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专题06用公式法解一元二次方程（3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：求根公式
知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）
知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：不解方程判断方程根的情况
题型2：用公式法解一元二次方程
题型3：解系数中有字母的一元二次方程
题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围
题型5：利用一元二次方程根的情况讨论分式有无意义的问题
题型6：新定义与一元二次方程综合
题型7：一元二次方程与一次函数的综合
题型8：用公式法解关于一元二次方程的实际应用
题型9：利用根的判别式判断三角形的形状
【方法三】 差异对比法
易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件
易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题
【方法四】 仿真实战法
考法1：用公式法解一元二次方程
考法2：根据根的判别式判断方程根的情况
考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围
【方法五】 成果评定法
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：求根公式
一元二次方程（），当时，有两个实数根：，这就是一元二次方程（）的求根公式．
知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）
用公式法解一元二次方程一般步骤
①把一元二次方程化成一般形式（）；
②确定a、b、c的值；
③求出的值（或代数式）；
④若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．
知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）
1.根的判别式
1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．
2.一元二次方程，
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根．
2.根的判别式的应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
【方法二】实例探索法
题型1：不解方程判断方程根的情况
1．不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．当取何值时，关于的方程，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
题型2：用公式法解一元二次方程
3．用公式法解下列方程：
(1)；
(2)．
4．用公式法解下列方程：
(1)；
(2)．
5．用公式法解下列方程：
(1)；
(2)．
6．用公式法解下列方程：
(1)；
(2)．
7．用公式法解下列方程：
(1)；
(2)．
题型3：解系数中有字母的一元二次方程
8．用配方法解下列关于x的方程：．
9．用公式法解下列关于x的方程：
(1)；
(2)．
题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围
（2023 罗山县三模）
10．若关于x的方程无实数根，则c的值可以是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）
12．一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．
13．已知关于的方程总有实数根，求的取值范围．
题型5：利用一元二次方程根的情况讨论分式有无意义的问题
（2023·安徽合肥·校联考三模）
14．若分式不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型6：新定义与一元二次方程综合
（2023 遂宁）
15．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
(1)求的值；
(2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．
（2022秋·四川遂宁·九年级校考期中）
16．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ___________；判断241 ___________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②， 若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值．
（2023秋·重庆北碚·九年级重庆市兼善中学校考期末）
17．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．例如：，因为，所以是“快乐数”．
(1)请通过计算判断是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；
(2)已知一个“快乐数”（、、，、、为自然数），且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，求满足条件的所有的值．
题型7：一元二次方程与一次函数的综合
（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）
18．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图像可能是（　　）
A． B． C． D．
（2023春·山东济南·八年级统考期末）
19．关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型8：用公式法解关于一元二次方程的实际应用
20．某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？
题型9：利用根的判别式判断三角形的形状
（2022 天津模拟）
21．已知关于的一元二次方程，其中，，为的三边．
(1)若是方程的根，判断的形状，并说明理由；
(2)若方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由．
（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）
22．已知：关于x的一元二次方程
(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB【方法三】差异对比法
易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件
（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）
23．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题
（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）
24．解关于的方程：．
（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）
25．已知关于的方程
(1)当取什么值时，方程只有一个根？
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【方法四】 仿真实战法
考法：用公式法解一元二次方程
（2021 无锡）
26．解方程：．
（2020 无锡）
