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第06讲 易错易混淆集训：实数(4类热点易错题型讲练)
目录
易错一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错
易错二 易混淆与的平方根
易错三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错
易错四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错
【易错一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】
例题：（2023春·广西梧州·七年级统考期末）
1．在，，，，，3.14，，0.1515515551…（两个1之间依次多1个5）中，无理数的个数是（ ）
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式训练】
（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）
2．在、、、、、、、、、中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2023春·河南信阳·七年级统考期末）
3．下列各数：，，，，，（每两个之间依次增加个），其中无理数的个数为（　　）
A． B． C． D．
（2023春·江西赣州·七年级校考期中）
4．把下列各数分别填入相应的集合中．
，，π，，，0，，．
（1）有理数集合：{ }；
（2）无理数集合：{ }；
（3）正实数集合：{ }．
（2023春·云南昭通·七年级校联考期中）
5．把下列各数填在相应的集合里：
．
有理数集合：{ ，…}；
无理数集合：{ ，…}；
正实数集合：{ ，…}；
负实数集合：{ ，…}．
【易错二 易混淆a与的平方根】
例题：（2023春·甘肃武威·七年级统考期中）
6．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
（2023春·广东东莞·七年级校考期中）
7．下列说法中正确的是（ ）
A．的算术平方根是 B．是的平方根
C．的平方根是 D．的算术平方根是
（2023春·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习）
8．的平方根是 ，的算术平方根是 ．
（2023春·四川泸州·七年级泸县五中校考期中）
9．的算术平方根是 ；的平方根是 ．
（2023春·广东惠州·七年级校考期中）
10．的算术平方根是 ；的算术平方根是 ．
【易错三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错】
例题：（2023·河南洛阳·统考模拟预测）
11．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【变式训练】
（2023·北京·九年级专题练习）
12．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）
13．二次根式中字母的取值范围是 ．
（2023春·安徽六安·八年级校考期中）
14．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【易错四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】
15．化简二次根式的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
16．化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C．－ D．
17．若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
19．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（ ）
A．4 B．2a C．2b D．
20．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数．
(1)填空：a=_______，b=_______，c=______；
(2)先化简，再求值：．
21．(1)通过计算下列各式的值探究问题：
①＝ ；＝ ；＝ ；＝ ．
探究：对于任意非负有理数a，＝ ．
②＝ ；＝ ；＝ ；＝ ．
探究：对于任意负有理数a，＝ ．
综上，对于任意有理数a，＝ ．
(2)应用(1)所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：－－＋|a＋b|.
试卷第4页，共4页
试卷第1页，共4页
参考答案：
1．A
【分析】根据无理数的定义进行判定即可．
【详解】解：在，，，，，3.14，，0.1515515551…（两个1之间依次多1个5）中，无理数有，，0.1515515551…（两个1之间依次多1个5）中，共3个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，正确理解定义是解题的关键．
2．D
【分析】先将能化简的数化简，再根据无理数的定义逐个进行判断即．
【详解】解：根据题意可得：，，
∴无理数有：，，，、，共5个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数．
3．C
【分析】根据无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数对每个数字逐一分析判断即可．
【详解】解：，，，，，（每两个之间依次增加个），
其中无理数有：，，（每两个之间依次增加个）共个，
故选：．
【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数是解答本题的关键．
4．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据有理数的定义即可得；
（2）根据无理数的定义即可得；
（3）根据正实数的定义即可得．
【详解】解：，，
（1）有理数集合：
（2）无理数集合：
（3）正实数集合：
故答案为：（1）；（2）；（3）．
