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第03讲 类比归纳专题：求平行直角坐标系中的图形面积(3类热点题型讲练)
目录
类型一 直接利用面积公式求图形的面积………………………………………………………….1
类型二 利用补形法或分割法图形的面积………………………………………………………….1
类型三 与图形面积相关的点的存在性问题……………………………………………………….1
【类型一 直接利用面积公式求图形的面积】
例题：（2023春·吉林松原·七年级统考期中）
1．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．

(1)求，的值；
(2)求的面积．
【变式训练】
（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）
2．在直角坐标系中，三角形的顶点，，．

(1)求三角形的面积．
(2)若P是x轴上一动点，若三角形的面积等于三角形面积的一半，求点P的坐标．
（2023春·河南商丘·七年级统考期末）
3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的边在轴上，且，顶点的坐标为，顶点的坐标为．

(1)画出所有符合条件的三角形，并写出点的坐标；
(2)求三角形的面积．
（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）
4．如图在平面直角坐标系中，已知，，，其中a、b满足．

(1)求a、b的值；
(2)求的面积；
(3)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等．
（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．

(1)求三角形的面积；
(2)设点是轴上一点，若，试求点坐标；
(3)若点在线段上，求用含的式子表示．
【类型二 利用补形法或分割法求图形的面积】
例题：（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）
6．如图，已知点，，，求三角形的面积．
【变式训练】
（2023春·湖北恩施·七年级校联考期中）
7．如图，有一块不规则的四边形地皮，各个顶点的坐标分别为，，，图上一个单位长度表示米，求这个四边形的面积．

（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）
8．如图，在平面直角坐标系中，每格代表个单位，三角形的三个顶点都在格点上．

(1)请写出，，的坐标．
(2)求出三角形的面积．
（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期中）
9．在如图所示的直角坐标系中，多边形的各顶点的坐标分别是，，确定这个多边形的面积，你是怎样做的

（2020秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）
10．在如图所示的平面直角坐标系中四边形．

(1)分别写出点A、B、C、D的坐标；
(2)求这个四边形的周长；
(3)求这个四边形的面积．
【类型三 与图形面积相关的点的存在性问题】
例题：（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）
11．如图1，在坐标系中，已知，，，连接交轴于点，，．
(1)请直接写出点，的坐标，______，______；
(2)如图2，、分别表示三角形、三角形的面积，点在轴上，使，点若存在，求点纵坐标、若不存在，说朋理由；
(3)如图3，若是轴上方一点，当三角形的面积为20时，求出的值．
【变式训练】
（2023春·广东湛江·七年级校考期中）
12．如图所示，，，点在轴上，且．
(1)求点的坐标；
(2)求三角形的面积；
(3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022秋·山西运城·八年级统考期中）
13．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足，点是第一象限内的点，，．
(1)分别求出点、、的坐标．
(2)如果在第二象限内有一点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
(3)在平面直角坐标系是否存在点，使与全等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第2页，共6页
试卷第1页，共6页
参考答案：
1．(1)，，
(2)
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得，的值；
（2）根据，的值可以确定点、的坐标，进而求得，的距离，即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
（2）解：∵，，
∴点，点，
又∵点，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是：根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值．
2．(1)
(2)或
【分析】（1）过点B作轴于点H，由得到，由及得到，利用三角形面积公式即可得到三角形的面积；
（2）设点P的坐标为，则，根据题意得到，解得或，即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：过点B作轴于点H，

∵，
∴，
∵三角形的顶点，．
∴，
∴三角形的面积，
即三角形的面积为；
（2）设点P的坐标为，
则，
∵三角形的面积等于三角形面积的一半，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【点睛】此题主要考查了图形与坐标、绝对值方程、三角形面积公式等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
3．(1)点或，图见解析；
(2)
【分析】（1）根据题意设点，再根据数轴上两点之间的距离公式即可解答；
（2）根据点的纵坐标为，即可解答．
【详解】（1）解：∵三角形的边在轴上
∴设点，
∵，顶点的坐标为，
∴，
∴，，
∴点或，
∵顶点的坐标为，
∴如图所示：

