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第04讲 二次根式（第1课时 定义与性质，8类热点题型讲练)
1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；
3.掌握二次根式的乘法（除法）法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简．
知识点01 二次根式的相关概念
1.二次根式的定义：我们把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号；根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点02 二次根式的性质
二次根式的性质： ① ， （双重非负性）
，
知识点03 二次根式的乘除法
二次根式的乘法法则及逆用：；
二次根式的除法法则及逆用：；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．
题型01 二次根式有意义的条件
【典例1】（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【变式1】（2023春·吉林·八年级统考期中）
2．若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是 ．
【变式2】（2023春·江苏·八年级期末）
3．使得有意义的x的取值范围是 ．
题型02 求二次根式的值
【典例1】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）
4．当时，二次根式的值是 ．
【变式1】（2023春·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）
5．当时，二次根式的值为 ．
【变式2】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）
6．当时，二次根式的值为 ．
题型03 求二次根式中的参数
【典例1】（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）
7．是一个正整数，则的最小正整数是 ．
【变式1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）
8．若为整数，则x的最小正整数值为 ．
【变式2】（2022秋·八年级单元测试）
9．是整数，则正数的最小值是
题型04 利用二次根式的性质化简
【典例1】（2023春·新疆塔城·八年级校考期末）
10． ； ．
【变式1】（2023春·江苏·八年级期末）
11．计算： ； ．
【变式2】（2023春·河南信阳·八年级校考阶段练习）
12．化简： ．
题型05 二次根式的乘法
【典例1】（2023春·山东东营·八年级统考期末）
13．计算的结果是 ．
【变式1】（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）
14．计算的结果是
【变式2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考期中）
15．计算 ．
题型06 二次根式的除法
【典例1】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）
16．计算： ．
【变式1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）
17．计算： ．
【变式2】（天津市河西区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）
18．计算的结果是 ．
题型07 二次根式的乘除混合运算
【典例1】（2023春·吉林·八年级统考期末）
19．计算：．
【变式1】（2023春·吉林·八年级统考期中）
20．计算：．
【变式2】（2023春·上海松江·七年级统考期末）
21．计算：
【变式3】（2023·全国·八年级假期作业）
22．计算：．
题型08 复合二次根式的化简
【典例1】（2022秋·八年级单元测试）
23．观察下面的运算，完成计算：

(1)
(2)．
【变式1】（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）
24．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察： ；反之，∴．
(1)直接写出答案：= ；= ．
(2)化简：．
(3)若，则a与的关系是什么？b与的关系又是什么？
【变式2】（2023春·全国·八年级期中）
25．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：；
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①______；
②______．
(2)若，且，，为正整数，求的值．
一、单选题
（2023秋·山西吕梁·九年级校考期末）
26．计算的结果为（ ）
A．1 B． C． D．5
（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）
27．若有意义，则可以取（ ）
A．0 B． C． D．
（2023春·山东济宁·八年级统考阶段练习）
28．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）
29．当时，二次根式的值为（ ）
A．2 B． C． D．
（2023·全国·八年级假期作业）
30．已知是正整数，则自然数的最小值为（　　）
A． B． C． D．
（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）
31．如图，，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
（2023春·福建厦门·八年级统考期末）
32．计算：（1） ；（2） ．
（2022秋·八年级单元测试）
33．计算： ．
（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）
34．当时，二次根式的值是 ．
（2023春·山东威海·八年级统考期末）
35．对于，的取值范围是 ．
（2022秋·八年级单元测试）
36．若是整数，则整数n的所有可能的值为 ．
（2023春·内蒙古乌兰察布·八年级统考期末）
37．若x，y满足条件：，化简代数式 ．
三、解答题
（2023春·上海·七年级统考期中）
38．计算：
（2023春·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）
39．计算：．
（2022春·八年级课时练习）
40．当x分别取下列值时，求二次根式的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．
(3)x＝﹣．
（2022秋·八年级单元测试）
41．计算：
(1)；
(2)．
（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）
42．（1）；
（2）；
（3）已知，求代数式的值．
（2020秋·广东深圳·八年级校考阶段练习）
43．已知在数轴上的对应点如图所示，化简：．