27．解方程：
考法2：根据根的判别式判断方程根的情况
（2023 河南）
28．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
（2023 滨州）
29．一元二次方程根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定
（2023 广元）
30．关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
（2023 内江）
31．对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
（2023 广安）
32．已知，，为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
（2023 泸州）
33．关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关
考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围
（2023 北京）
34．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．9
（2023 兰州）
35．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
（2023 聊城）
36．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
（2023 眉山）
37．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023 辽宁）
38．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
（2023 宁夏）
39．方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
（2023 泰安）
40．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【方法五】成功评定法
一、单选题
41．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（ ）
A．5，6，8 B．5，， C．5，，8 D．5，6，
（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）
42．关于的一元二次方程有实数根，则实数满足（ ）
A．且 B． C．且 D．
43．一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
（2023·安徽六安·统考二模）
44．关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）
45．对于实数a，b，定义新运算：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．4 B． C． D．
（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）
46．从，0，1，2，3中任取一个数作为a的值，既要使关于x的方程有实数根，又要满足，则a符合条件的概率为（ ）
A． B． C． D．1
（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）
47．对于实数a，b定义运算“*”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）
48．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
二、填空题
（2022秋·山西临汾·九年级校考阶段练习）
49．若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
（2023·全国·九年级专题练习）
50．已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是 ．
（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）
51．对于实数u、v定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值为 ．
（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）
52．一元二次方程的根的情况是 ．
（2022春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）
53．已知无论取何值，分式总有意义，则的取值范围是 ．
（2023·辽宁·统考中考真题）
54．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
（2020秋·广东广州·九年级校考期中）
55．已知分别为（）的三边的长，则关于的一元二次方程根的情况是 ．
（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）
56．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）
57．已知实数x、y满足，则 ．
三、解答题
（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）
58．已知关于x的一元二次方程：．
(1)当时，解方程；
(2)若的一个解是，求k．
（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）
59．解方程：
（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）
60．解方程：．
（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）
61．已知关于的方程只有一个实数根，求实数的值．
（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）
62．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰的底边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．
（2023·广东广州·统考二模）
63．已知正方形中，，E是边上的动点，连接和．
(1)尺规作图：在图中分别作线段和的中点F和G，连接FG；（不写作法，不说明理由，写明结论并保留作图痕迹）
(2)当时，求（1）中所作的线段的长度．
（2022秋·上海·八年级期末）
64．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，点D是边AB的中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，ME=y．
(1)当点E与点C重合时，求ME的长；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长．
（2023春·全国·八年级期中）
65．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（2，0），点C是y轴上的动点，当点C在y轴上移动时，始终保持是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到O点时，得到等边三角形（此时点P与点B重合）．
(1)点B的坐标为　　，直线的表达式为　　．
(2)点C在y轴上移动过程中，当等边三角形的顶点P在第二象限时，连接求证：；
(3)当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点P在移动过程中有怎样的规律？请将这个规律用函数关系式表达出来；
