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第13章 轴对称
13.4 最短路径问题
第一课时 将军饮马问题
复习导入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？你的依据是什么？
A
B
①
②
③
②最短，依据“两点之间，线段最短”
新课导入
2.如图，P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？你的依据是什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，依据“垂线段最短”
新课导入
3.如图，直线l是线段AB的对称轴，C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？你的依据是什么？
AC=BC.
依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.
A
B
l
C
新课导入
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足为O；
l
A

A′
┐
O
（2）在垂线上截取OA′=OA.
点A′就是点A关于直线l的对称点.

可简记为：作垂线；取等长
探索新知
引例 将军要先带马去河边喝水，再去单位上班。请问：马在河边何处喝水时，将军所走的路线最短？
知识点1 将军饮马问题
实际问题
数学问题
？转化？
引例
A
B
l
将军要先带马去河边喝水，再去单位上班。请问：马在河边何处喝水时，将军所走的路线最短？
实际问题
数学问题
将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l ．
引例
将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l ．
A
B
l
问题一 你能用自己的语言把问题抽象为数学问题吗？
在直线l 上找一点C，使AC+BC最短
问题二 点C应该在哪里？
为什么呢？
连接AB，与l 交于C点
两点之间线段最短
C
将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l ．
在直线l上找一点C，
使AC+BC最短
B
A
l
C
问题1 现在，单位搬到了将军府的同侧，将军还是要先带马去河边喝水，再去单位上班。此时，将军应该如何走才能使所走路线最短？
知识点1 将军饮马问题
探索新知
知识点1 将军饮马问题
A
B
l
B
B′
C
A
l
B
C
引例
分析：如果我们能把点B“移”到l 的另一侧B′处，同时对于直线l 上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就能把这个“同侧”的问题转化为“异侧”的问题.
A、B同侧
A、B异侧
探索新知
知识点1 将军饮马问题
A
B
l
作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到CB′=CB.
B′
C
问题转化二:当点C在l的什么位置时，AC+CB′最小.
怎样找到满足条件的点B′？
在连接A，B′两点的线中，线段AB′最短.因此线段AB′与直线l的交点的位置即为所求.
探索新知
知识点1 将军饮马问题
A
B
l
B′
C
怎样证明点C的位置即为所求？
作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′;
点C即为所求作的点.
（2）连接AB′,交直线l于点C.
探索新知
知识点1 将军饮马问题
A
B
l
在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+CB＜AC′+C′B.
B′
C
C′
你能完成这个证明吗？
探索新知
知识点1 将军饮马问题
A
B
l
B′
C
C′
由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC=AC +B′C=AB′，
∴AC′+BC′=AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．
探索新知
知识点1 将军饮马问题
（1）定直线l ；
利用”将军饮马“模型解决最值问题的应符合的条件
A
B
l
（2）两定点A，B，且两定点在直线l的同侧;
（3）所求作的动点C在直线l 上.
C
探索新知
知识点1 将军饮马问题
（1）找：由轴对称的性质，作其中一个定点（如B）关于直线l 的对称点（B′）；
（2）连：连接另外一个定点（A)与对称点（B′）；
解决”将军饮马“问题的步骤
A
B
l
B′
C′
C
（3）交：连线与直线l 的交点（C′）所在的位置即为所求作的点（C）.
探究新知
问题2 在单位旁边有一块草地，每天中午休息的时候，将军要赶着马先到草地吃草，再到河边喝水，最后回到单位，你能替将军设计出最短的放牧路线吗？
A
m
n
B
C
在直线m上找一点B，直线n上找一点C,使AB+BC+AC最短
探究新知
m
n
在直线m上找一点B，直线n上找一点C,使AB+BC+AC最短
A1
A
A2
C
B
总结归纳
一点两线
作该点分别关于两线的对称点，连接对称点，与两线相交，两个交点与该点构成三角形，就是最短路径。
两点之间，线段最短
求解思路
求解原理
m
n
A1
A
A2
C
B
（1）两直线内的一个定点
（2）两直线上各一个动点
（转化思想）
探索新知
知识点1 将军饮马问题
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
B
E
B
E
F
B
E
F
F
探索新知
知识点1 将军饮马问题
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
B
F
【解析】∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.
即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
探索新知
知识点1 将军饮马问题
思考：作点E关于AD的对称点可以吗？为什么不选择这个方法？
课堂小结
将军饮马问题
将军饮马问题
步骤：找，连，交.
原理
两点之间，线段最短.
课堂练习
1.如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ）
A.转化思想
B.三角形两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
A
B
l
C
B′
D
课堂练习
2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
D
