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2023秋人教版小学数学六年级上册导学案
8.2 数与形（二）
【核心素养】
建立数与形之间的联系，体会数形结合思想，体会极限思想。
【学习目标】
1.体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。
2.感悟数形结合、极限的思想，提高解决问题的能力。
3.培养热爱数学、乐学数学的情感，体验数学知识的应用价值。
【学习重点】
借助“形”感受与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题。
【学习难点】
从图形中总结规律，体会极限思想。
【学法指导】
自学教材P105的内容，用多色笔勾画出疑惑点；使用导学单独立思考完成知识链接、课堂导学部分的学习，完成课后检测部分习题巩固学习成果。
【知识链接】
1.找规律。
1+3+5+7+=
1+3+5+7+9=
1+3+5+7+9+11=
1+3+5+7+9+11+13=
1+3+5+7+9+11+13+15=
【探究新知】
2.合作学习教材第105页例2。
(1)观察算式发现:从第二个分数开始,每个分数都是它前面那个分数的(　　)。
(2)按照顺序尝试计算:+=(　　) ,+=(　　) ,(　　) +=
(　　)+=, +=(　　)……继续加下去,算式的和会越来越接近(　　),直至(　　)1。
(3)如下图,可以用一个圆或一条线段表示“1”。用圆表示1”,可转化为图形:
用一条线段表示“1”,可转化为图形:
从图形上我们可以看出,这些分数不断加下去,总和就是(　　)。
(4)++++++…=(　　)
【达标测试】
1. 1- =( ) - =( ) - =( ) -=( )
1- - - -- - - =
2. 观察下面的等式和相应的图形（每一个正方形的边长为1），探究其中的规律。
①1×=1-
② 2×=2-
③3×=3-
④4×= 4-
⑤ .
3.如图，一个堆铅笔的V形架，最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放10支，现在将一个V形架倒放，两个V形架和一起，如图2。
图1图2中分别有多少只铅笔？
如果V形架最上面放100支铅笔，那么这个V形架一共要放多少支铅笔？
【部分答案】
1.
2. 5×=5 -
3.（1）图① 10×（1+10）÷2=55（支） 图② 55+55=110（支）
（2）100×（1+100）÷2=5500（支）
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2023秋人教版小学数学六年级上册教学设计
8.2 数与形（二）
课题 数与形（二） 单元 第八单元 学科 数学 年级 六年级上册
教材分析 数学广角——数与形是人教版六年级数学上册第八单元数与形的教学内容。本节课的主要内容是让学生经历观察、操作、归纳等活动，借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。
学情分析 六年级学生对基础图形已经认知，也熟知图形的相关特征。已熟练掌握四则运算，有 一定的运算能力。已初步掌握用字母表示数，方程的思想也有所体验。这为本节课学习“数与形——求等比数列之和”奠定了基础。通过学习，进一步培养学生的观察能力、推理能力与大胆猜想验证能力。
教学目标 1.体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。 2.感悟数形结合、极限的思想，提高解决问题的能力。 3.培养热爱数学、乐学数学的情感，体验数学知识的应用价值。
核心素养 建立数与形之间的联系，体会数形结合思想，体会极限思想。
重点 借助“形”感受与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题。
难点 从图形中总结规律，体会极限思想。
教学方法 合作探究式
教学准备 教师准备：课件 学生准备：导学案
教学过程
教学环节 师生双边活动 设计意图
知识链接 1.理解数与形 2.找规律。 通过复习学过的知识，为新知识的学习做准备。
探究新知 1.运用数与形的知识解决问题。【课件出示教材第105页例2】 师：你能发现什么规律？ 预设1：从第二个数开始，每个数是前一个数的。 预设2：我一个一个加下去看看，答案好像有点规律。加下去，等号右边的分数越来越接近于1。 师：你能利用数形结合的思想解决这个问题吗？（引导学生提出用圆和线段来帮助验证，若没有学生提出，教师自己提出。） 课件动态呈现画图过程，边画图边列算式。 师：观察这两幅图，你发现了什么？ 预设1：从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。 预设2：有些问题通过画图，解决起来更直观。 将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，化难为易，引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。 利用数与形的结合，让学生直观体会极限的数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生的学习兴趣，培养学生探索新知的精神。
课堂检测 1.教材P108.“练习二十二”第4题。 2.教材P108.“练习二十二”第5题。 3.教材P109.“练习二十二”第6题。 4.教材P109.“练习二十二”第7题。 5.教材P109.“练习二十二”第8题。 在练习阶段，通过有层次的练习，重视思维训练和思考方法的有机渗透，激发学生学习的潜能。
总结评价 1. 这节课你学会了什么？你是怎么学会的？ 2. 课堂知识点总结： 3. 自我课堂评价。 通过学生的汇报交流，总结本课所学内容，锻炼学生的总结能力和语言表达能力。对学生进行全方位的考查，提升学生的综合素质。
板书设计 数与形（2） + + + + + +…=1 + = + = +=…
课后作业 1. 补充《导学案》中未完成部分。 2. 完成《分层作业》中对应练习。
课后反思 成功之处：利用数与形的结合，让学生直观体会极限的数学思想，激发他们探索新知的精神。 不足之处：教学活动时间长，练习量较小。 教学建议：在教学中要充分运用数形结合，把抽象的数学直观化，提高课堂效率，多给学生留出练习时间。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)【任务型备课】人教版六年级上册分层作业设计
【任务型备课】人教版六年级上册分层作业设计
2023秋人教版小学数学六年级上册分层作业
8.2数与形（二）
【基础导学】
本课知识点:借助图形探究等比数列求和规律，渗透数形结合与极限思想，重点解决形如 的求和问题。
1.求和公式：对于 ，和（n 为加数个数）
2.极限结论：当 n无限增大时，和无限趋近于 1（即）。
【变式应用】
1.填空题。
=（ ），核心思路是用 1 减去（ ）。
计算时，和是（ ），剩余的部分是（ ）。
（3）一个等比数列，从开始，后一个数是前一个数的，加 5 个加数时，和最接近（ ）
2．根据如图的变化规律，把表格填完整。
三角形个数 1 2 3 4 …… 8 …… n
小棒根数 3 5 7 9 …… ( ) …… ( )
【拓展提升】
3．先观察，再画一画，填一填。
（1）按照上面的规律画出第4个和第5个图形。
（2）照这样的规律：第6个图形中共有（ ）个白色小正方形，第n个图形中共有（ ）个黑色小正方形。
4．现有若干个圆环，它的外直径是5厘米，环宽是0.5厘米，将它们（如下图）扣在一起，拉紧后测量其长度，请完成表格。
（1）请完成表格。
（2）根据表中规律，11个圆环拉紧后的长度是多少厘米？
（3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，你能用一个关系式表示你发现的规律吗？
（4）若拉紧后的长度是77厘来，则它是由多少个圆环扣成的？
5．下面的4个图形都是用相同的小棒拼成的。
①根据前4个图形的规律拼摆，40根小棒能摆出第10个图形吗？
②第n个图形是由多少根小棒拼成的？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。
【答案解析】
1．（1）
（2）
（3）1
2．2×8＋1
＝16＋1
＝17（根）
三角形个数 1 2 3 4 …… 8 …… n
小棒根数 3 5 7 9 …… 17 …… （2n＋1）
3．（1）3×6－4＝18－4＝14（个）
第4个图形有4个白色小正方形，有14个黑色小正方形。
如图：
3×7－5
＝21－5
＝16（个）
第5个图形有5个白色小正方形，有16个黑色小正方形。
如图：
（2）3×8－6
＝24－6
＝18（个）
第6个图形有6个白色小正方形，有18个黑色小正方形；
3（n＋2）＝（3n＋6）个
3n＋6－n＝（2n＋6）个
第n个图形中共有（2n＋6）个黑色小正方形。
4．（1）1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格：
圆环个数 1 2 3 4 5 6 ……
拉紧后的长度/cm 5 9 13 17 21 25 ……
（2）观察上表格可得：当有n个圆环，拉紧后的总长度就是：1＋4n厘米，
所以，当n＝11时，总长度为：
1＋11×4
＝1＋44
＝45（厘米）
答：11个圆环拉紧后的长度是45厘米。
（3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，则可得圆环与拉紧后的总长度的关系式：
S＝0.5×2＋（5－0.5×2）a
＝1＋4a
答：关系式为：S＝＝1＋4a
（4）解：设圆环的个数为x，根据上面关系式可得：
1＋4x＝77
4x＝76
x＝19
答：是由19个圆环扣成的。
5．①10×4＋1＝40＋1＝41（根）
41＞40
答：不能摆出第10个图形。
②第1个图形用5根小棒，5＝1×4＋1
第2个图形用9根小棒，9＝2×4＋1
第3个图形用13根小棒，13＝3×4＋1
第4个图形用17根小棒，17＝4×4＋1
所以小棒数量＝4n＋1（根）(共30张PPT)
8.2 数与形（二）
学习目标
01
Learning goals
培养热爱数学、乐学数学的情感，体验数学知识的应用价值。
感悟数形结合、极限的思想，提高解决问题的能力。
体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。
知识目标
情感目标
技能目标
重点
难点
素养
借助“形”感受与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题。
学习重点
Learn the key points
从图形中总结规律，体会极限思想。
学习难点
Learning difficulties
建立数与形之间的联系，体会数形结合思想，体会极限思想。
核心素养
Core literacy
知识链接
02
Knowledge Links
数与形
数
形
找规律
探究新知
Explore new knowledge
03
探究点1 初步感受极限思想










