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专题05用配方法求解一元二次方程（3个知识点7种题型2个易错点4种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：用直接配平方法求解一元二次方程（重点）
知识点2：用配方法求解一元二次方程（重点）
知识点3：利用一元二次方程求解简单的实际问题（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：用直接开平方法解一元二次方程
题型2：用配方法解一元二次方程
题型3：用配方法求字母的值
题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值
题型5：直接开平方法在实际生活中的应用
题型6：用配方法判断三角形的形状
题型7：利用配方法解决有关新定义问题
【方法三】 差异对比法
易错点1混淆方程配方与代数式配方
易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误
【方法四】 仿真实战法
考法1：解一元二次方程-直接开平方法
考法2：解一元二次方程-配方法
考法3：换元法解一元二次方程
考法4：配方法的应用
【方法五】 成果评定法
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：用直接配平方法求解一元二次方程（重点）
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
【例1】（2022秋 江都区校级期末）
1．方程的解是（　　）
A． B． C．， D．，
知识点2：用配方法求解一元二次方程（重点）
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方．
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
【例2】
2．用配方法解一元二次方程．
【例3】
3．如何用配方法解方程
知识点3：利用一元二次方程求解简单的实际问题（难点）
一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型，有些通过列一元二次方程来解决的实际问题都可以利用配方法或直接开平方法来解决．
注意：一定要检验所得的根是否符合实际意义
【例4】（2023 定远县校级三模）
4．阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下．∵，由，得；∴代数式的最小值是4．
(1)①仿照上述方法求代数式的最小值为 ．
②代数式的最大值为 ．
(2)延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为．当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
【方法二】实例探索法
题型1：用直接开平方法解一元二次方程
5．解方程．
6．解关于的方程：．
7．解关于的方程：．
8．解方程：．
9．解方程：
10．解关于的方程： ．
11．解关于的方程：．
题型2：用配方法解一元二次方程
12．用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3=0．
13．用配方法解方程：．
14．用配方法解方程：．
15．用配方法解方程：．
16．用配方法解方程：．
17．用配方法解方程：．
18．用配方法解关于x的方程：．
题型3：用配方法求字母的值
19．若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则 ．
20．已知，求的值．
题型4：用配方法求代数式的最大（最小）值
（2023春 苏州月考）
21．先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若，求和的值．
解：
.
.
且
，
问题：
(1)若，求和的值．
(2)求代数式的最小值．
（2022秋 淮安区校级期末）
22．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求和的值．
解：因为，
所以．
所以．
所以，．
所以，．
问题：
(1)若，求的值；
(2)已知，，是等腰的三边长，且，满足，求的周长．
（2023 桐乡市一模）
23．设x，y都是实数，请探究下列问题，
(1)尝试：①当，时，，，．
②当，时，，，．
③当，时，，，．
④当，时，，，________2xy．
(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：求代数式的最小值．
题型5：直接开平方法在实际生活中的应用
（2022秋 高州市期末）
24．我们知道：
；
，
这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）探究：当取不同的实数时，求代数式的最小值．
（2）应用：如图．已知线段，是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以、为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
（2022秋 洛阳期末）
25．【阅读材料】
若，求，的值．
解：，
∴，
∴．
(1)【解决问题】已知，求的值；
(2)【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
（2022秋 广水市期末）
26．【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
解：
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
【问题解决】
利用配方法解决下列问题：
(1)当___________时，代数式有最小值，最小值为 ___________．
(2)当x取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？
【拓展提高】
(3)当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
(4)如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为，试比较与的大小，并说明理由．
题型6：用配方法判断三角形的形状
27．已知的一边长为4，另外两边长是关于x的方程的两根，当k为何值时，是等腰三角形？
（2023春 庄浪县期中）
28．若三角形的三边a，b，c满足，判断此三角形的形状，并求此三角形面积．
题型7：利用配方法解决有关新定义问题
（2022秋 通川区期末）
29．【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式；
(2)解决问题：若可配方成（m，n为常数），求mn的值；
(3)解决问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出k的值，并说明理由．
（2023春 江都区月考）
30．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)【解决问题】
数11 　　“完美数”（填“是”或“不是”）；数53 　　“完美数”（填“是”或“不是”）；
(2)【探究问题】
已知，则　　；
(3)【拓展提升】
已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．
31．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
(1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________；
(2)若可配方成（m、n为常数），则________；
探究问题：
(3)已知，则____________；
(4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
(5)已知实数x、y满足，求的最值．
【方法三】差异对比法
易错点1混淆方程配方与代数式配方
32．若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则 ．
易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误
33．如何用配方法解方程
【方法四】 仿真实战法
考法1．解一元二次方程-直接开平方法
（2020 扬州）
34．方程的根是 ．
考法2：解一元二次方程-配方法
（2019 南通）
35．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
考法3：换元法解一元二次方程
（2002 南京）
36．用换元法解方程：，如果设，那么原方程变为 ．
考法4：配方法的应用
（2018 泰州）
37．已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 ．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
（2023·江苏·九年级假期作业）
38．下列配方有错误的是（　　）
A．，化为
B．，化为
C．，化为
D．，化为
（2023秋·山西长治·九年级统考期末）
39．用配方法解一元二次方程时，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·九年级假期作业）
40．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·山西太原·九年级校考阶段练习）
41．在解方程时，对方程进行配方，图1是小思做的，图2是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是（ ）
A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确 D．两人都不正确
（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）
