2.利用三角函数的相关知识分析解决本专业、或生活中的实际问题. 3.完成三角函数单元检测题.
反 思 诊 改
教学反思
附录1：学生知识储备检测
1.求的三角函数值.
2.已知，求0°～360°范围内的角（精确到0.01°）．
3.已知，求区间内的角（精确到0.01）．
附录2：学生单元知识目标检测
1．计算：．
2．计算：．
3.求的三角函数值.
4.已知，求0°～ 360°范围内的角（精确到0.01°）．
5.已知，求区间内的角（精确到0.01）．
教案设计： 袁书平
重庆市渝中职业教育中心
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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