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专题07用因式分解法求解一元二次方程（2个知识点5种题型1个易错点2种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：用因式分解法求解一元二次方程（重点）
知识点2：选择适当的方法解一元二次方程（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：解含字母参数的一元二次方程
题型2：用换元法解一元二次方程
题型3：一题多解法——解一元二次方程
题型4：用因式分解法解一元二次方程的应用
题型5：阅读理解题
【方法三】 差异对比法
易错点：用因式分解法解方程时，出现丢根现象
【方法四】 仿真实战法
考法1：用因式分解法解一元二次方程
考法2：因式分解法的应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1.会用因式分解法（提公因式、公式法）解某些数字系数的一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：用因式分解法求解一元二次方程（重点）
（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
（1）利用提公因式法
【例1】
1．方程：的较小的根是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
2．解关于的方程（因式分解方法）：
(1)；
(2)．
（2）利用平方差公式
【例2】
3．用因式分解法解方程：．
【变式】
4．解关于的一元二次方程：．
（3）利用完全平方公式
【例3】
5．解下列一元二次方程：；
（4）十字相乘法因式分解
【例4】
6．用合适的方法解下列关于的方程：
(1)；
(2)；
知识点2：选择适当的方法解一元二次方程（难点）
（2022 贵阳）
【例5】
7．在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①； ②； ③； ④．
【变式1】
8．解关于的方程（合适的方法 ）：
(1)；
(2)．
【变式2】
9．解关于的方程（合适的方法）：
(1)；
(2)．
【方法二】实例探索法
题型1：解含字母参数的一元二次方程
10．解关于的方程：
(1)；
(2)
(3)．
题型2：用换元法解一元二次方程
（2023春·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习）
11．“换元”是将代数式化繁为简的一种方法，试用这种方法解方程，它的解是
（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）
12．解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为： .
（2022秋·四川眉山·九年级校考阶段练习）
13．若实数x、y满足，则 ．
（2023·浙江宁波·校考一模）
14．已知，求的值为 ．
（2023·全国·九年级专题练习）
15．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
题型3：一题多解法——解一元二次方程
（2022秋 昆都仑区期末）
16．解方程：．（用两种方法解方程）
题型4：用因式分解法解一元二次方程的应用
（2023·四川成都·统考二模）
17．一个三角形的两边长分别为和，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ．
（2023·山东济南·统考一模）
18．菱形的两条对角线长分别为方程的两个根，则该菱形的周长为 ．
题型5：阅读理解题
（2023·青海·统考一模）
19．提出问题
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，．
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程．
延伸拓展
（2）已知实数m，n满足，求的值．
（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）
20．我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为，该方程的衍生点M为 ．
(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
（2022秋·湖南郴州·九年级统考期中）
21．阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设，那么，于是原方程可变为（1），解得，，当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)试用上述方法解方程：，得原方程的解为 ___________．
(2)解方程．
【方法三】差异对比法
易错点：用因式分解法解方程时，出现丢根现象
22．解关于的方程：
【方法四】 仿真实战法
考法1：用因式分解法解一元二次方程
（2022 临沂）
23．方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2022 天津）
24．方程的两个根为（　　）
A． B．
C． D．
（2023 齐齐哈尔）
25．解方程：．
（2022 凉山州）
26．解方程： x2﹣2x﹣3＝0．
（2021 西宁）
27．解方程：．
考法2：因式分解法的应用
（2021 雅安）
28．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
（2021 西藏）
29．已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
（2021 丹东）
30．若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2021 潍坊）
31．若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（ ）
A． B．4 C． D．5
（2021 广安）
32．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为 ．
（2021 黔西南州）
33．三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 .
