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第07讲 解题技巧专题：二次根式中的化简求值(6类热点题型讲练)
目录
类型一 利用二次根式的非负性求值
类型二 利用乘法公式进行计算
类型三 整体代入求值
类型四 新定义型运算
类型五 二次根式的分母有理化
类型六 复合二次根式的化简
【类型一 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）
1．若直角三角形两直角边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．
【变式训练】
（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）
2．已知则的值是 ．
（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）
3．已知，则的算术平方根是 ．
（2023·全国·八年级假期作业）
4．如果实数、满足，则的平方根为 ．
（2023春·安徽池州·八年级统考期末）
5．已知直角三角形两边的长满足，则第三边的长 ．
（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）
6．已知实数a，b满足关系式．
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
（2023春·江西南昌·七年级校考期末）
7．已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状．
【类型二 利用乘法公式进行计算】
例题：（2023春·宁夏吴忠·八年级统考期末）
8．计算：．
【变式训练】
（2023春·青海果洛·八年级统考期末）
9．计算：．
（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）
10．计算：．
（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）
11．计算：
（2023春·黑龙江大庆·七年级统考期末）
12．计算：
(1)；
(2)．
（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）
13．计算：
(1)；
(2)．
【类型三 整体代入求值】
例题：（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）
14．已知，求 ．
【变式训练】
（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）
15．如果，，那么 ．
（2023春·江苏·八年级专题练习）
16．已知，那么的值等于 ．
（2023春·北京海淀·八年级校考期中）
17．已知，求代数式的值．
（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）
18．已知：，求的值．
（2023春·全国·八年级专题练习）
19．已知，求下列式子的值：
(1)；
(2)
【类型四 新定义型运算】
例题：（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）
20．对于任意的正数m，n，定义一种新的运算“*”：，则计算的结果为 ．
【变式训练】
（2023春·广西南宁·七年级校联考期中）
21．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么 ．
（2023秋·河北保定·七年级统考期末）
22．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11．
若，
（1）第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ；
（2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为 ．
（2023秋·山西长治·九年级统考期末）
23．对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值．
（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）
24．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
(1)已知：，求：
①________；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；
(3)计算：．
【类型五 二次根式的分母有理化】
例题：（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）
25．阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，
解：原式．运用以上方法解决问题：
(1)将分母有理化；
(2)观察上面的解题过程，请直接写出结果： ______．
(3)计算的值．
【变式训练】
（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）
26．像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简：；
(2)计算：；
(3)比较与的大小，并说明理由．
（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）
27．阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________．
(2)应用：化简．
(3)拓展：__________．含的式子表示，为正整数）
（2023春·江西赣州·八年级统考期末）
28．在数学兴趣小组活动中，小诚和他的同学遇到一道题：
已知，求的值他是这样解答的：
，
．
，．
．
．
请你根据小诚的解题过程，解决如下问题：
(1)______ ；
(2)化简；
(3)若，求的值．
（2023春·河北邢台·八年级校考期中）
29．【阅读材料】在二次根式中，如：，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：，．
【解决问题】
(1)化简的结果为______；
(2)已知，．
①化简______，______；
②求的值；
(3)计算：．
【类型六 复合二次根式的化简】
例题：（2023春·湖南郴州·八年级校考开学考试）
30．先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
【变式训练】
（2023春·河南信阳·八年级统考阶段练习）
31．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)
（2023春·全国·八年级期中）
32．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：；
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①______；
②______．
(2)若，且，，为正整数，求的值．
（2023春·江苏·八年级专题练习）
33．像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
试卷第8页，共8页
试卷第1页，共8页
参考答案：
1．
【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，再根据勾股定理求解．
【详解】解：，
，，
该直角三角形的斜边长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．
2．9
【分析】根据根式的非负性结合非负式子和为0，它们分别等于0，即可得到答案；
【详解】解： ∵，，，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：9．
【点睛】本题考查根式的非负性，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0，它们分别等于0．
3．4
【分析】由非负数的性质得出a和b的值，代入再求算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
则，
∴的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和算术平方根，正确求出a和b的值是解答本题的关键．
4．##3或##或3
【分析】根据算术平方根的非负性，求得的值，进而得出，代入代数式，然后再求平方根即可求解．
【详解】解：∵实数、满足，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的平方根，熟练掌握算术平方根的非负性，平方根的定义是解题的关键．
5．或或
【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性分别求出x、y，分三种情况讨论，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵x、y为直角三角形的两边长，满足，
∴，，
解得（负值不合题意，舍去），或，
当直角边长分别为2，2时，则第三边长为：；
当直角边长分别为2，3时，则第三边长为：；
当直角边长为2，斜边长为3，则第三边长为．
故答案为：或或．
【点睛】此题考查勾股定理、非负数的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
6．(1)，
(2)
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】（1）由题意，，
可得，，
解得，．
（2）的算术平方根是．
【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，注意：几个非负数的和为0时，则每个数都是0．
7．的周长为17，是等腰三角形．
