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2023秋人教版小学数学五年级上册导学案
5.2.9实际问题与方程（四）
【核心素养】
用画线段图法找出等量关系并能列方程解决路程问题，体现数形结合的思想，进一步深化方程思想。
【学习目标】
1.结合具体事例，学生自主尝试列方程解决稍复杂的相遇问题。
2.经历列方程解决相遇问题的练习过程，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.体验用方程解决问题的优越性，获得自主解决问题的积极情感，增强学好数学的信心。
【学习重点】
正确寻找数量间的等量关系式。
【学习难点】
利用画线段图的方法分析理解等量关系。
【学法指导】
仔细阅读数学书P78，例10，结合学案自学。自学过程中有什么不明白的问题，请记在专门的本子上，带到课堂与同学交流或者与老师讨论。
【知识链接】
1.解下列方程：
5x+8x=1.3 5x-3x=6.6 5x-x=34 5x-2x=2.1
2.填一填：
(1)用v表示速度，t表示时间，s表示路程。那么s=( ),v=( )
t=( )。如果我骑车每分钟行145米,行30分钟,我所行的路程是( )米。
(2)我每天跑步a公里,江华每天跑步n公里，我们每天共跑（ ）公里，15天共跑（ ）公里。
【探究新知】
1.检查并交流课前自学。
2.学习例10：从图中可以获取哪些信息？
（温馨提示：例10的题型是行程问题中的相遇问题。）
（1）同桌互相讨论并分析，找出已知条件和要解决的问题。
（2）画线段图帮助分析。
（3）小组讨论、交流，表示了什么样的等量关系？
（ ）。
小组讨论：A、题中未知量是什么？
（5）用方程解：（注意格式）
（6）独立检验。（重点提示：求出的解的后面不写单位，答语中要写单位。）
3.完成P83第8题。
【达标测试】
一、填空。
1．甲、乙两地相距405 km，客车从甲地开往乙地，2小时行90 km，照这样的速度，再行(　 　)小时可到达乙地。
2．一辆汽车从甲地开往乙地，速度是80千米/时，用了5小时。返回时只用4小时，汽车返回时速度是(　 )千米/时。
3．两个工程队共同开凿一条117米长的隧道。各从一端相向施工，13天打通。甲队每天开凿4米，乙队每天开凿(　 　)米。
二、甲、乙两地相距471千米，一辆客车和一辆货车同时分别从两地相对开出，经过3小时相遇，已知客车每小时行82千米，货车每小时行多少千米？(作图理解题意)
三、小明家和学校相距1240米。小明从学校往家走，每分走75米，妈妈从家往学校走，每分走80米，几分钟两人相遇？
四、生活中的数学。
1．甲、乙两艘轮船同时从港口离开，向另一港口行驶。经过9小时后，甲轮船落后乙轮船20.7km。甲轮船每小时行驶30.5km，乙轮船每小时行驶多少千米？
　　　　
2．早上8：00，陈实和张坚同时从同一地点出发，骑车到县城去。陈实每小时行驶12 km，张坚每小时行驶13.5 km，几小时后两人相距4.5 km
【测试答案】
一、1．7
2．100　
3．5　
二、
解：设货车每小时行x千米。
(82＋x)×3＝471
　　 x＝75
答：货车每小时行75千米。
三、解：设经过x分钟两人相遇。
　75x＋80x＝1240
155x÷155＝1240÷155
　　 x＝8
答：经过8分钟两人相遇。
四、1．解：设乙轮船每小时行驶x千米。
9x－30.5×9＝20.7
　9x－274.5＝20.7
　　　　　9x＝295.2
　　　　　　　x＝32.8
答：乙轮船每小时行驶32.8千米。
2．解：设x小时后两人相距 4.5 km。
13．5x－12x＝4.5
1.5x÷1.5＝4.5÷1.5
　　　　x＝3
答：3小时后两人相距4.5 km。
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2023秋人教版小学数学五年级上册分层作业
5.2.9 实际问题与方程（四）
【基础导学】
知识点：学习运用方程解决具体的行程问题。
1．甲、乙两地的公路长285千米，客、货两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇。已知客车每小时行45千米，货车每小时行多少千米？
特别提醒：在解决行程的问题时，要牢记路程等于速度或速度和乘时间，时间等于路程除以速度或速度和，速度或速度和等于路程除以时间。
【变式运用】
一、想一想，填一填。
2．路程＝( )×( )，速度＝( )÷( )，时间＝( )÷( )。
3．从家到学校500米，小敏和小民分别从家和学校出发，小民的速度是小敏的1.5倍，5分钟后，两人相遇。设小敏的速度为每分钟走x米，列式为( )。
二、精挑细选。（将正确答案的序号填在括号里）
4．如果0.4×a＝0.45×b（a，b都不为0），则（ ）。