42．用配方法解方程时、配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·天津津南·九年级统考期末）
43．一元二次方程的解为（　　）
A． B．
C． D．
（2021秋·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期末）
44．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（　　）
A．2013 B．2014 C．2015 D．2016
（2023·安徽·九年级专题练习）
45．关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二、填空题
（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）
46．方程的根是 ．
（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）
47．将配方成形式，则 ．
（2023·全国·九年级假期作业）
48．把方程用配方法化为的形式，则的值是 ．
（2023·全国·九年级假期作业）
49．已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为 ．
（2022秋·广东清远·九年级统考期中）
50．已知方程，则此方程的解为 ．
（2020秋·广东广州·九年级广州六中校考阶段练习）
51．若，则代数式的值为 ．
（2022秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）
52．一元二次方程的根是 ．
（2023·全国·九年级专题练习）
53．若（为实数），则的最小值为 ．
三、解答题
（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）
54．解方程：
（2022秋·天津津南·九年级校考期中）
55．选取最恰当的方法解方程：
(1)
(2)
（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）
56．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：二次项系数化为1，得，第一步
移项，得，第二步
配方，得，第三步
变形，得，第四步
开方，得，第五步
解得，，第六步
(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）
57．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程．
解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得．，．
我们称小明这种解法为“平均数法”
(1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．，∴．直接开平方并整理，得．，．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______．
(2)请用“平均数法”解方程：．
（2023·全国·九年级假期作业）
58．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：，
解：原式
②，利用配方法求的最小值，
解：
∵，
∴当时，有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______．
(2)用配方法因式分解：．
(3)若，求的最小值．
(4)已知，则的值为______．
（2022秋·江苏·九年级专题练习）
59．数学课上,老师展示了这样一段内容．
问题 求式子的最小值．
解:原式:
∵,
∴,
即原式的最小值是2．
小丽和小明想,二次多项式都能用类似的方法求出最值（最小值或最大值）吗？
（1）小丽写出了一些二次三项式:
①; ②; ③;
④; ⑤; ⑥．
经探索可知,有最值的是__________（只填序号）,任选其中一个求出其最值;
（2）小明写出了如下 3 个二次多项式:
①;
②;
③．
请选择其中一个,探索它是否有最值,并说明理由．
说明:①②③的满分分值分别为 3 分 4 分 5 分;若选多个作答,则以较低分计分．
60．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣x＋1＝0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．
（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）
61．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
无论取何实数，总有．
，即的最小值是．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
（1）已知，求证是正数．
知识迁移：
（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
（2023·江苏·九年级假期作业）
62．阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或
③选取一次项和常数项配方：
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，求的值
(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页
参考答案：
1．C
【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可．
【详解】解：直接开平方得：，
∴方程的解为：，，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
2．，
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解：，
移常数项得：
两边配上一次项系数一半的平方得：，
即，
所以或 ，
解得：或，
所以原方程的根是，．
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．
3．，．
【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可．
【详解】解：
整理得，
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．(1)①；②11
(2)当分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大为．
【分析】（1）①仿照题意进行求解即可；②仿照题意进行求解即可；
（2）设，则，利用矩形面积公式得到，然后仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∴代数式的最小值为，
故答案为：；
②∵，，
∴
∴，
∴代数式的最大值为11，
故答案为：11；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴当时，S最大，最大值为450，
∴当分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大为．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意掌握配方法是解题的关键．
5．或
【分析】把x-3看作一个整体，直接开平方即可求得答案．
【详解】把x-3看作一个整体，直接开平方，得：
x-3=7或x-3=-7．
由x-3=7，得 x=10．
由x-3=-7，得 x=-4．
所以原方程的根为x=10或x=-4．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，把（x-3）看作一个整体是解题的关键．
6．，
【分析】利用直接开方法求解即可．
【详解】解：整理方程，即得，
直接开平方法解方程，得：
∴方程两根为，．
【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，理解并熟练运用直接开方法是解题关键．
7．，
【分析】整理方程，得，进而根据直接开平方法解一元二次方程JK
【详解】整理方程，得，
直接开平方法解方程，得：，
即方程两根为，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
8．x1=4，x2=1．
【分析】方程两边都除以，再方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【详解】解：（1）方程两边都除以，得：（2x-5）2=9，
开方，得2x-5=±3，
即2x-5=3或2x-5=-3，
解得：x1=4，x2=1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的解法是解本题的关键．
9．，
【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可．
【详解】解：∵
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
10．，
【分析】变形后利用直接开方法解方程即可．
【详解】整理得：，
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，解题关键是熟记直接开平方法的解方程的步骤，准确进行计算即可．
11．，．
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用直接开平方法解一元二次方程．
12．x1=，x2=．
【详解】试题分析：根据配方法的步骤先把常数项移到右边，一次项移到左边，再把二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，然后进行整理即可．
试题解析：
2x2﹣3x﹣3=0．
2x2﹣3x=3,
x2-=,
,
,
,
x1=，x2=.