(4)点C在y轴上移动过程中，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）
66．如图1．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于、两点．将直线竖直向上平移2个单位后与交于点，与轴交于．
(1)求点C的坐标；
(2)连接，在直线上是否存在点E，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，已知，，过B作轴且；若点G沿方向以每秒2个单位长度运动，同时，点沿方向以每秒1个单位长度运动经过t秒的运动，到达处，到达处，连接、．问：能否平分？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
试卷第2页，共12页
试卷第1页，共12页
参考答案：
1．(1)方程有两不等实根
(2)方程无实数根
(3)方程有两相等实根
(4)方程有两不等实根
【分析】先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况．
【详解】（1）解：，，，
，
方程有两不等实根；
（2）解：，，，
，
方程无实数根；
（3）解：，，，
，
方程有两相等实根；
（4）解：，，，
，
方程有两不等实根．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，，方程有两不相等的实数根，方程有两相等的实数根，，方程无实数根．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得到：，进行求解即可；
（2）根据方程有两个不相等的实数根得到：，进行求解即可；
（3）根据方程有两个不相等的实数根得到：，进行求解即可；
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
由题意，得：，
∴；
（2）由题意，得：，
∴；
（3）由题意，得：，
∴．
【点睛】本题考查根的判别式．掌握一元二次方程根的判别式的符号与根的个数的关系是解题的关键．
3．(1)，
(2)，
【分析】根据进行求解即可．
【详解】（1），
解：，
∴，
∴，
∴，；
（2），
解：，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程求根公式．
4．(1)，
(2)，
【分析】（1）运用公式法求解即可；
（2）运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，
，
，；
（2）解：，，，
，
，
，．
【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
5．(1)
(2)
【分析】利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
方程可化为：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
整理得，即，
∴，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法是解题的关键．
6．(1)
(2)
【分析】（1）先将方程化为一般形式，再代入公式法即可求解；
（2）先将方程化为一般形式，再代入公式法即可求解．
【详解】（1）解：方程可化为，
∴，
∴，
∴ ，
∴
（2）解：两边同时乘以10，方程最终可化为，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查利用公式法求解一元二次方程．注意公式法的使用前提为：方程为的一般形式．
7．(1)，
(2)，
【分析】运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，
，
原方程的解为：，；
（2）解：，，，
，
，
原方程的解为：，．
【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
8．当时，，，当时，方程无实数根
【详解】解：，
∴，
整理得：，
配方可得：，
当，即时，，，
当，即时，方程无实数根．
【点睛】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方，另此题系数中含有字母，要注意分类讨论．
9．(1)当时，，；当时，原方程无实数根
(2)，
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）∵，∴当时，，；
当时，原方程无实数根；
（2）原方程可化为：，
∵，
∴原方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．
10．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可得到答案．
【详解】解：将方程化为一般形式为．
∵方程无实数根，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
11．
【分析】根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
12．且
【分析】由题意知，且，解得，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，且，解得，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
13．的取值范围为．
【分析】分两种情况讨论，当方程为一元一次方程；当时，根据一元二次方程根的判别式，即可解出m的取值范围．
【详解】解：（1）当，即时，方程为一元一次方程，方程有实根；
（2）当，即时，方程为一元二次方程，
其中，，，方程有实根，则必有：
，
可解得且；
综上所述，的取值范围为．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，对于形如的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算．
14．B
【分析】根据不论x取任何数分式总有意义，可得，则方程无解，根据根的判别式即可求解．
【详解】解：∵不论x取任何数分式总有意义，
∴，
∴方程无解，
∴，解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握分式分母不能为0，以及根据一元二次方程根的情况求判别式．
15．(1)10；
(2)且．
【分析】（1）根据新定义计算即可求解；
（2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
整理得，
∵关于x的方程有两个实数根，
∴，且，
解得且．
【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
16．(1)，不是
(2)
(3)121，242，363，484
【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵是喜鹊数，
∴，即；
∵，，，
∴241不是喜鹊数；
故答案为：；不是；
（2）∵是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，
∴，，
将两边同除以得：，
∴将m、看成是方程的两个根，
∵，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，即；
故答案为：；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484；
故答案为：121，242，363，484．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义．
17．(1)不是“快乐数”；最大的“快乐数”为
(2)
