资源简介

人教版五年级上册数学广角《植树问题》复习课
课标要求
新课标指出：在日常教学中，在指导学生学习数学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。因此，在教学中，我引导学生借助示意图或者线段图进行分析，在直观理解的基础上解答。数学学科的“三会”核心素养，即会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。在本课的设计中，我引导学生用数学的眼光去发现生活中的植树问题，用数学的思维去思考植树问题中的数量关系，用数学的语言去分析植树问题，找到错误的症结所在。
学习目标
1、引导学生通过观察思考、推理试验、对比归纳等活动，建立解决植树问题的模型思想，抽象出植树问题的关键点。
2、通过画线段图等的数形结合法培养学生探索解决实际问题的能力。
3、发散数学思维，寻找生活中的植树问题，了解数学文化，培养实践动手能力和解决实际问题的能力。
关键问题
1、你认为解决植树问题的秘诀是什么？
2、你有办法“看”出是哪种植树类型吗？
3、计算时什么情况下要减去顶点个数？怎么确定减去几个顶点个数？
4、我们身边都有哪些“植树问题”？
评价任务
1、完成任务一。（检测目标1）
2、完成任务二。（检测目标2）
3、完成【检测与作业】。（检测目标3）
4、完成任务三。（检测目标2、3）
资源与建议
1、本单元的教学内容是“植树问题”，主要是渗透有关植树问题的一此思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现规律，再用发现的规律解决问题。因此本单元学习目的主要体现在：一是数学思想方法的渗透，二是植树问题数学模型的建立，三是用发现的规律来解决生活中简单的实际问题,如安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵、锯木头、走楼梯等等。
2、本课的学习按一下流程进行：唤醒旧知，梳理成型——基础训练，细微见著-——对比思考，归纳总结——拓展延伸，揭下面纱——课后巩固，走进生活。
3、学习重点：借助线段图，探索规律，会用植树问题的模型解决一些实际问题。
4、学习难点：理解“间隔”与“棵数”之间的关系；总结在什么情况下要减去顶点个数，以及怎么确定减去的顶点个数。
学习过程
01唤醒旧知，梳理成型
同学们，今天我们一起复习植树问题，揭开植树问题的神秘面纱。你觉得解决植树问题的秘诀是什么？这是各个小组课前完成的任务单，我们一起来欣赏吧！
组长上讲台和大家分享自己小组的学习成果，其他同学认真倾听，听完以后可以举手发表自己的想法。
师引导：对于他们小组的想法你有什么想补充的或者想说的吗？
预设生1：第一组的口诀总结的很到位，如果能配上相应的线段图就更清楚了！
预设生2：第二组图文并茂，很生动，明明白白，但是如果再补充一种特殊情况：封闭图形，就完美了！
预设生3：第三组和第四组的小组工作做的真是细致，有图有文字，让人一目了然！
师小结：刚刚通过欣赏同学们的几幅作品，我们梳理了植树问题的三种基本类型，以及每种类型下棵数与间隔数之间的关系，下面我们来挑战一下吧！
【设计意图：通过问题梳理和评价生成，引导学生在脑中自觉生成植树问题的几种类型，并借助线段图将三种情况进行对比和沟通，为后面解决相应问题做铺垫。】
02基础训练，细微见著
师过渡：通过调查，大家都认为在植树问题中要特别注意：“一端（头）”还是“两端（头）”，“一边（旁）”还是“两边（旁）”，既然这些词语这么重要，我们在碰到他们时，请大家一定要做好标记，这对我们快速正确地解题很有帮助哦！
出示任务一（未标注红字，学生）：
（1）标记关键词，列式解决。
（2）生上台板演，汇报交流。