＝






你能发现什么规律？






得数＝1-最后一个加数
……
计算
…。
可以画图来帮助思考。用一个圆或一条线段表示“1”。
可以画图来帮助思考。用一个圆或一条线段表示“1”。
从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。
计算
…。
课堂检测
04
Classroom testing
1.（4/P108）一条马路长200m，小宇和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发。当小宇走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点。然后小狗返回与小宇相向而行，遇到小宇后再跑向终点，到达终点后再与小宇相向而行……直到小宇到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米
（200÷1）×2=400(m)
答：一共跑了400m。
2. （5/P108）小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800m远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分钟。下面哪个图是描述妈妈离家时间和离家距离关系的 哪个是描述爸爸的 哪个是描述小兰的
小兰
妈妈
爸爸
3. （6/P109）小林、小强、小丽、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小丽下了2盘，小兵下了1盘。小刚一共下了几盘 分别和谁下的
小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。
4. （7/P109）我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。你能发现右面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗 你能按照发现的规律把这个三角形图继续写下去吗 试试看。
每个数字是上一行的左右两个数字之和。继续写下去，下一行是：1 6 15 20 15 6 1 。
5. （8/P109）你能利用右面的图发现(a+b)2=a2+2ab+b2这一公式吗 利用你所学的面积计算的知识，探索一下。
如图:①的面积是:a×a=a2，②③的面积之和是:ab+ab=2ab，④的面积是:b×b=b2。①②③④组成的正方形面积是:(a+b)2 ；所以(a+b)2=a2+2ab+b2。
总结评价
05
Summary evaluation
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小组交流
这节课你学会了什么？是怎么学会的？
数与形有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，使许多问题的解决变得很简单。
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小组互评
课后作业
06
Assign homework
01
补充《导学案》中未完成部分。
02
完成《分层作业》中对应练习。
03
预习下一节内容。
感谢聆听
2023

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