（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）
44．已知实数x、y满足．
(1)求x与y的值；
(2)符号表示一种新的运算，规定，求的值．
（2023春·浙江·八年级专题练习）
45．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)
试卷第6页，共7页
试卷第1页，共7页
参考答案：
1．x≥5
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x 5 0，解得x 5．
故答案为：x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a 0，同时也考查了解一元一次不等式．
2．##
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
3．##
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
4．
【分析】直接把的值代入进而得出答案．
【详解】解：当时，二次根式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
5．1
【分析】直接将代入进行计算即可．
【详解】解：当时，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单．
6．1
【分析】直接把代入中进行求解即可．
【详解】解：把代入中得：，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，求算术平方根，正确计算是解题的关键．
7．3
【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案．
【详解】解：由二次根式的定义可得，
解得：，
是一个正整数，
或4或9，
解得：或8或3，
的最小正整数是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键．
8．2
【分析】对被开方数进行分解，得，要使为整，则最小要保证被开方式能开尽，得出答案．
【详解】解：
的最小正整数值是2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，其中对被开方数的分解是解决本题的关键．
9．##0.05
【分析】根据是整数，n为正数，得出的最小值为1，得出的最小值为，即可求出答案．
【详解】解：∵是整数，n为正数，
∴的最小值为1，
∴的最小值为，
∴正数的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
10． 5 3
【分析】根据二次根式的性质即可解答．
【详解】解：，．
故答案为：5，3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答本题的关键．
11． 2 2
【分析】利用二次根式的乘法的法则及化简的法则进行求解即可．
【详解】解：；
．
故答案为：2，2．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12．##
【分析】根据二次根式的性质即可化简．
【详解】解：由得：
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质．掌握相关化简法则是解题关键．
13．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简即可求解．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题的关键．
14．##1.5
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练运用二次根式的乘法法则解题是本题的关键．
16．
【分析】根据二次根式的除法计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
17．##
【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的除法运算．分母有理化是解题的关键．
18．
【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的除法运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
19．
【分析】根据二次根式的乘除法法则即可得．
【详解】原式
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题关键．
20．
【分析】把除法化为乘法运算，再化简即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．
21．
【分析】根据二次根式的乘除混合运算计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
22．
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）被开方数，据此即可开方；
（2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）
则原式
【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键．
24．(1)；
(2)-
(3)a与的关系是： ，b与的关系是：．
【分析】（1）将3拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；将4拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
（2）将5拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可．
【详解】（1）解：
；
．
故答案为：；．
（2）
．
（3）
两边平方得：
∴a与的关系是： ，
b与的关系是：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
25．(1)①；②
(2)46或14
【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．
（2）变形已知等式，建立，，的方程组求解．
【详解】（1）解：①；
；
②
；
故答案为：①；②；
（2）解：
，
，
，，均为正整数．
或，
或．
或14．
【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
26．A
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
27．A
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
即可以取的值是0．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
28．B
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则进行计算，判断即可．
【详解】A、，所以本项错误；
B、，所以本项正确；
C、，故错误；
D、，所以此项错误.
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解题的关键．
29．A
【分析】将代入计算即可得．
【详解】解：当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．
30．C
【分析】根据二次根式的性质以及结果为整数可确定的值．
【详解】解：∵是正整数，是整数，
∴的最小值是．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
31．B
【分析】根据题意得出，进而化简求出即可．
【详解】解：由数轴可得：
，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出的符号是解题关键．
32．
【分析】（1）二次根式的性质解答即可；
（2）根据二次根式的除法法则解答即可．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考考查了二次根式的性质，二次根式的除法法则，掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
33．
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
34．
【分析】将已知条件代入所求的代数式，然后开平方求值．
【详解】解：根据题意，得
当时，．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，掌握定义是解题的关键．
35．
【分析】根据被开方数非负及分母不为零的条件得到关于x的不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分母不为零的条件，解不等式等知识，掌握二次根式非负、分母不为零是解题的关键．
36．1，4，9，36
【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值．
【详解】解：∵是整数，
∴，且是完全平方数，
∴①，即；
②，即；
③，即；
④，即；
综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36．
故答案是：1，4，9，36．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键．
37．5
【分析】根据二次根式有意义的条件求得，，得到，再对原式化简即可求解．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，则，
∴，
∴
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
38．
【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则．
39．
【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则．
40．(1)；
(2)3；
(3)2；
【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可；
（2）把x的值代入，计算求值即可；
（3）把x的值代入，计算求值即可．
【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得：
＝；
（2）解：把x＝2，代入二次根式得：
＝＝＝3；
（3）解：把x＝﹣，代入二次根式得：
＝＝2；
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题关键．
41．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除运算法则及二次根式性质计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键，注意需要把结果化为最简二次根式．
42．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（3）直接把代入中，利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类二次根式即可得到答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
（3）原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
43．
【分析】根据数轴上点的位置判断式子的符号，进而根据二次根式的性质以及绝对值的意义化简，最后合并同类项即可求解．
【详解】解：根据点在数轴上的位置可得，且，
∴，
∴
【点睛】本题考查了数轴上的点判断式子的符号，二次根式的性质，绝对值的意义，整式的加减，数形结合是解题的关键．
44．(1)，
(2)
【分析】（1）根据二次根式成立的条件，即可求得x、y的值；
（2）根据新的运算及x、y的值，进行运算，即可求解．
【详解】（1）解：实数x、y满足，
，
；
（2）解：根据新的运算，可得：
．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，利用二次根式的性质化简及运算，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．
45．(1)
(2)
【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【详解】（1）解：∵，
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
答案第16页，共17页
答案第17页，共17页

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