【点睛】本题考查了有理数、无理数、正实数的定义，掌握实数的概念与分类是解题关键．
5．：；；；
【分析】直接利用有理数、无理数，正实数，负实数的定义得出答案．
【详解】有理数集合：；
无理数集合：；
正实数集合：；
负实数集合：．
【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握有理数、无理数，正实数，负实数的定义是解决本题的关键．
6．A
【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：A，81的平方根为， ，因此该选项正确；
B，16的算术平方根为4，，因此该选项错误；
C，，因此该选项错误；
D，被开方数应大于等于0，因此该选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根，注意两者的区别是解题的关键．
7．B
【分析】根据算术平方根和平方根的定义分别分析得出答案．
【详解】A、，4的算术平方根是2，故该选项错误．
B、12是144的平方根，故该选项正确．
C、，5的平方根是，故该选项错误．
D、的算术平方根是，故该选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．
8．
【分析】根据平方根的定义以及算术平方根的定义进行计算即可求解．
【详解】解：，的平方根是，的算术平方根是
故答案为：，．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根、算术平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
9． 3
【分析】先求出，再求9的算术平方根即可；求出，再求4的平方根即可．
【详解】解：，9的算术平方根为：，
，4的平方根为：，
故答案为：3，．
【点睛】本题考查算术平方根，平方根，掌握算术平方根和平方根的求法是解题的关键．
10． ## 3
【分析】根据算术平方根概念即可解决问题．
【详解】解：，
的算术平方根是；
，9的算术平方根是3，
的算术平方根是3．
答案：；3
【点睛】本题主要考查了算术平方根概念的运用．此类问题要先计算再求算术平方根．
11．D
【分析】根据被开方数是非负数，有意义的条件是，列出不等式求解即可．
【详解】∵函数有意义，
∴且，
解得且，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，零指数幂有意义的条件，熟练掌握有意义的条件时解题的关键．
12．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解即可得到答案．
【详解】解：在实数范围内有意义，
由题意得：，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
13．
【分析】根据二次根式有意义的条件可知即可．
【详解】解：∵要使二次根式有意义，
则
∴，
故答案为:．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
14．
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
解得，
即的取值范围是，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
15．D
【分析】先根据二次根式有意义的条件可得，再利用二次根式的性质化简即可得．
【详解】解：，
，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
16．C
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵，，
∴b<0，
∴=－，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式有意义的条件及化简方法是解题的关键．
17．B
【分析】根据二次根式的性质可得，再根据绝对值的性质进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握．
18．D
【分析】首先根据数轴上的点的位置判断出的正负，然后把原式利用二次根式及立方根性质化简，最后去括号合并同类项即可得到结果．
【详解】∵由数轴上点的位置得：
∴
∴原式
．
故选：D
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数与数轴，以及绝对值的概念及其各自的性质是解本题的关键．
19．A
【分析】由在数轴上的位置可得：再根据化简计算即可．
【详解】解：
故选A
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．
20．(1)-2，-3，
(2)，
【分析】(1)根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答；
(2)根据题意可得c> 0， a-b> 0，a-c< 0，然后先化简各式，再进行计算即可解答．
【详解】（1）由题意得：，，，
故答案是：-2，-3，；
（2）由数轴可得：c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，
原式=．
当，时
原式．
【点睛】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（1）①4，16，0，；a；②3，5，1，2；-a；|a| ；(2) －a－3b．
【分析】（1）①②根据要求填空即可；
（2）先根据数轴上点的位置确定：－2＜a＜－1，0＜b＜1，a－b＜0，a+b＜0，再根据（1）中的公式代入计算即可．
【详解】①=4；=16；=0；=．
探究：对于任意非负有理数a，=a．
②=3；=5；=1；=2．
探究：对于任意负有理数a，=－a．
综上，对于任意有理数a，=|a|．
(2)观察数轴可知：－2＜a＜－1，0＜b＜1，a－b＜0，a+b＜0．
原式=|a|－|b|－|a－b|＋|a＋b|
=－a－b＋a－b－a－b
=－a－3b．
【点睛】本题属于阅读理解问题，主要考查了算术平方根和平方的定义、数轴的知识，正确把握算术平方根定义是解题的关键．
答案第2页，共7页
答案第1页，共7页

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