（2）解：∵顶点的坐标为，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴，
即的面积为．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，数轴上两点之间的距离公式，利用网格求三角形的面积，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．
4．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可；
（2）由（1）可知点A、B的坐标，从而可求出，再根据三角形的面积公式计算即可；
（3）设，则，根据三角形的面积公式可求出，结合题意可列出关于x的等式，解出x的值即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得：，；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：设，
∴，
∴．
∵的面积与的面积相等，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
当点P的坐标为时点B与点P重合，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，绝对值方程的应用等知识．掌握绝对值和平方的非负性，利用数形结合的思想是解题关键．
5．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可；
（2）根据三角形的面积公式和坐标特点得出方程解答即可；
（3）根据，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，，，
，，
；
（2）解：设点是轴上一点，坐标为，
，，
，
，
即，
解得：或，
或；
（3）解：如图，连接，
，
，，
，，
，
，，
，
点在第三象限，
，，
，
整理得：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
6．18
【分析】方法一：如图，作长方形，由可得答案；
方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F，由可得答案；
方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E，由可得答案．
【详解】解：方法一：如图，作长方形，
则
．
方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F．
∴，，，，，
∴
．
方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E．
∴，，，，，
∴
．
【点睛】本题考查的是网格三角形的面积，坐标与图形，熟练的构建与网格三角形面积相关的长方形与梯形是解本题的关键．
7．这个四边形的面积为
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，如图，先计算出相关线段的长，再根据求解即可
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
，，，，
，，，，，
，，
．
答：这个四边形的面积为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，正确得到相关线段的长度、掌握割补法求解的方法是关键．
8．(1)，，
(2)
【分析】（1）由图可得点，，的坐标；
（2）过各顶点作轴和轴的平行线，构成矩形，利用矩形面积减去周围三角形面积即可求的面积．
【详解】（1）解：由图可知：，，；
（2）如图：过各顶点作轴和轴的平行线，构成矩形，

由图可知，，，
，，，，，，
．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标点，利用网格求三角形面积，本题的关键是正确构造出矩形，求解三角形面积．
9．25，见解析
【分析】根据矩形、三角形和梯形面积公式以及进行计算．
【详解】解：如图所示，

多边形的面积
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，一些不规则图形可以转化为一些易求面积的图形的和或差来计算．
10．(1)，，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A、B、C、D在平面直角坐标系中的位置可直接得出答案；
（2）利用勾股定理求出、、的长，然后可得答案；
（3）将四边形分割成3个直角三角形和1个长方形进行计算即可．
【详解】（1）解：由平面直角坐标系可知：，，，；
（2）解：∵，，，，
∴四边形的周长；
（3）解：如图，点E、F、G均在格点上，
则四边形的面积
．

【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，割补法求面积，二次根式的运算，熟练掌握坐标与图形性质是解题的关键．
11．(1)，；
(2)存在，12或；
(3)或．
【分析】（1）根据立方根的性质，算术平方根的性质可得a，b的值，即可求解；
（2）设P点纵坐标为，然后分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，结合，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当在右侧时，当在左侧时，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，；
故答案为：，
（2）解：存在，
设P点纵坐标为．
当在上方时，，
，
，，
∴，解得：；
当在下方时，，
，
，
，，
∴，解得：．
综上：点纵坐标为12或．
（3）解：当在右侧时，，
过左轴于，连接，
∴
，
∵三角形的面积为20，
∴，
；
当在左侧时，，
过左轴于，连接，
，
∵三角形的面积为20，
∴，
；
综上所述，的值为12或．
【点睛】本题主要考查了立方根的性质，算术平方根的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
12．(1)或；
(2)；
(3)存在，或
【分析】（1）分点在点的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可．
【详解】（1）如图，
当点在点的右边时，，
当点在点的左边时，，
所以的坐标为或；
（2）的面积，
答：的面积为；
（3）设点到轴的距离为，
则，
解得，
当点在轴正半轴时，，
当点在轴负半轴时，，
综上所述，点的坐标为或
【点睛】本题考查了点的坐标的确定，三角形的面积公式，分类讨论，坐标轴上两点间的距离公式等有关知识；能求出符合条件的点的坐标是解此题的关键．
13．(1)，，
(2)
(3)，或
【分析】（1）根据可得，，从而得到，，
再根据，构造全等三角形，即可得到点C的坐标；
（2）根据三个顶点坐标可求，则，又因为，即可求点P 的坐标；
（3）根据三角形全等画出符合题意的图形，确定点E，由（1）求点C的坐标的方法可求出点坐标，点与点关于点A对称，点C与点关于点B对称，即可得到点E的三个坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴，，
∴，，
∴，
过点作轴于点，则
∵，
∴，
在中，，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵点在第一象限内，
∴．
（2）存在．过点作轴于点，则
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
（3），或
理由：如图所示，
当，且点在第一象限时，
由（1）同理得
当，且点在第二象限时，
点与点关于点A对称
∴
当，且点在第二象限时，
点C与点关于点B对称
∴
综上所述，，或
故答案为：，或
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角坐标系中求三角形的面积以及点之间的对称问题，解题的关键是熟悉掌握运用全等三角形的性质与判定．
答案第14页，共16页
答案第13页，共16页

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