A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．无法确定
5．x与1.7的积，加上x的4倍是20.4，可列方程为（ ）。
A．x＋1.7×4＝20.4 B．4（x＋1.7）＝20.4 C．4x＋1.7x＝20.4
三、解方程。
6．解方程。
2（x＋x＋0.5）＝9.8 3200＝452＋5x＋x
12x－8x＝4.8 x＋2x＋18＝78
【拓展提升】
四、解决问题。
7．北京和上海相距1320km。甲乙两列火车同时从北京和上海相对开出，6小时后两车相遇，甲车每小时行120千米，乙车每小时行多少千米？
8．A、B两城相距150千米，甲乙两人同时骑自行车从两地相对出发，甲每小时行16千米，4小时后，两人还相距30千米，乙每小时行多少千米？
9．甲乙两站相距255千米，一列客车从甲站开出，一列货车从乙站开出，2.5小时后相遇。客车每小时行48千米，货车每小时行多少千米？
10．甲乙两车同时从一个车站向相反方向开出，行驶2.5小时，两车相距225千米，甲车每小时行驶39千米，乙车每小时行驶多少千米？
11．甲乙两地相距38千米，小王从甲地出发向乙地行走，小李从乙地出发向甲地而来。已知小王每小时行5千米，小王先走4小时后，小李才出发。小李走2小时后，两人相遇。小李每小时行多少千米？
【参考答案】
1．50千米
2．速度 时间 路程 时间 路程 速度
3．5x＋5×1.5x＝500
4．B
5．C
6．x＝2.2；x＝458；x＝1.2；x＝20
7．100千米
8．14km
9．54km
10．51km
11．4千米
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人教版五年级数学上册
5.2.9 实际问题与方程（四）
学习目标
Learning goals
01
体验用方程解决问题的优越性，获得自主解决问题的积极情感，增强学好数学的信心。
经历列方程解决相遇问题的练习过程，进一步提高学生分析问题、
解决问题的能力。
结合具体事例，学生自主尝试列方程解决稍复杂的相遇问题。
知识目标
情感目标
技能目标
重点
难点
素养
正确寻找数量间的等量关系式。
学习重点
Learn the key points
利用画线段图的方法分析理解等量关系。
学习难点
Learning difficulties
用画线段图法找出等量关系并能列方程解决路程问题，体现数形结合的思想，进一步深化方程思想。
核心素养
Core literacy
知识链接
Knowledge Links
02
找关系
(1)小明每分钟走120米，5分钟走多少米？
(2)工厂到家1800米，妈妈骑车用5分钟，每分钟骑多少米？
(3)动车每小时行350千米，行700千米需要几小时？
已知速度和时间，求路程。
已知路程和时间，求速度。
已知路程和速度，求时间。
路程÷时间=速度
速度×时间=路程
路程÷速度=时间
解方程
花瓶质量+50 g砝码=200 g
看图列方程，并求出方程的解。
x+50 = 200
x = 150
解：x+50-50 = 200-50
x g
探究新知
Explore new knowledge
03
小林家和小云家相距4.5km。周日早上9:00 两人分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？
从图中能得到哪些数学信息？
对题意有什么不理解的地方吗？
探究活动1
你能用图把这道题的意思表示出来吗？
阅读与理解
4.5km
小云
小林
0.2千米/分
0.25千米/分
200米/分=0.2千米/分
250米/分=0.25千米/分
相遇
你能理解线段图表示的意思吗？
相遇时，哪段是小林走的，哪段是小云走的？他们行驶的路程与两地的距离有关系吗？有怎样的关系？
你能解决这个问题吗？请你独立列式解答，如果有困难，可以和小伙伴商量商量。
探究活动2
4.5km
小云
小林
0.2千米/分
0.25千米/分
相遇
分析与解答
解：设两人x分钟后相遇。
小云骑的路程 +小林骑的路程 =总路程
0.2x＋0.25x＝4.5
解法1：
小云骑的路程
小林骑的路程
4.5km
小云
小林
0.2千米/分
0.25千米/分
相遇
（两人每分钟骑的路程和）×x =总路程
（0.2 + 0.25）x = 4.5
0.2千米/分
0.25千米/分
解法2：
相遇
解：设两人x分钟后相遇。
4.5km
小云
小林
解：设两人x分钟后相遇。
小云骑的路程 +小林骑的路程 =总路程
0.2x＋0.25x＝4.5
解：设两人x分钟后相遇。
（两人每分钟骑的路程和）×x =总路程
（0.2 + 0.25）x = 4.5
第一种方法和第二种方法中都有乘x，这个x表示的意思一样吗？
到底是几分钟后相遇呢？自己任选一个解一解，并检验。
探究活动3
0.2x＋0.25x = 4.5
（0.2 + 0.25）x = 4.5
0.45x = 4.5
0.45x÷0.45 = 4.5÷0.45