13．，
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解：，
∴，即，
∴，
所以原方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．
14．，
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴原方程的解为，．
【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．
15．，
【分析】由，得，即，再利用直接开平方的方法解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
∴原方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，掌握配方法的步骤是解本题的关键．
16．，
【分析】先将二次系数化为“1”，然后将常数项移到等号的右边，再在等号的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可把方程左边化成含未知数的完全平方式，最后两边开平方求解．
【详解】由，得，即，
配方，得：，即，解得：，
所以原方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方是解题的关键．
17．
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：由，得：，
∴，
∴，
∴原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方，掌握配方法的步骤是解题的关键．
18．
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解： ，
∴，即，
解得：，
∴原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．
19．5
【分析】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m和k的值．
【详解】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
20．
【分析】采用配方法求出的值，代入计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，
，
∴，，
∴，
将代入得：
．
【点睛】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）把原式利用完全平方公式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性计算即可．
（2）把原式利用完全平方公式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性计算即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，，
解得，；
（2）
，
∵,
则代数式的最小值为，
【点睛】本题主要考查的是配方法，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
22．(1)
(2)13或14
【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；
（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出，的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．
【详解】（1），
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵是等腰三角形，
∴或4，
分两种情况：
当时，的周长为，
当时，的周长为，
所以的周长为13或14
【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
23．(1)
(2)，理由见解析；
(3)代数式的最小值为8．
【分析】（1）求得，，得到；
（2）结合完全平方的非负性即可解答；
（3）利用归纳的结论即可求解．
【详解】（1）解：当，时，，，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴代数式的最小值为8．
【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．
24．（1）当时，代数式存在最小值为-4；（2）时，长方形的面积存在最大值，最大值为9
【分析】（1）仿照题干，配方后利用非负数的性质确定出结果即可；
（2）设长方形的面积为，根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果．
【详解】解：（1）∵，
∴当时，代数式存在最小值为-4；
（2）设长方形的面积为，
根据题意得：，
则时，存在最大值，最大值为9．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
25．(1)1
(2)
【分析】（1）将拆分成和，再根据完全平方公式配方解答；
（2）先根据阅读材料求出，的值，再根据三角形的三边关系解答．
【详解】（1），
将拆分成和，可得
，
根据完全平方公式得：
，
∴，，
∴，
（2）∵，
根据完全平方公式得：
，
，
∴，，
∴，，
∵是中最长的边，
∴，
即的取值范围．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
26．(1)1， ；
(2)时，4；
(3)，，16；
(4)，见解析．
【分析】（1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可；
（2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可；
（3）将配方成，即可解答；
（4）求出，利用，得到，即．
【详解】（1）解：
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
故答案为：1；
（2）解：，
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是4．
（3）解：
因为，，所以，
因此，当，时，即，时，代数式有最小值，最小值是16．
（4）解：，，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查配方法，解题的关键是理解题意，掌握配方法的原则．
27．
【分析】先求出方程两根，再分类讨论即可．
【详解】解：由，得，
∴，．
显然，否则(不合题意)
∴这两边长不能作为等腰三角形的腰长，
∴4是等腰的腰长，两解中还有一个腰长
∴或，
当即时，，，满足三角形三边关系，
当时，，，不满足三角形三边关系．
∴当时，是等腰三角形
【点睛】本题考查解一元二次方程，等腰三角形的定义，解题的关键是先得到方程两解不相等，再得到4是腰长，再分类讨论．
28．直角三角形，面积为6
【分析】将式子进行化简，配方成完全平方的形式，求得，，，根据勾股定理的逆定理进行判断为直角三角形，再利用面积公式计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，即，
∴此三角形为直角三角形，
∴面积为．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，完全平方公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
