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课题 指数幂运算
教学目标
教学目标： 1. 熟练完成有理数指数幂的运算，了解指数幂的拓展过程与原理，掌握指数幂的运算性质； 2. 类比用有理数逼近无理数体会从“数 ”与“形 ”的两个角度，理解由有理数指数幂逼近无理数指数幂的 原理，渗透逼近思想和极限思想； 3. 在信息技术的帮助下加深对无理数指数幂的理解，发展数学运算和数学抽象的素养。 教学重点： 实数指数幂的运算及其性质； 教学难点： 用有理数指数幂逼近无理数指数幂以及对无理数指数幂的理解.
教学过程
时间 教学 环节 主要师生活动
2 引入 同学们，大家好，上节课我们学习了根式，并且将根式表示为分数指数幂的形式，即： = , > 0, , ∈ , > 1 = , > 0, , ∈ , > 1 这样，我们就把幂 的形式中指数 的取值范围就从整数拓展到了有理数，所以分数指数幂 也叫作有理数指数幂！在推广的过程中，我们发现，有理数指数幂并没有改变幂的运算性质，即 对于任意的正数, , 都有： （1） = + , , ∈ 同底数幂相乘，底数不变指数相加； （2） = , , ∈ 幂 的 数底于等方次 的乘；方; （3） = , ∈ , 乘积的次幂等于, 各自次幂的乘积. 拓展一下，常用的变形形式有 = = 同底数幂相除，底数不变指数相减.
学生活动一： 今天，我们来继续学习指数这一节. 首先我们来看几道例题. (
（
1
）
25
1.5
；
)例 1. 求值： 36 解：提示，将化为幂 形式，将 1.5 化为分数形式. (
25
1.5
5
2

2
5
3
216
)公式： = . 3 = = = . 36 6 6 125
5 指数 运算 例题
（2）2 3 × 33 1.5 × 6 12 . 解：提示，将各因子化为幂 形式. 2 3 × 33 1.5 × 6 12 = 2 × 3 × 3× 回忆幂的运算性质，我们应该寻找相同的底数！ 1 (
2
) (
3
)3 1 × 126 .
1 32， 1 (
2
) (
3
)3 = 3 × 2， 12 = 3 × 22 = 3 × 2
公式： = , = + , = . (
2
)所以，2 3 × 33 1.5 × 6 12 = 2 × 3 × 3× 3 × 12 = 2 × 3 × 3 × 3 × 2 × 3 × 2 = 21+ × 3+1++ = 2 × 32 = 18. 总结： 尽量用指数幂的形式来表示根式，这样往往会简化根式运算. 指数幂的运算尽量化为同底数，即便不能化为同底，也要尽可能地减少不同底数的数量，同 底才能运用运算性质. 1 (
2
)例如：2 3 × 33 1.5 × 6 12 = 2 × 3 × 3× 3 × 12 = 2 × 3 × 3 × 3 × 2 × 3 × 2 学生活动二： 进一步引深，同学们有没有想过一个大胆的问题，指数有没有可能是无理数？也就是无理数 指数幂！ 首先我们复习一下无理数的知识. 整数和分数统称为有理数，分数又可写成有限小数和无限 循环小数，而无理数又叫做无限不循环小数，例如 2 ， 3 ， 都是无理数，有理数和无理数统称 实数. 通过初中的学习，我们已经知道，每一个无理数都是一个定值，能够用数轴上的一个点表示. 那么，如果不用计算器，我们如何来估算 2 的值呢？同学们可能会想到下面这种方式： 因为12 = 1 < 2 ，所以 1 < 2； 因为1.12 = 1.21 < 2 ，所以 1 < 1.1 < 2； (
因为
1.1

1
2
<
2
，所以
1
<
1.1
<
1.11
<
1.1

1
<
2
；
)为1.112 = 1.2321 < 2 ，所以 1 < 1.1 < 1.11 < 2； 从而产生了一串逐渐向 2靠近的数：1 < 1.1 < 1.11 < 1.1 1 < 2 ，1 第，4 .接近，因为： 同学们可能又会想到下面这种方式： 因为1.12 = 1.21 < 2 ，所以 1.1 < 2； 因为1.22 = 1.44 < 2 ，所以 1.1 < 1.2 < 2； 因为1.32 = 1.69 < 2 ，所以 1.1 < 1.2 < 1.3 < 2； 因为1.42 = 1.96 < 2 ，所以 1.1 < 1.2 < 1.3 < 1.4 < 2； 看上去很完美，但是： 因为1.52 = 2.25 > 2 ，所以 1.1 < 1.2 < 1.3 < 1.4 < 2 < 1.5； 用通俗的话来讲，第一种靠近方式步子迈得太小，靠得不够近，第二种靠近方式步子迈得太
15 无理 数指 数幂
(
1.5 1.4
=
0.1,1.42 1.41
=
0.01,1.415
1.414
=
0.001,1.4
143

1.4142
=
0.0001,
（几何画板演示
1
）
)大，到第五个数时已经迈过 2 了！ 那么，我们该如何设计靠近 2 的方式呢？让我们定下如此的标准： (
如此设计，