x = 10
答：两人9:10相遇。
解：设两人x分钟后相遇。
小云骑的路程 +小林骑的路程
= 0.2×10＋0.25×10
= 4.5（km）
=总路程
9:00过10分钟就是9:10。
（0.2 + 0.25）x=4.5
0.45x=4.5
0.45x÷0.45=4.5÷0.45
x=10
解：设两人x分钟后相遇。
（两人每分钟骑的路程和）×相遇时间
=（0.2＋0.25）×10
= 4.5（km）
=总路程
答：两人9:10相遇。
9:00过10分钟就是9:10。
通过画线段图可以清楚地分析数量之间的相等关系。
这里要用到速度、时间和路程的数量关系来列方程。
1.相遇问题的基本特征:两个物体同时由两地出发,相向而行,在途中相遇。
2.相遇问题的基本关系:
甲行的路程+乙行的路程=总路程
或甲乙速度和×相遇时间=总路程
回顾与反思
课堂检测
Classroom testing
04
1. 两列火车从相距600 km的两地同时相向开出。甲车每小时行驶230 km，乙车每小时行驶170 km，经过几个小时两车相遇？
（教材第80页第9题）
解：设经过x小时两车相遇。
230x+170x = 600
400x = 600
400x÷400 = 600 ÷400
x = 1.5
甲火车行的路程+乙火车行的路程=总路程
答：经过1.5小时两车相遇。
2. 两地间的路程是455km，甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过3.5小时相遇。甲车每小时行驶68 km，乙车每小时行驶多少千米？
（教材第82页第12题）
解：设乙车每小时行驶x千米。
68×3.5+3.5x = 455
238+3.5x = 455
3.5x = 217
x = 62
答：乙车每小时行驶62千米。
还可以怎样列方程？
甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=总路程
2. 两地间的路程是455km，甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过3.5小时相遇。甲车每小时行驶68 km，乙车每小时行驶多少千米？
（教材第80页第12题）
甲乙两车的速度和×相遇时间=总路程
解：设乙车每小时行驶x千米。
(68+x)×3.5 = 455
(68+x)×3.5 ÷3.5 = 455 ÷3.5
68+x = 130
68+x-68 = 130-68
x = 62
答：乙车每小时行驶62千米。
3.
这道题也可以看作相遇问题。
解：设乙队每天开凿 x m。
(12.6+x)×25 = 675
(12.6+x)×25÷25 = 675÷25
12.6+x = 27
12.6+x-12.6 = 27-12.6
x = 14.4
答：乙队每天开凿14.4 m。
两个工程队同时开凿一条675m长的隧道，各从一端相向施工，25天打通。甲队每天开凿12.6m，乙队每天开凿多少米？
（教材第80页第11题）
4. 甲、乙两艘轮船同时从A地出发开往B地。经过18小时后，甲船落后乙船57.6 km。甲船每小时行驶32.5 km，乙船每小时行驶多少千米
57.6km
甲18小时行驶
乙18小时行驶
57.6 km
A地
B地
甲
乙
乙船行驶的路程-甲船行驶的路程=落后的距离
解：设乙船每小时行驶x km。
18x-18×32.5 = 57.6
18x = 642.6
x = 35.7
答：乙船每小时行驶35.7 km。
总结评价
Summary evaluation
05
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小组交流
这节课你学会了什么？是怎么学会的？
解答行程问题的步骤
1.画线段图分析数量关系，找出等量关系；
2.根据速度、时间和路程三者之间的数量关系列方程
解答。
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自我评价
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小组互评
课后作业
Assign homework
06
01
补充《导学案》中未完成部分。
02
完成《分层作业》中对应练习。
03
预习下一节内容。
感谢聆听
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2023秋人教版小学数学五年级上册教学设计
5.2.9实际问题与方程
课题 实际问题与方程 单元 第五单元 学科 数学 年级 五年级上册
教材分析 这节课的教学是学生在掌握行程问题基本数量关系的基础上进行的，本课教材给学生提供了“骑车”的情境，通过简单的路线图等方式呈现了速度路程等信息。然后要求学生根据这些信息去解决2个问题： ①让学生根据两辆车的速度信息进行估计，在哪个地方相遇。 ②用方程解决相遇问题中求相遇时间的问题。