师引导：问题1中，全长怎么求？和什么有关？
预设：全长=间隔数×间距，和间隔数、间距有关。
师引导：问题2中，科技馆和图书馆、一边是什么意思？求什么？怎么求？
预设：“科技馆和图书馆”说明两端都不种，19个车站说明20个间隔，全长÷间隔数=间距。
师引导：问题3中，一端要种，棵数与间隔数有什么关系？怎么计算？这道题哪里特别容易出错？
预设：一端要种，棵数与间隔数相等，间隔数=全长÷间距。要特别注意要在路的两边种树，不是一边，最后还要乘2。
（3）反思过程，引导小结。
师小结：同学们能从这几道简简单单的练习中习得标记重点词语的好习惯，这对今后的学习一定大有帮助。你觉得在解决问题的过程中，除了关键字词，还有什么地方特别容易混淆？
预设：不同植树类型，棵数和间隔数的关系，很容易弄错。
【设计意图：三道题，不仅包含了线段上的3种植树问题，并包含全长、段长、棵数3种元素。通过练习归纳，打通植树问题所有元素之间的关系。练习是运用总结出的数量关系来解决问题，这也是数学学习的目的。在实际解决问题中，学生往往会忽略判断植树类型这一环节，设置说说自己的审题心得、标记重点词语，让学生慢下脚步，可以更好地帮助学生理解不同的植树情形，建构植树问题的各种原始模型。】
03对比思考，归纳总结
师过渡：除了可以线性植树，我们也可以在封闭图形上植树。
出示任务二：
（1）小组交流，找错纠正。
（2）展台汇报，评价分析。
收集各个小组比较有代表性的作品，全班交流。
师引导：对于第一组和第二组的分析，你有什么意见？
预设1：第一组认为周长÷间距并没有算出4个角上的绣花，封闭图形的植树借助化曲为直的方法，可以看做一端植树，肯定包含了所有的“树”。
师：真是一个聪明的孩子，知其然还知其所以然！
预设2：第二组认为不减4的原因在于算出每边的朵数就不用减4，我们减去4个角是因为4个角重复多算了一次才减的，而不是在于算出每边的朵数就不用减4，我们可以画个图看一下……图中不难发现，8表示的并不是长边的花朵数量，而是长边除去一角余下的，同理6是宽边除去一角余下的，不存在重复的花朵，因此根本不用减4。
师：画图这种方法真好用！让人一目了然，你们都看明白了吗？请你也跟着他画一画，圈一圈，和你的小伙伴说一说，为什么不用减4。
（3）全班交流，优化方法。
师：刚刚同学们用了3种不同的方法解决了这个问题，你们更喜欢哪种方法？为什么？
预设：我更喜欢方法①，这样我们就不用思考四个角有没有重复，很方便。
师小结：是啊，用封闭图形的周长÷间距，可以直接求出棵数，这种方法在封闭图形的植树中经常会用到。
（4）由此及彼，类比拓展。
①想一想，什么情况下我们一般要减4？
②画一画，圈一圈，独立思考，自主解决。
师引导：像这样的方阵问题，我们特别需要注意什么？
预设：减去重复的四个顶点。
追问：是不是每边之和算好之后，都要减去4？生举反例说明。
出示：
③用自己喜欢的方法解决。
师引导小结：计算封闭图形的植树问题时，当我们多算了几个角时，不能忘记减去重复多算的部分，特别需要注意的是：重复多算了几个角，就减去几个角。画图可以帮助我们看清重复了几个。
【设计意图：借助这个问题，我们展开进一步探究，教师引导孩子画一画，圈一圈，怎样让人一眼看明白为什么不用减4？想一想，画一画，哪种情况下要减4？进而出示变式，三边种树，两个角重复的情况，这一系列的探究，层层深入，不断剖析，让孩子对于封闭图形、方阵问题，有一个更加全面、深入的认识。】
04
拓展延伸，揭下面纱
师过渡：其实植树问题在生活中随处可见，你发现在哪里了吗？（学生自主回答）老师也找到各种各样的树，我们一起来看看！
【检测与作业】寻找伪装面具下的“植树问题”。
（1）读一读，画一画，填一填。