的第二个值应该在
1.41,1.42,1.43,
, 1.49
中产生，哪个是最接近
2
且小于
2
) , 每一加 都小一位于小数2，， ，一 个总值是为在位2小且数小，于第三2的那个值为三位小数一个！， 的那一个呢？试试便知. 1.412 = 1.9881 < 2 ，1.422 = 2.0164 > 2， 所的以第 值该该1 1..12,1.413, , 1.419 中产生， 1.4112 = 1.990921 < 2 ，1.4122 = 1.993744 < 2 ，1.4132 = 1.996569 < 2， 1.4142 = 1.999396 < 2 ，1.4152 = 2.002225 > 2， 以 的第三个值应该是 1.414. 3：=2.000604， 可见他们与 2 的差是在逐渐缩小趋近于 0 的. 我们将这一串数 叫做 2 的不足近似值. 用同样的方法，我们可以制定取 2 的过剩近似值 的标准： , 每一加 都大一位于小数2，， 一 个总值是为在位2小且数大，于第三2的那个值为三位小数一个！， 计>，4 1> ：2. 这串数字 就是 2 的过剩近似值. 我们可以看到，小数位数相同的 2 的过剩近似值 与不足近似值 的差是有规律的： 2 的 不 足 近 似 值 2 2 的平 方 2 的 过 剩 近 似 值 2 1.41.96 21.52.251.411.98811.422.01641.4141.9993961.4152.0022251.41421.999961641.41432.000244491.414211.99998992411.414222.00001820841.4142131.9999984093691.4142142.0000012377961.41421351.999999823582251.41421362.00000010642496 (

)1.41421356 (

)1.9999999932878736 (

)1.41421357 (

)2.0000000215721449
这个差值就是我们常说的 2 的近似值得精确度，如果我们需要一个精确到 0.001 的 2 的近似 值，就可以用 1.414. 我们可以发现，当 2 的不足近似值 和过剩近似值 逐渐逼近 2时，我们也就得到了精度越 来越高的 2 的近似值，这样一直计算下去，我们就可以得到任何精确度的 2 的近似值. 我们能否用同样的办法得到5 2 的值呢？很显然，是可以的，我们改变上面这张表中的两列 即可.
2 的不足 5 5 2 2 的过剩 5
近似值 近似值
1.4 9.5182696935793924494807364405955 1.5 11.180339887498948482045868343656
1.41 9.6726997289298909157148018555995 1.42 9.8296353284833498685989391987417
1.414 9.735171039199290689515350220999 1.415 9.750851807780722165356472080651
1.4142 9.738305174262712562680479269411 1.4143 9.7398726201497020809702151415861
1.41421 9.738461907499474362171954735887 1.41422 9.738618643258780594831713600835
1.414213 9.738508927962397219240198707003 1.414214 9.738524601500489249719963117556
1.4142135 9.738516764728290036176669346446 1.4142136 9.738518332082225366994386182963
(

)1.41421356 (

)9.738517705140620963960988361860 (

)1.41421357 (

)9.738517861876018280880906834757
我们可以发现，当 2 的不足近似值 和过剩近似值 逐渐逼近 2时，5 和5 都趋向于同一个 数，这个数就是5 2 . 也就是说，5 2 是一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数 指数幂逐渐逼近的结果，它是一个确定的实数. 这个过程可以用数轴来形象地表示： （几何画板动画演示 2） 这个用有理数指数幂逼近无理数指数幂的方法是可以推广的，我们可以用这个方法来计算很 3 多无理指数幂的值，比如2 3，3 2 值. 所以，我们实际上已经将幂 中指数 的取值范围扩大为全 体实数了，从今往后，我们研究的幂 都称为实数指数幂！ 另外，因为无理数指数幂的值均是由有理数指数幂逼近得到的，它也是一个确定的实数，所 以，有理数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意的 > 0， > 0，, ∈ , 都有： ① = + , ② = , ③ = . 例 2. 按从小到大的顺序，可将2 3 ，3 2 ， 5 ， 2 重新排列为 （可用计算工具） 解：思路一：四个数均为无理数指数幂的形式，我们不妨取无理数 2, 3, 5, 的近似值进行计 算. 不妨精确到 0.001. 2 = 1.414, 3 = 1.732, 5 = 2.236, = 3.142. 2 3 = 3.322, 3 2 = 4.728, 5 = 12.935, 2 = 8.827. 所以，重新排列为2 3 ，3 2 ， 2 , 3 5 . 总结： 各位同学，今天我们将幂 中指数 的取值范围从有理数拓展到了实数，大家要着重掌握以 下几点： （1）理解由有理数指数幂逼近无理数指数幂的原理； （2）实数指数幂的运算性质. 对于任意的 > 0 ， > 0 ，, ∈ , 都有： ① = + , ② = , ③ = , （3）在根式或者幂的运算中，将数字或者根式尽量化为幂 的形式，尤其是同底数幂的形 式，往往能够令计算更加简便.
2 总结
好，同学们，今天我们的课就上到这里，同学们再见！

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