【分析】（1）根据“快乐数”的定义解答即可；
（2）根据“快乐数”可得出，根据一元二次方程根的情况可得，再结合及、、，、、为自然数可得出、、的值，最后结合“快乐数”的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴不是“快乐数”，
∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最大为，
又∵，
∴最大的“快乐数”为．
（2）∵为“快乐数”，
∴，
∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∴，
解得：，，，
∴，
综上所述，满足条件的所有的值为．
∴满足条件的所有的值为．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，不等式组应用．解题的关键是理解“快乐数”的定义．
18．B
【分析】利用判别式的意义得到，则，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
当，时，一次函数经过第一、三、四象限；
当，时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次函数根的判别式，一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握，则方程有两根不相等的实数根；，则方程有两根相等的实数根；，则方程有没有实数根．
19．D
【分析】根据一元二次方程的解得到，根据，得到，再根据一次函数图象经过的象限，得到，，继而利用不等式的性质推出，即可得解．
【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是，
，
，
而，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查图象与一次函数系数之间的关系，一元二次方程的解，会根据一次函数图象经过的范围判断系数的符号是解题的关键．
20．元
【分析】根据等量关系式：单件利润销售量总利润，列方程求解即可．
【详解】解：设这种衬衫每件涨价元，由题意可得
，
整理可得：，
解得：，，
当时，可卖件数：，
当时，可卖件数：，
要减少库存量，
售价应定为每件（元）．
答：售价应定为每件元．
【点睛】本题考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，找出等量关系式，进行正确求解是解题的关键．
21．(1)等腰三角形，理由见解析
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据方程的解把x=1代入方程得到c﹣b=0，即c=b，于是由等腰三角形的判定即可得到ABC是等腰三角形；
（2）根据根的判别式得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．
【详解】（1）解：把x=1代入方程得，
，
化简得，
则该三角形的形状为等腰三角形．
（2）解：由题意可得方程有两个相等的实数根
则的判别式：
化简可得
则该三角形的形状为直角三角形．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
22．(1)m=0或m=1
(2)m=0或m=1
【分析】（1）把x=2代入方程得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的方程即可；
（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到，，则AC=m+2，AB=m+1．因为△ABC是直角三角形，所以当BC或AC为斜边时根据勾股定理分别解关于m的一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵x=2是方程的一个根，
∴，
∴m=0或m=1；
（2）解：∵△=，
∴x=
∴，，
∴AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，
∴AC=m+2>0，AB=m+1>0．
∴m>-1．
∵BC=，△ABC是直角三角形，
∴当BC为斜边时，有，
解这个方程，得(不符合题意，舍去)，；
当AC为斜边时，有，
解这个方程，得．
综上所述，当m=0或m=1时，△ABC是直角三角形．
【点睛】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟练运用勾股定理进行分类讨论．
23．(1)且
(2)，
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，且，求出的取值范围即可；
（2）得到的最小整数，利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
即，且，
解得：且；
（2）满足条件的最小正整数是，
此时方程为，
解得：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答本题的关键．
24．或或或
【分析】先求出“”的值，再代入公式求出即可．
【详解】解：，
分为两种情况：①当方程是一元二次方程时，，
，
∴
∴，；
②当方程是一元一次方程时，且，
解得，
当时，方程为，
解得；
当时，方程为，
解得．
所以，方程的解为：，，或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，掌握公式法解一元二次方程是解此题的关键．
25．(1)
(2)且
【分析】（1）先根据方程只有一个根可知此方程是一元一次方程，故可得出的值；
（2）根据方程有两个相等的实数根可知，由此即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：当时，得：，
此时，
则方程为一元一次方程，它的根是，此时方程只有一个根，
∴当时，方程只有一个根；
（2）∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
∴的取值范围是且．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程的定义及根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
26．，．
【分析】先整理为一般式，再根据公式法解一元二次方程的步骤依次计算即可．
【详解】解：整理为一般式，得：，
∵，
∴，
则，
∴，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
27．
【分析】利用公式法求解即可．
【详解】解：=1，=1，=-1，
△=1-4×1×（-1）=5＞0，
方程有两个不相等的实数根，，
即；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记一元二次方程求根公式，准确进行计算．
28．A
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
29．A
【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程中，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．
30．C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解：，
其中，，，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
31．A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
32．B
【分析】由点在第四象限，可得，，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，，