【方法五】成功评定法
一、单选题
（2023·贵州遵义·统考三模）
34．一元二次方程的两个根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
（2023·山东临沂·统考二模）
35．方程的解为，，若方程，它的解是（ ）．
A． B． C． D．
（2023·河南商丘·校考三模）
36．如图，平面直角坐标系中，，，点M为的中点，将绕点M顺时针旋转得到，当点O的对应点C第一次落在上时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东临沂·统考二模）
37．方程的两个根为()
A． B． C． D．
（2023·贵州遵义·统考二模）
38．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A．5 B．5或 C．或 D．5或
（2023秋·重庆开州·九年级统考期末）
39．若整数，使成立，则满足条件的，的值有（ ）
A．4对 B．6对 C．8对 D．无数对
（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）
40．若菱形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．20 B．24 C．20或24 D．48
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
41．方程的解是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
（2023秋·山西长治·九年级统考期末）
42．一元二次方程的一个解是，则该方程的另一个解是 ．
（2023·全国·九年级假期作业）
43．当 时，函数是正比例函数．
（2023·全国·九年级假期作业）
44．某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ．
（2023·全国·九年级专题练习）
45．已知方程的根为，则的值为 ．
（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）
46．一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长为 ．
（2023·四川凉山·统考一模）
47．已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为
（2023·广东佛山·校联考三模）
48．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？ ．（填“可能”或“不可能”）
（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）
49．如果关于的方程的解是，，那么关于的方程的解是 ．
（2023·安徽·九年级专题练习）
50．代数基本定理告诉我们对于形如（其中，，…，为整数）这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是的约数．例如方程的整数根只可能为，代入检验得时等式成立．故含有因式，所以原方程可转化为：，进而可求得方程的所有解．请你仿照上述解法，解方程：得到的解为 ．
三、解答题
（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）
51．解方程：
(1)．
(2)．
（2023·全国·九年级专题练习）
52．解方程：
（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）
53．适当的方法解方程：
(1)
(2)
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
54．解下列方程：
(1)；
(2)．
（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）
55．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值；
解：设，则原方程可变形为．即
∴得，
∴或
已知，求的值．
（2023秋·河北邢台·九年级校考期末）
56．阅读材料，解答问题：
为解方程，我们将视为一个整体，
解：设，则，
原方程可化为，
解得，，
当时，，
当时，，
∴原方程的解为或．
(1)上面的解题方法，利用（ ）法达到了降幂的目的．
(2)依据此方法解方程：．
（2023秋·九年级单元测试）
57．阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
（2023·全国·九年级专题练习）
58．阅读下面的材料：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．
它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，．
仿照上述换元法解下列方程．
(1)；
(2)．
（2023·全国·九年级专题练习）
59．解方程．
试卷第2页，共12页
试卷第1页，共12页
参考答案：
1．D
【分析】利用因式分解法求出两个根，再从中找出较小的根即可．
【详解】解：提公因式，得：，
整理得：，
∴，
∵，
∴较小的根是，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是通过提取公因式将等号左边的式子进行因式分解．
2．(1)
(2)
【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可；
（2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可．
【详解】（1）解：
①②
∴．
（2）解：
①②
∴．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键．
3．，
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
4．
【分析】先对方程进行因式分解，再提公因式后即可简便计算出答案．
【详解】解：移项，得：，
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．
5．
【分析】使用完全平方公式对方程进行变形，再求得结果．
【详解】解：
∴．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，其中准确使用完全平方公式进行变形是解题的关键．
6．(1)
(2)
【分析】（1）用十字相乘法 求解即可；
（2）用十字相乘法 求解即可；
【详解】（1）∵，
∴，
∴
解得：；
（2）∵
∴，
∴
解得：；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
7．①，；②，；③，；④，．
【分析】根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．
【详解】解：①；
移项得，
配方得，即，
则，
∴，；
②；
因式分解得，
则或，
解得，；
③；
配方得，
即，
则，
∴，；
④．
因式分解得，
则或，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法：配方法、公式法和因式分解法是解决本题的关键．
8．(1)
(2)
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用直接开方法求解即可.