学情分析 本课是在学生掌握了用字母表示数、等式的基本性质、解简易方程及稍复杂的方程之后，进一步学习列方程解决有关含有两个未知数的实际问题。由于学生已有的经验是求什么设什么，对两个未知数的问题不知道怎么设，所以要借助等量关系启发学生思考，设其中一个未知数为x，根据已知条件，另一个未知数用含有字母的式子表示。
教学目标 1.结合具体事例，学生自主尝试列方程解决稍复杂的相遇问题。 2.经历列方程解决相遇问题的练习过程，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。 3.体验用方程解决问题的优越性，获得自主解决问题的积极情感，增强学好数学的信心。
核心素养 用画线段图法找出等量关系并能列方程解决路程问题，体现数形结合的思想，进一步深化方程思想。
重点 正确寻找数量间的等量关系式。
难点 利用画线段图的方法分析理解等量关系。
教学方法 合作探究式
教学准备 教师准备：课件 学生准备：导学案
教学过程
教学环节 师生双边活动 设计意图
知识链接 1.连一连。 2.看图列方程，并求出方程的解。 利用已经学过的知识，唤起学生已有的知识经验，进一步为新知识的学习奠定基础。
探究新知 课件出示教材P79例10。 1.阅读与理解。 师：读题，说一说从题中你得到什么信息。 【学情预设】 预设1：已知小云和小林家相距4.5千米，小林的骑车速度是每分钟250m，小云的骑车速度是每分钟200m。求两人何时相遇。 预设2：知道了路程和每个人的速度，求相遇时间。 2.分析与解答。 （1）画图分析数量关系。 活动：让学生上台走一走，演示相遇，并用画线段图的方法分析数量关系。 学生先尝试画图，教师巡视指导，指名汇报，然后课件出示线段图。 师：你能说一说线段图表示的意义吗？ 【学情预设】用一条线段表示全程，小林与小云分别从相对的方向出发，经过一段时间后相遇，也就是行完了全程。 师：从线段图中，你知道了什么？ 【学情预设】小林骑的路程＋小云骑的路程＝总路程。 （2）列方程解答。 师：现在能不能求出小林骑的路程和小云的路程呢？ 【学情预设】都不能求出，因为他们行驶的时间不知道。 师：他们两个行驶的时间一样吗？为什么？ 学生交流后会汇报。 【学情预设】他们是同时出发，所以相遇时行驶的时间应该也是一样的，可以把他们行驶的时间都设为x。 让学生根据分析，尝试列方程解答问题，小组交流，汇报。 解：设两人x分钟后相遇。 小林骑的路程＋小云骑的路程＝总路程 0.25x+0.2x=4.5 0.45x=4.5 0.45x÷0.45=4.5÷0.45 x=10 答：两人9时10分相遇。 3.回顾与反思。 师：回顾刚才的解题过程，你有什么收获。 小组讨论，交流汇报。 引导小结：①通过画线段图可以清楚地分析数量之间的相等关系。 ②这里要用到速度、时间和路程的数量关系来列方程。 师：这道题你还有其他的解法？ 小组交流讨论，汇报。 解：设两人x分钟后相遇。 两人每分钟骑的路程和×时间＝总路程 （0.25+0.2）x=4.5 0.45x=4.5 0.45x÷0.45=4.5÷0.45 x=10 答：两人9时10分相遇。 通过实际的操作演示让学生有更加深刻的理解和感悟，同时活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性。 通过线段图，对于等量关系“每分钟两人骑的路程和×时间=全程”，不容易看出来每分钟骑的路程和。通过线段图可以帮助学生加深理解，同时沟通路程问题和工程问题间的联系，从而感悟等量关系。 多样化的策略和方法需要教师引导学生通过一条内在的线牵引和归纳，这样才能使学生对所学的知识有一个系统的、完整的认识，以及思考更有条理，思路更清晰。
课堂检测 1.教材P80.“练习十七”第9题。 2.教材P80.“练习十七”第12题。 3.教材P80.“练习十七”第11题。 4.拓展应用。 在练习阶段，通过有层次的练习，重视思维训练和思考方法的有机渗透，激发学生学习的潜能。
总结评价 1. 这节课你学会了什么？你是怎么学会的？ 2. 教师课堂知识点总结。 3. 学生课堂评价（自我评价和小组评价）。 通过学生的汇报交流，总结本课所学内容，锻炼学生的总结能力和语言表达能力。对学生进行全方位的考查，提升学生的综合素质。
板书设计
课后作业 1. 完成《导学案》中未完成部分，整理笔记。 2. 完成《分层作业》中对应练习。
课后反思 亮点：本节教学为学生创设了充足的自主学习的时间，让学生在自学过程中收获了属于自己的成功。 不足之处：老师对学生的认知水平评价过高，学生虽然已经有了一定的自主学习能力，但部分学生对题目中的数量关系还比较模糊，教师没有及时引导。 课堂教学建议：在教学过程中，让学生根据过渡题改编后形成例题，可以根据过渡题中的数量关系列方程解应用题。
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