方程的判别式，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，一元二次方程根的判别式，熟记第四象限内点的坐标特点为：以及根的判别式的含义是解本题的关键．
33．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
34．C
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
35．A
【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
∴
∴，
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
36．D
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
37．D
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
38．
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根．
39．
【分析】根据方程有两个相等的实数根，进行求解即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查根的判别式，熟练掌握，方程有两个相等的实数根，是解题的关键．
40．##
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
41．D
【分析】把方程化为一般式后即可得到a、b、c的值．
【详解】解：方程化为一般式得，
所以．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法：把叫做一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
42．A
【分析】根据一元二次方程的定义可知，再根据一元二次方程有实数根可知进而即可解答．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∴，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
∴，
∴,
∴实数的取值范围是且，
故选．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
43．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式的正负即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的值的关系．
44．C
【分析】根据一元二次方程无实数根得且，即可得，又∵，可得一次函数的图象经过一、二、四象限，即可得．
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
∴且，
，
，
，
又∵，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，
∴一次函数的图象不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
45．D
【分析】根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
整理得，
而关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
46．A
【分析】由方程有实数根知，求出解集，再解，得到解集，得到符合此条件的a的值为0，由此求出概率．
【详解】解：由关于x的方程有实数根知，，
解得，
由，得：，
则，
中符合此条件的a的值为0，
符合条件的概率为，
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元一次不等式，概率的计算公式，熟练掌握各知识点是解题的关键．
47．A
【分析】根据定义的运算可得关于x的一元二次方程，再用判别式法进行判别即可．
【详解】解：∵，
∴，
整理得：，
∵
，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义的运算，一元二次方程根的判别式，理解新定义是关键．
48．C
【分析】由关于的一元二次方程有实数根，知且，解之即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
故选：C．
【点睛】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．
49．9
【分析】由题意知，，解得，然后代入求值即可．
【详解】解：由题意知，，解得，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
50．
【分析】分当时，原方程有实数根和当时，原方程有实数根，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：当，即时，原方程为，解得，符合题意；
当，即，则，
解得；
综上所述，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解，对学生的思维缜密性有一定要求，体现了分类讨论的数学思想．
51．0
【分析】由于定义一种运算定“*”为：，所以关于x的方程变为，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可解决问题．
【详解】解：由，得，
即，
∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到不等式组解决问题．
52．无实数根
【分析】根据根的判别式，可知一元二次方程无实数根．
【详解】∵一元二次方程
∴
∴方程无实数根．
故答案为：无实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．
53．m＜﹣4
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：∵总有意义，
∴，
∴，
∴△=16+4m＜0，
解得，m＜﹣4
故答案为：m＜﹣4．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件和一元二次方程的判别式，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
54．
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根．
55．有两个相等的实数根
【分析】先根据勾股定理得到，再计算出，即可得到答案．
【详解】解：分别为（）的三边的长，
，
，
，
方程有两个相等的实数根，
故答案为：有两个相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
56．且
【分析】根据一元二次方程的定义可得，结合根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，则，
∵该方程有实数根，
∴，
解得：，
综上：m的取值范围是且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根据判别式，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
57．##或##或
【分析】解方程求出，分别代入根据分式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：解方程，得
，
当时，
；
当时，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，分式的化简求值，正确掌握一元二次方程的解法及分式的运算法则，二次根式的混合运算法则是解题的关键．
58．(1)，
(2)
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）将代入即可求出k的值．