【详解】（1）∵
∴
∴
∴
（2）∵
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（2）把看作一个整体，因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）
∴或
∴；
（2）
∴或
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
10．(1)，
(2)当时，，；当时，；当，原方程有无数解；
(3)当时，，；当时，；当时，．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）分、、三种情况讨论，据此求解即可；
（3）分时，原方程是一元二次方程，利用因式分解法求解；当和时，解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，；
（2）解：①当即时，原方程是一元二次方程，
，
，
∴，；
②当且时，即时，原方程是一元一次方程；
③当，等式恒成立，原方程有无数解；
综上：当时，，；当时，；当，原方程有无数解；
（3）解：整理得：，
①当即时，原方程是一元二次方程，
∴，
∴，；
②当时，原方程为：，解得：；
③当时，原方程为：，解得：；
综上：当时，，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查了含参数一元二次方程的解法，掌握因式分解法是解题的关键，注意含参数的一元二次方程求解时一定要分类讨论，当它是一元二次方程时，一般利用因式分解法，．
11．，，
【分析】设，则原方程变为，再利用因式分解法解此方程，即可求解．
【详解】解：设，则原方程变为，
解得，，
或，
解得，，，
故答案为：，，．
【点睛】本题主要考查了利用换元法及因式分解法解方程，根据方程的特点设出合适的新元是解题的关键．
12．
【分析】根据换元法，设，代入原方程即可求解．
【详解】解：设，则原方程可化为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，整体代入是解题的关键．
13．1
【分析】设，解关于t的一元二次方程，根据结果取舍即可．
【详解】解：∵，设，则，
∴，
∴或，
解得：（舍）或，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法，利用整体思想求解．
14．3
【分析】把看作一个整体，设，利用换元法得到新方程，求解即可．
【详解】解：设，
据题意，得，
解得，
∵，
∴不符合题意舍去，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是将看作一个整体，熟练应用换元法．
15．x1＝，x2＝.
【分析】本题先进行分组相乘得: [(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48,整理可得:
(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48,然后利用换元法,设y= x2－5x+5,可得: (y－1)(y＋1)＝48,解得
y1＝7，y2＝－7,然后得x2－5x+5=7或x2－5x+5=－7,最后求方程即可.
【详解】原方程即[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
当x2－5x＋5＝7时，解得x1＝，x2＝；
当x2－5x＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．
∴原方程的根为x1＝，x2＝.
16．
【分析】方法一：用分解因式法求解；方法二：用配方法求解；
【详解】解：方法一：
或
解得：
方法二：
解得：
故答案是：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的常用解法是解题的关键．
17．20
【分析】因式分解法解方程求出的值，再根据三角形三边之间的关系求出符合条件的的值，最后求出周长即可．
【详解】解：，即，
或，
解得：或，
当时，三角形的三边，构不成三角形，舍去；
当时，这个三角形的周长为，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
18．10
【分析】解方程，可得菱形的对角线长，根据菱形的性质，可通过菱形的对角线求得菱形的边长，进而求出周长．
【详解】解：解方程，解得，，
菱形的对角线互相垂直且边长相等，
根据勾股定理可得，边长为，
菱形的周长为．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，熟知菱形性质是解题的关键．
19．（1），；（2）
【分析】（1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解；
（2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解．
【详解】解：解决问题：（1）设，
∴原方程变形为，解得，，，
当时，，故舍去；
当时，，解得，，；
综上所示，原方程的解为，．
延伸拓展：（2）
∴，
∴原式变形为，
∴，设，
∴，则，解得，，即，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关键．
20．(1)（1，2）
(2)或
(3)存在，，
【分析】（1）解方程后，根据定义即可求M点坐标；
（2）求出方程的解为x = 1或x = 5m，再分情况讨论：当5m≥1时，此时M (1，5m)；当0≤5m≤1时，此时M (5m，1)，当5m < 0时，M (5m，1)；再由题意分别求出m的值即可；
（3）由直线经过定点(2，6)，则方程+bx +c = 0的衍生点M为(2，6)，即可求出b= 4，c=12．
【详解】（1）∵的解为x=1或2，
∴，
∴M (1，2)，
该方程的衍生点M的坐标(1，2)，
故答案为：（1，2）；
（2）∵的解为x=1或x=5m，
当时，，此时M (1，5m)，
由题意可得1 = 5m，
解得m =，
当时，，此时M (5m，1)，
∴5m=1，
∴m=；
当5m < 0时，M (5m，1)，此时，
解得m =；
综上，m的值为或；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵，
∴直线经过定点，
∴方程 + bx + c = 0的衍生点M为，
∴将和代入可得,
解得，．
【点睛】本题属于一元二次方程与一次函数综合题，考查一元二次方程的解法，一次函数的图象及性质，点M为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）结合材料，利用，再换元，求出m的值，再代入求出x即可；