29．(1)
(2)2
(3)，见解析
【分析】（1）根据题意将分成两个数的平方和即可得到答案；
（2）根据完全平方公式平方得到m，n的值即可得到答案；
（3）将含x和y的式子配方根据完美数定义令余下部分为0即可得到答案；
【详解】（1）解：，
∴；
（2）解：∵
，
又∵，
∴，，
∴；
（3）解：当时，S是完美数，
理由如下：
，
，
∵x，y是整数，
∴，也是整数，
∵S是一个“完美数”，
∴，
∴．
【点睛】本题考查利用完全公式计算及新定义计算，解题的关键是读懂新运算及熟练掌握．
30．(1)不是，是
(2)1
(3)当时，S为“完美数”，理由见解析
【分析】（1）判断11和53能否表示成（a、b是整数）的形式即可；
（2）将已知等式变形为，根据平方的非负性求出x和y，代入求值；
（3）将S变形为，根据完全平方式的特点求解．
【详解】（1）解：数11不能表示成（a、b是整数）的形式，不是“完美数”；
，数53是“完美数”．
故答案为：不是，是；
（2）解：已知等式变形得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
则．
故答案为：1；
（3）解：当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵S是完美数，
∴是完全平方式，
∴．
【点睛】本题考查配方法的应用，新定义运算，完全平方式等，解题的关键是正确理解新定义，掌握完全平方式的结构特点．
31．(1)
(2)
(3)
(4)时，S为“完美数”，理由见解析
(5)6
【分析】（1）把10分为两个整数的平方即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值；
（3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值；
（4）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；
（5）由已知等式表示出y，再代入中，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）解：∵
∴10是“完美数”
故答案为．
（2）解：∵
∴
∴
故答案为．
（3）解：
∴
∴．
故答案为．
（4）解：当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵
∴．
（5）解：∵，
∴，即，
∴
．
当时，最大，最大值为6．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用、二次函数求最值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
32．5
【分析】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m和k的值．
【详解】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
33．，．
【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可．
【详解】解：
整理得，
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
34．
【分析】两边开方，然后解关于的一元一次方程．
【详解】解：由原方程，得．
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
35．C
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
【详解】解：方程，
整理得：，
配方得：，即，
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
36．
【分析】换元法也可以理解为整体代换.
【详解】若x2–x=y，则（x2–x）2=y2，则原式=.
【点睛】理解换元法的实质含义是解题的关键.
37．3
【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．
【详解】解：依题意得：，
解得
∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故a﹣3=0，
解得a=3．
故答案是：3．
点睛：考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
38．D
【分析】根据配方法的一般步骤对各选项进行判断．
【详解】解：A、由可化为，所以A选项的计算正确，不合题意；
B、由可化为，所以B选项的计算正确，不合题意；
C、先化为，则可化为，所以C选项的计算正确，不合题意；
D、先化为，则可化为，所以D选项的计算错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
39．C
【分析】在方程两边加上16，然后把方程左边配成完全平方形式即可．
【详解】解：，
配方得，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，关键是掌握配方的方法：当二次项系数为1时，两边加上一次项系数一半的平方．
40．B
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到、的值，最后计算它们的和即可．
【详解】解：，
，
，
，，
故选：．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
41．A
【分析】根据配方法把含未知数的项写成完全平方式，形如的形式即可．
【详解】解：根据配方法可知两人的做法都正确，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法，掌握配方法的步骤，能正确的将一元二次方程配成的形式是解答的关键．
42．B
【分析】先把方程化为一般式，再把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半得平方进行配方即可．
【详解】解：，
整理得，
移项得：，
配方得：，即，
故选B．
【点睛】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的步骤．
43．A
【分析】用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题主要是考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握平方根的定义和用直接开平方法解一元二次方程的方法和步骤．
44．D
【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：与为同族二次方程．
，
，
∴，
解得：．
∴
当时，取最小值为2016．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．
45．A
【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解：∵与就是“同族二次方程”，
∴，
即，
∴
解得
∴
＝
＝，
则代数式能取的最大值是2020．
故选：A．
【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
46．
【分析】利用直接开平方法解二元一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键．
47．