【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程的解，即可得到或1，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∵a为方程的解，
∴或1，
当时，，
不能组成三角形，故不合题意；
∴，
∴的周长，
∵，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键．
8．
【分析】先计算平方差和完全平方差，再计算减法，化简即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，涉及到了平方差公式和完全平方差公式，解题关键是牢记公式．
9．
【分析】先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的加减运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
10．2
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，正确计算是解题的关键．
11．
【分析】原式根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．
12．(1)
(2)
【分析】（1）先化简各二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差和完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
【点睛】本题是对二次根式的混合运算的考查，熟练掌握二次根式的化简及运算法则是解决本题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）首先计算零指数幂、开平方，然后计算乘法，最后从左往右依次计算，即可得到答案；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．
【分析】将进行平方，再将整体代入求值即可．
【详解】解：
将代入得：
∴（负值舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是整体代入法求值．
15．
【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后将式子的值代入即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
16．
【分析】通过完全平方公式求出，把待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴ ，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示．
17．2
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可．
【详解】解：，
．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式．
18．
【分析】根据进行计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，正确根据完全平方公式得到是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件式得出，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；
（2）将，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键．
20．##
【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式运算，再进行二次根式的运算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的计算，理解新定义，将式子转化为二次根式的计算，并正确进行二次根式计算是解题关键．
21．3
【分析】根据定义的新运输，将，代入化简即可得出答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．
22． 1
【分析】（1）若，根据题意进行计算即可得；
（2）由（1）得，若，第一次“F运算”的结果为；第二次“F运算”的结果为，再算出第三次运算结果，第四次运算结果，第五次运算结果，第六次运算结果，根据所得规律进行计算即可得．
【详解】解：（1）若，第一次“F运算”的结果为：，
第二次“F运算”的结果为：，
故答案为：，；
（2）由（1）得，若，第一次“F运算”的结果为；第二次“F运算”的结果为，
第三次运算结果为：，
第四次运算结果为：，
第五次运算结果为：，
第六次运算结果为：，
∵
∴第2022次“F运算”的结果为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了数字类变化规律，解题的关键是理解题意，发现结果的变化规律．
23．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴根据题中的新定义得：
，
即：
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
24．(1)①2；②
(2)，10，2
(3)
【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（3）利用原题的过程，对原式进行变形后，即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵，
∴；
故答案为：2
② 由①得，已知，两式相加得到，
，
即，
则，解得，
经检验，满足题意，
即方程的解是；
（2）解：由二根式有意义的条件得到，
解得，
即的取值范围是，x的最大值是10，x的最小值是2；
故答案为：，10，2
（3）
【点睛】此题考查了二次根式的性质和混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)2022
【分析】（1）根据平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；
（2）根据平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；
（3）先分母有理化，最后合并即可．
【详解】（1）解：
=
=；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，解此题的关键是能正确进行分母有理化．
26．(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用有理化因式，化去分母中的根号即可；
（2）利用有理化因式，化去分母中的根号，再进行加减运算即可；
（3）利用有理化因式，化去分母中的根号，再进行比较即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：∵
∴，
【点睛】本题考查分母有理化，掌握二次根式的运算是解题的关键．
27．(1)①；②
(2)
(3)
【分析】（1）①分子分母都乘以可得答案；② 分子分母都乘以可得答案；
（2）把分母中的二次根号去掉，再合并同类二次根式即可；
（3）把分母中的二次根号去掉，再结合分配律，合并同类二次根式即可；
【详解】（1）解：①；
②；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的运算中的规律探究，熟练的分母有理化是解本题的关键．
28．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据小诚的解答过程计算即可．
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可的结果．
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
【详解】（1）；
（2）原式
；
（3），
，
，即．
．
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，分母有理化，平方差公式，解题的关键是根据已知进行解答．
29．(1)
(2)①；；②
(3)
【分析】（1）结合题意，利用分母有理化、平方差公式计算即可；
（2）①利用分母有理化化简即可
②利用提公因式法把原式变形，代入计算即可；
（3）根据（1）的结论计算即可．
【详解】（1），
故答案为：．
（2）①
；
②．
（3）原式．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键．
30．（1）④，；（2）；（3）
【分析】（1）第④步出现了错误，；
（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可；
（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键．
31．(1)
(2)
【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【详解】（1）解：∵，
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
32．(1)①；②
(2)46或14
【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．
（2）变形已知等式，建立，，的方程组求解．
【详解】（1）解：①；
；
②
；
故答案为：①；②；
（2）解：
，
，
，，均为正整数．
或，
或．
或14．
【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
33．(1)
(2)
(3)a的值为或
【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，，
又为正整数，
，或者，
当时，；
当，，
综上所述，a的值为或．
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
答案第18页，共19页
答案第19页，共19页

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