（2）结合材料，利用，再换元，求出n的值，再代入求出x即可．
【详解】（1）解：设，则原方程变为，
解得，，
当时，，解得，
当，，方程无解，
故原方程的解为，，
故答案为：，．
（2）解：设，则原方程变为，
解得，，
当时，，解得，
当时，，即，
，
则方程无解，
故原方程的解为．
【点睛】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
22．时,，；时,；时，原方程有无数解
【分析】当二次项系数不为0时，关于x的方程是一元二次方程；当二次项系数为0且一次项系数不为0时， 关于x的方程是一元一次方程；当二次项系数与一次项系数都为0时，此时方程变为恒等式．就这三种情况分别讨论即可．
【详解】解：①当即时，原方程是一元二次方程


∴，；
②当且时，即时，原方程是一元一次方程；
③当，等式恒成立，原方程有无数解；
综上：当时，，；
当时， ；
当，原方程有无数解；
【点睛】本题考查了含参数一元二次方程的解法，一定要分类讨论！解题的关键是对二次项、一次项系数进行分别讨论．
23．B
【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案．
【详解】解：，
或
解得：
故选B
【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．
24．D
【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
或，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
25．，
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
【详解】解：
∴或
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
26．x1＝﹣1，x2＝3
【分析】用因式分解法解方程即可．
【详解】解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
x+1=0或x﹣3＝0，
x1＝﹣1，x2＝3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
27．，
【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
28．D
【分析】根据题意，先将方程的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．
【详解】解方程得，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为；
则该直角三角形的面积是6或，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．
29．C
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可．
【详解】解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为×4×6＝12．
故选：C．
【点睛】此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般．
30．C
【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．
【详解】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，
∴,
∴一次函数表达式为，
有图像可知，一次函数不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．
31．A
【分析】先求出方程的解，即可得出AC＝4，BD＝2，根据菱形的性质求出AO和OD，根据勾股定理求出AD即可．
【详解】解：解方程x2 6x＋8＝0得：x＝4或2，
即AC＝4，BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，
由勾股定理得：AD＝＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，能求出方程的解是解此题的关键．
32．12
【分析】先求方程x2-6x+8=0的根，再由三角形的三边关系确定出三角形的第三边的取值范围，即可确定第三边的长，利用三角形的周长公式可求得这个三角形的周长．
【详解】∵三角形的两边长分别为3和5，∴5-3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8，
又∵第三边长是方程x2-6x+8=0的根，∴解之得根为2和4，2不在范围内，舍掉，
∴第三边长为4．即勾三股四弦五，三角形是直角三角形．
∴三角形的周长：3+4+5=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．属于基础题型，应重点掌握．
33．12
【分析】解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可．
【详解】∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5
当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形；
当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形；
故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键．
34．D
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
或，
，，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键．
35．D
【分析】利用换元法解一元二次方程即可得．
【详解】解：令，
则方程可变形为，
∵方程的解为，，
∴方程的解为，
即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．
36．A
【分析】由坐标中点得到，由旋转的性质可知，，利用待定系数法求得直线的解析式为，设点C的坐标为，根据坐标间的距离公式列方程求出的值，即可得到点C的坐标．
【详解】解：，点M为的中点，
，
，
由旋转的性质可知，，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
设点C的坐标为，
，
，
解得：或（舍），
，
点C的坐标为，
