资源简介

课题 三角函数的图象与性质应用（2）
教学目标
教学目标： 1 . 进一步理解三角函数的图象与性质，会利用三角函数的图象和性质解决相关函数最大（小）值的问 题， 以及利用图象和性质会解一些特殊的不等式； 2 . 在解决问题的过程中体会数形结合思想和转化与化归思想的应用，加深知识间的内在联系； 3 . 在知识的运用过程中发展数学运算和数学直观的素养. 教学重点：利用三角函数图象及性质解决相关函数的问题. 教学难点： 问题解决过程中方法的选择及转化策略的使用.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
复习 (
3π
2
) (
O
) (
2π
) (
π
) (
π
2
) (
π
2
) (
π
) (
1
) (
2
f
(
x
)
=
cos(
x
)
) (
3π
2
)三角函数的图象与性质应用（2） 简单回顾三角函数的图象与性质. 上节课已经研究了一些三角函数的图象与性质的应用， 比如说： y = cos x ， 我们讨论了它的单调区间和周期性，研究的方法离不开图象的支持，今天继续应用 三角函数的图象与性质来研究相关函数，那么函数图象与性质是否还能帮助我们解 决问题呢？ 1 设计意图： 本节课的主要内容是利用三角函数的图象与性质解决问题， 先帮助 学生复习这部分内容.
例题 例 1： 求下列函数的最大值 、最小值. 1. y = 1 - cos x，x R； 2. y = 1- cos x，x [，]； 3. y = 1- cos(x - )，x [，].
(
)
) (
c
) (
1
) (
2
) (
π
) (
1
) (
2
)
(
2
)分析： （1）通过观察图象 π
(
f
(
x
) = (
os
) (
(
x
)
)
π 3π π π O π 3π
2 2 2 2
当 cosx=-1 时， 函数 y=1-cosx 取到最大值为 2 ，此时 x=π+2kπ , k Z. 当 cosx=1 时， 函数 y=1-cosx 取到最小值为 0，此时 x=2kπ , k Z. (2)当 x = 时 ， 函数 y=1-cosx 取到最大值为 . 当 x = 时 ， 函数 y=1-cosx 取到最小值为 . (3)当 x [，] 时， x - [0，] . 所以先考查 y = cos x 在[0，] 上的最大值 、最小值. 当 x = 时 ， 函数取到最小值为 0. 当 x = 时 ， 函数取到最大值为 . 学生活动 ：通过观察函数图象以及利用函数的性质， 求函数的最值. 设计意图： 通过余弦函数图象， 解决多个不同函数的值域问题，也就是说， 此例题 的问题，都可以转化为利用余弦函数图象以及性质进行解决. 例 2： 已知函数f(x) = cos x ，其中 x [ ，m] ，若 f(x) 的值域是[- 1，0] ， 求实数 m 的取值范围 . 分析 ：先让同学观察图象，思考如何解决问题.
(
2
) (
1
) (
π
O
π
π
3π
2π
2
1
2
2
) 通过动画，让学生观察余弦函数的图象， 可以发现当 m [π , ] 时，f(x)的值域是
[- 1，0] .
学生活动 ：观察图象，思考如何利用函数图象解决此问题. 设计意图： 此题若通过代数方法解决是比较困难的， 而利用图像， 可以非常直观的 展现出 m 的取值范围. 思考题 1： 已知函数 f(x) = cos(x + ) ，其中 x e[ ，m] ，若f(x)的值域是[一 1，0] ， 求 m 的取值范围 . 当 x e[ ，m] 时， x + e [，+m] ，接下来只需考察 f(x) = cos x 在[，+m] 上的 值域是[一 1，0] . 这就转化为例 2 的情况. 在例 2 中， m e [π , ] ，所以此题的 m 满足： π < +m < ，解得： m e[，] . 学生活动： 同学们体会函数图象及性质在此题中的作用. 设计意图： 与例 2 相比， 此例题中的函数有一点变化，但任然可以使用三角函 数图象及性质进行解决. 思考题 2： 已知函数 f(x) = cos(3x +) ，其中 x e[ , m] ，若f(x)的值域是[一 1，0] ， 求 m 的取值范围 . 分析： 当 x e[ , m] 时， 3x + e [，+3m] ，接下来只需只需f(x) = cos x 在 [，+3m] 的值域是[一 1，0] 这个问题. 这就转化为例 2 的情况. 在例 2 中， m e [π , ] ，所以此题的 m 满足： π < +3m < ，解得： m e[，] . 学生活动 ：让同学体会函数图象及性质在此题中的作用， 并思考与前面两个例 题的关系. 设计意图： 与前面两个题相比， 此例题中的函数又有一点变化， 但任然可以使 用三角函数图象及性质进行解决. 例 3： 求不等式sin x 之 cos x 的解集.
(
1
) (
2
2
1
2
2
2
) (
3π
π
π
O
π
π
3π
2π
5π
3π
) 分析：通过观察正 、余弦函数的图象，先计算出 sin x= cos x 的解，进而得到不等式 在[0，2π] 内的解. 在[0，2π] 内，不等式sin x > cos x 的解集为： [，] . 因此，不等式sin x > cos x 的解集为：〈x + 2kπ < x < + 2kπ , k e Z〉. 学生活动 ：有些学生可能会使用代数方法进行解决， 但借助函数图形， 可以相 对轻松的解决此问题，让学生思考， 函数图形及性质在此题中的作用. 设计意图：利用三角函数图形及性质解不等式. 思考题： 求不等式sin x+cos x > 0 的解集. 分析 ：不等式sin x+cos x > 0 可转化为： sin x > - cos x . (
2
)f(x) = cos(x) 1 (
3π
2
) (
3π
) (
2π
) (
π
2
) (
π
) (
π
) (
π
2
)O (
1
)2 sinx (
cosx
) 1 - π O π π 3π 2π 5π (
2
2
2
2
)1 在[-π , π] 内， sin x= - cos x 的解为 - ， .
sin x > - cos x 的解为 [- ，] . (
l
4
)因此在 R 上， sin x > - cos x 的解集为〈(x - π + 2kπ < x < + 2kπ , k e Z〉.
小结 利用三角函数图象及性质研究函数的值域； 利用三角函数图象及性质研究一些不等式的解集.

展开更多......

收起↑