【分析】先将常数项移到方程的右边，然后两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用配方法解方程，掌握配方法是解题的关键．
48．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
．
，．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
49．##
【分析】先利用直接开平方法解方程得到，，然后把它们代入中计算即可．
【详解】解：，
，
解得．，
方程的两根为、，且，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
50．，
【分析】根据直接开平方法可进行求解．
【详解】解：
，
∴，；
故答案为，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
51．
【分析】移项整理后，直接开平方即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．
52．
【分析】用配方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．
53．
【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．
【详解】解：
=
=
=
∵为实数，
∴
∴的最小值为,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值．
54．
【分析】由于方程两边都是完全平方式，这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】解∶原方程左右开方变形为，
即或，
解得
【点睛】此题主要考查了直接开平方法，解决本题的关键是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．
55．(1)，；
(2)，
【分析】（1）直接开平方把原方程化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得解；
（2）原方程先配方然后再开平方，最后化为一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：开方得：或，
解得：，；
（2）解：原方程两边除以3得：
，
∴，即，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法及直接开平方的解方程方法是解题关键．
56．(1)转化思想，完全平方公式
(2)三，解答过程见详解
【分析】（1）根据解答过程判断依据即可；
（2）根据配方法判断即可．
【详解】（1）解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；
（2）解题过程，从第三步开始出现错误，正确的解答过程如下：
解：
，
，
，
，
，
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键．
57．(1)7，2，，．
(2)，．
【分析】（1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
（2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
∴上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为7，2，，．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
58．(1)
(2)
(3)
(4)4
【分析】（1）根据题意，由完全平方公式，可以知道横线上是，
（2）按照题干上的示例可以将分为，再利用完全平方公式即可求解，
（3）根据题意的方法，先将因式分解为完全平方的形式即，即可求出最小值，
（4）根据题意先将因式分解，变成完全平方的形式即，然后得出，，的值，代入即可求出结果．
【详解】（1）解： ，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵，
∴当时，有最小值为；
（4）解：，
，
，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于（4）中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握．
59．（1）①②③⑥;（2）①无最值,见解析;②最小值为1,见解析;③最小值为,见解析
【分析】（1）可以选择①,运用上面类似的方法——配方法,可得到: ,再根据平方具有非负性可得到最小值,其它的也用类似的方法解答即可;
（2）①进行探究,配方后得到,无法确定最值,②进行研究,配方后得到即可,③进行研究,配方后得到即可,选择一个作答即可．
【详解】（1）①②③⑥
① 最小值为0
② ,
∵ ,
∴,即原式最小值5;
③ ,
∵ ,∴ ,
∴,即原式有最大值为4;
④,无法确定最值;
⑤,无法确定最值;
⑥ ,
∵ ,∴,
∴,即原式有最大值为;
（2）① 无最值
②
∵,
∴,
即原式有最小值为1
③
,
∵,,,
∴,
即原式有最小值为．
【点睛】本题主要考查了类比的方法,解题的关键是需要学生认真审题,总结出配方的方法,然后再用类比的方法进行解答即可．
60．(1)①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析
(2)或
(3)时，的最大值为9
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况；
（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．
【详解】（1）解：①解方程得：，
或，
，
不是“差1方程”；
②，
∴，
，
是“差1方程”；
（2）解：方程得：，
或，
方程是常数）是“差1方程”，
或，
或；
（3）解：由题可得：
∴解方程得，
关于的方程、是常数，是“差1方程”，
，
，
，
，
，
时，的最大值为9．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，本题属于中等题型．
61．（1）见解析;（2）当时，有最大值
【分析】（1）根据题意对进行配方，即可求出最值；
（2）先求，再根据题意进行配方即可求得最值．
【详解】（1）证明：
．
．
．
．
是正数．
（2）解：由题意得：，，．
．
．
．
又∵
当时，有最大值．
【点睛】本题考查利用配方法求最值，正确进行配方是求解本题的关键．
62．(1)见解析
(2)
(3)当，时，取得最小值，最小值为
【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式；
（2）首先根据配方法把变形为，再根据偶次方的非负性，得出，，解出、的值，然后将、的值代入代数式，计算即可得出结果；
（3）首先根据配方法把代数式变形为，再根据偶次方的非负性，得出，进而得出当，时，取得最小值，再进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，
；
第二种形式：选取二次项和常数项配方，
；
或
；
第三种形式：选取一次项和常数项配方，
；
（2）解：，
配方，得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
∴；
（3）解：
，
∵，
∴，
当，时，取得最小值，
即当，时，取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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