我们把楼梯问题、公交车问题、锯木头问题、敲钟问题都看作植树问题，你能找到“树”与“段”吗？
（2）想一想，分一分，算一算。
以上问题分别属于哪种植树问题？列式解决。
师小结：“树”不仅仅是树，不是树却也是“树”，多么奇妙的植树问题啊！
【设计意图：通过想、画、填的方式，一方面考查学生在解决实际问题中探索规律，找出解決问题的有效方法的能力；另一方面考查学生对化繁为简、几何直观等数学思想和植树问题数学模型的体会和理解情况。】
05
课后巩固，走进生活
出示任务三：
（1）世界杯问题：独立思考，计算并说出自己的想法。
师：原来周期问题也可以看成一种植树问题，世界杯的年份可以看成“树”，每隔4年可以看成“段”。
（2）《20棵植树问题》：阅读材料，通过PPT了解这个数学问题的历史文化，这个还没解决的数学问题肯定更能激起孩子们的探究欲望。
（3）全课总结：今天这节课，你有什么收获？还有什么问题？
【设计意图：通过数学文化的熏陶，让学生了解数学文化，培养学生学习数学的兴趣，让学生感受数学无处不在，激发学生不断学习、不断探究的欲望，对学生提出期望，让数学课堂延伸至课后。】
作业布置
梳理本单元各知识点，绘制思维导图。
【设计意图：这是一道实践活动题，让学生经历单元知识点收集、整理、分析的过程，进一步体会数据中蕴含的信息，提高梳理意识，发展数学抽象、数学建模的核心素养，学生在合作交流过程中发展，提高自主解决问题能力，提高应用意识和创新意识，从而提升学生数学核心素养。】
学后反思
本单元“数学广角”主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，借助线段图等手段让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的简单实际问题。
1、把握细节，锁定类型。
叶圣陶说过：积千累万，不如养个好习惯。
任务一的设置，从简单的小题着手，通过练习归纳，打通植树问题所有元素之间的关系，通过说说自己的审题心得、标记重点词语，让学生慢下脚步，养成认真审题、仔细分析的好习惯。
2、借助画图，规避易错。
在任务二中，从小组作品可以看出，孩子们改正环节问题都不大，可能数据不大也有关系，但是错误原因的分析却五花八门，甚至有些小组的分析是片面的、有误的，认为周长÷间距并没有算出4个角上的绣花，认为这不是方阵问题，方阵才要减4等等，还有认为不减4的原因在于算出每边的朵数就不用减……种种分析暴露了这批孩子对于封闭图形的植树问题认识得还不全面、透彻，对于方阵中要减去四个角也是似懂非懂，只是知道封闭图形属于一端种树，方阵中要减去四个角，至于为什么这样理解、这样做，却没有弄得一清二白。借助这个问题，我们展开进一步探究，教师引导孩子画一画，圈一圈，怎样让人一眼看明白为什么不用减4？想一想，画一画，哪种情况下要减4？进而出示变式，三边种树，两个角重复的情况，这一系列的探究，层层深入，不断剖析，让孩子对于封闭图形、方阵问题，有一个更加全面、深入的认识。
3、深思熟虑，沟通联系。
课本的例题是看得见真的树，而实际的植树问题，不仅仅只是看得见真的树，也可以是看得见却是“假”的树 （公交车问题），还有看不见却可以想象的树（锯木头问题、楼梯问题），还可以是看不见却可以听得见的树(敲钟问题）。是“树”不是“树”，有“树”看不见，却能听得见，多么奇妙的植树问题啊！
4、走进生活，激发欲望。
关注植树问题模型的拓展和应用，注意反映数学与人类生活的密切联系。植树问题的模型它源于现实，又高于生活。任务三的出示，结合当下刚刚结束的世界杯问题和未知结果的《20棵植树问题》，让数学研究真正从数学课堂走进课后、走进生活。

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