3.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.
解:如图，依题意,分别作点P关于ON、OM的对称点P1、P2,连接P1P2交ON于点B，交OM于点A，依次连接A、B、P，此时△PAB的周长为最小值.13.4 最短路径问题 最短路径
一、教学基本信息
课题名称 最短路径 授课教师
授课班级 8.8 授课时数 2
授课时间 40分钟 授课课型 新授课
二、教学分析
教材分析 本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。
学情分析 学生已经学习图形的认识，三角形的全等，轴对称及等腰三角形等有关图形与几何的内容，学生对图形识别、分析能力、理解能力有明显提高，但由于学习这部分的知识比较抽象，与实际问题联系较大，故部分学生可能理解起来较为困难，所以要做好预习工作。本班大部分学生学习数学的热情比较高，具有一定的自主探究和合作学习的能力。但个别学生基础较弱，能力差异较大需做好后进生关注。
三、教学目标
课程标准 数学课程标准》指出："模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。"数学建模是初中数学的重要任务之一，它是培养学生应用数学的意识和能力的有效途径和强有力的教学手段。初中学生的数学建模能力普遍很弱，要想提高学生的建模能力，我们就要在课堂教学中引导学生从生活经验和已有的知识出发，让学生直接接触数学建模，培养学生抽象能力以及运用数学知识能力。现实生活中问题是很复杂的，有些问题表面看来麾无相同之处，但抽象为数学模型，本质都是相同的，这些问题都可以用类似的方法解决。本节课的教学中注重模型归类，多题一模，一题多变，训练学生归纳能力，培养学生数学建模能力和思想。
核心 素养 目标 通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质。 素养化的目标要具有层次性、可操作性、可检测性。
运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想方法。
在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系。 历史解释、唯物史观
课程育德 若素养目标已有育德内容表述，则不用填写。
教学重点 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
教学难点 选择合理的方法解决问题.
四、教学策略
教法 情景创设法
学法 自主阅读
教学思路 引导学生复习知识点，通过创设问题情境，归纳总结解决问题的方法，找出解决最短路径问题的突破点
板书设计
五、教学过程
学生活动（主体） 教师活动（主导） 设计意图
课前准备（疑） 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？ ②最短，依据：两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？ PC最短，依据：垂线段最短 3. 如图，直线l是线段AB的对称轴，C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？你的依据是什么？ AC=BC. 依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”. 4. 如图，如何做点A关于直线l的对称点？ 以学生学过的知识为基础引入课题，培养学生的学习兴趣.
新课导入（疑） 例 将军要先带马去河边喝水，再去单位上班。请问：马在河边何处喝水时，将军所走的路线最短？ 将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l ． 问题一 你能用自己的语言把问题抽象为数学问题吗？ 问题二 点C应该在哪里？ 为什么呢？ 引导学生将实际问题转化为数学问题 探究活动，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程．
教学过程（议） （探） （结） 问题1 现在，单位搬到了将军府的同侧，将军还是要先带马去河边喝水，再去单位上班。此时，将军应该如何走才能使所走路线最短？ 将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l 数学问题：点A，B分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 作法： (1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l相交于点P.则点P即为所求 提问：为什么最短？如何说明它是最短的 证明：如图，在直线 l 上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′. ∴ AC+BC=AC+B′C=AB′ AC′+BC′=AC′+B′C′ 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′ ∴ AC+BC＜AC′+BC′ 即AC+BC最短. 问题2 在单位旁边有一块草地，每天中午休息的时候，将军要赶着马先到草地吃草，再到河边喝水，最后回到单位，你能替将军设计出最短的放牧路线吗？ 数学问题：在直线m上找一点B，直线n上找一点C,使AB+BC+AC最短 例1．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 引导学生对比引例，如果我们能把点B“移”到l 的另一侧B′处，同时对于直线l 上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就能把这个“同侧”的问题转化为“异侧”的问题 . 总结： 利用”牧人饮马“模型解决最值问题的应符合的条件 解决”牧人饮马“问题的步骤 通过观察、思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养合作意识
课堂小结 最短路径问题的类型： (1)两点一线型的线段和最小值问题 (2)两点两线型的线段和最小值问题 解决方法：利用对称性，将折线问题转化为直线问题，最后用两点之间，线段最短解决问题
课堂作业（评）
课后作业（升）
六、教学反思
通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值. 在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题. 体会在解决问题中与他人合作的重要性. 体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.

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