【详解】（1）解：将代入得：，
∴，，，
∴，
∴，
解得：，；
（2）将代入得：，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键．
59．，
【分析】明确方程中未知数的二次项、一次项系数及常数项，运用求根公式求解．
【详解】解：，
∴，
∴方程的解为，．
【点睛】本题考查一元二次方程的求解，注意根据方程具体情况选用适当的方法求解是解题的关键．
60．，
【分析】先将原方程化为一般式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：将原方程化为一般式，得
∵，
∴
∴ =
即，
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
61．或或
【分析】先将分式方程化简为，再根据分式方程有一个实数根及一元二次方程的判别式解答即可．
【详解】解：，
去分母得：，
即，
①∵关于x的方程只有一个实数根，
∴，
解得：，
当时，经检验，方程的解是，
②当，即时，解方程得：，
∵，
∴，，它是原方程的解，
∴只需或时，为增根，此时原方程只有一个实数根，
∴当时，即，
得：；
当时，方程 的解是0和 1，
当时，即，
得：，
当时，方程的解是和，
综上，当或或时原方程只有一个实数根．
【点睛】本题考查了分式方程的解与一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解题的关键．
62．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：无论取何值，这个方程总有实数根；
（2）根据等腰三角形的性质可得，则该方程有两个相等实数根，求出m的值，再根据三角形的三边关系及三角形的周长公式即可求出的周长．
【详解】（1）证明：，
无论取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：∵等腰的底边长，
∴，
∵、恰好是这个方程的两个根，
∴该方程的根有两个相等实数根，
∴
解得：，
原方程为，
解得：．
、2、1能组成三角形，
该三角形的周长为．
【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
63．(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别作出和的线段垂直平分线，对应线段与对应的线段垂直平分线的交点即为所求；
（2）设，则，，利用勾股定理建立方程求出的长，再由三角形中位线定理求出的长即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵分别为的中点，
∴为的中位线，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
64．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）连接MD，结合题意，根据含角直角三角形、直角三角形斜边中线、垂直平分线的性质分析，结合勾股定理性质计算，即可得到答案；
（2）连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F，根据垂直平分线、勾股定理的性质，得，结合（1）的结论，通过列一元二次方程并求解，得函数的定义域，即可得到答案；
（3）分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况，结合（2）的结论，根据垂直平分线、勾股定理、二次根式、三角形中位线的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）连接MD，
∵AB=，BC=，
∴BC=AB，
∵∠C=90，
∴∠A=30
∵点D是AB的中点，
∴CD=AD，
∴∠ACD=30，∠ADC=120，
∵MN垂直平分CD，
∴CM=DM，
∴∠MDC=30，
∴
∴
设，则
∴
∴
∴或（舍去）
∴；
（2）连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F，
∵MN垂直平分ED，
∴ME=MD=y，
∵∠A=30
∴MF=，
∴
∴FD，
在Rt△MDF中，
∴
∴
根据（1）的结论，当点E与点C重合时，
∴
∴或
∵
∴不符合题意
∴
∴
∴y关于x的函数解析式是；
（3）分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况分析，
当MN经过AC中点时，即
∴，即
当MN经过AB中点时，和MN分别交边AC、BC于点M、N的结论矛盾
∴MN经过AB中点不成立
当MN经过BC中点时，如图，分别连接EN、DN
∴
∵
∴，
∵MN线段DE的垂直平分线
∴
∵AM=x，ME=y
∴
∵∠C=90°
∴
∴
∴
∴
∴
∴，即
∴或．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂直平分线、三角形中位线、含角直角三角形、直角三角形斜边中线、二次根式、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、含角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．
65．(1)；
(2)证明见解析
(3)
(4)或或或
【分析】（1）①过点B作轴于D，根据等边三角形的性质得出坐标即可；②根据待定系数法即可求出直线的解析式．
（2）根据证明即可．
（3）根据第二问推出三角形为直角三角形，发现，设，利用勾股定理和坐标轴中点到点之间距离公式列方程，即可求出的运动规律，即求出函数关系式．
（4）根据为等腰三角形分三种情况讨论：①②③，利用在坐标轴中点到点的距离公式根据三种情况，列方程，即可求出点坐标．
【详解】（1）解：，
，
过点B作轴于D，
为等边三角形，，
，，
，
即.
设直线的解析式为：，
将，代入，
则：
解得：
.
故答案为：； ．
（2）证明：和为等边三角形，
，，，
.
在和中，
.
（3）解：，
，
设
在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
（4）解：，，，
，，.
①时，
，
解得：或（舍去），
直线解析式为：
故此时；
②时，
，
解得：，
直线解析式为：
故此时；
③时，
，
解得：或
直线解析式为：
故此时或；
综上所述，点P的坐标为或 或 或．
故答案为：或 或 或．
【点睛】此题考查三角形的综合题，综合性较强，涉及到的知识点有一次函数解析式、一元二次方程．解题的关键在于是否能分情况讨论求出点坐标．
66．(1)
(2)存在，，
(3)能，的值为3
【分析】（1）根据题意利用待定系数法先求出直线的解析式，由平移2个单位长度得到直线的函数解析式，再与直线的解析式联立，求解即可；
（2）先求出的面积，设点，用含有的的代数式表示的面积，根据列方程求解即可；
（3）利用角平分线和平行线的性质得到，再分别利用线段的和差关系以及勾股定理用含有的代数式表示，最后列方程求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为：
把、代入得：
解得：
∴直线：
∵直线由竖直向上平移2个单位得到，
∴直线：
联立得：
解得：
∴点的坐标为
（2）解：设直线与轴交于点，
当时，
解得：
∴
∴
∵点在直线，
设点
①当点在延长线上时，
则
∵
解得：
∴点
②当点在延长线上时，
则
∵
解得：
∴点
∴存在，点E的坐标为和
（3）过点作
∵轴
∵平分
∴
∴，
∴
，
∴
解得：（舍去）
∴能，．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，熟练掌握直线的交点坐标的求法以及利用角平分线的性质以及平行线的性质得到等腰三角形并列方程求解是解决本题的关键．
答案第42页，共42页
答案第41页，共42页

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