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标间距离公式等知识，利用坐标的距离公式正确列方程是解题关键．
37．C
【分析】根据解一元二次方程因式分解法，进行求解即可解答．
【详解】解：
，
或，
即，，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
38．B
【分析】根据题意进行分类讨论，当时，可得，求出x的值即可；当时，可得求出x的值即可．
【详解】解：当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），，
综上：x的值是5或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
39．C
【分析】先化简可得，设，则；然后求得a的值，最后列举出符合题意的，的整数值即可解答．
【详解】解：由，设，则，
∴，即，解得：或（舍弃），
∴．
∴满足条件的，的整数值有：
，，，，，，，，共8对．
故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解是解答本题的关键．
40．B
【分析】解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的周长．
【详解】解：如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
因式分解得：，
解得：或，
分两种情况：
①当时，，不能构成三角形；
②当时，，能构成三角形，
∴菱形的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
41．B
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】解：，
，
或，
所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
42．
【分析】采用因式分解法解方程即可求解．
【详解】
，
即，，
一个解是，则该方程的另一个解是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程的知识，掌握因式分解法是解答本题的关键．
43．
【分析】根据正比例函数的定义可得且，然后求得m的值即可．
【详解】解：由题意可得：且，
解得：，
解得：，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握正比例函数的解析式的结构特征是解题的关键．
44．
【分析】根据给定的图找出其中的规律，列一元二次方程，求解即可．
【详解】解：第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，第个图有个棋子，第个图有个棋子，第个图有个棋子，
依题意，，
解得：（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键．
45．6
【分析】解方程，将解得的代入即可解答．
【详解】解：，
对左边式子因式分解，可得
解得，，
将，代入，
可得原式，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．
46．15
【分析】先利用解一元二次方程﹣因式分解法求出方程的根，然后再分两种情况，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴或，
∴，
分两种情况：
当第三边为2时，
∵，
∴不能组成三角形，
当第三边为5时，这个三角形的周长，
综上所述：这个三角形的周长为15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．
47．15
【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据求出k的值，然后将k的值代入方程求出解，得出周长．
【详解】若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根．
∴
解得：
将代入得：
解得：． ，
此时能构成三角形，的周长为：
若为底，则，即方程有两个相等的实根．
∴
解得：
将代入得：
解得：． ，
∵
∴此时不能构成三角形，不能计算周长
综上可得：的周长为15．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按若是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形．
48．不可能
【分析】先求出方程的解，再根据三角形三边关系定理判断即可得到答案．
【详解】解：，
，
或，
即三边为6、11、20，
，不符合三角形三边关系定理，
这个三角形的第三边的长不可能是20，
故答案为：不可能．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出一元二次方程的解是解此题的关键．
49．，，
【分析】根据关于x的方程的解是，，令关于y的方程中，即可得到，解这个方程组即可得到答案．
【详解】解：∵,
∴,
关于的方程的解是，，令，
∴，
∴或，
解得，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查换元法及一元二次方程解的定义，令关于y的方程中是解决问题的关键．
50．或或
【分析】本题通过题干分析，按照题干的方法可得方程：的整数根只能是，，代入检验得时等式成立，得到，然后根据方法转化原方程，得到对应的解．
【详解】解：的整数根只可能为，，代入检验得时等式成立，
故含有因式，
，
，
∴，或，
∴，，，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查高阶次幂的一元方程的解法，通过判断整数解来进行因式分解，从而求出对应的解．
51．(1)
(2)
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：
即，
解得：
（2）解：
即
解得：．
【点睛】本题考查了因式分解解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
52．，
【分析】依次按照去括号、合并同类项、因式分解求解即可．
【详解】解：
解得：，；
【点睛】本题主要考查了用因式分解法求一元二次方程的解，正确计算是关键．
53．(1)，
(2)，
【分析】(1)直接开方，移项即可求解；
(2)先移项,然后提公因式,由此即可求解；
【详解】（1）解：
，
∴或
∴，．
（2）解：
∴，．
【点睛】本题主要考查开方法，因式分解法解一元二次方程，掌握开方法，因式分解是解题的关键．
54．(1)，
(2)，
【分析】（1）用十字相乘法将方程因式分解为，则或，求出方程的两个解即可；
（2）先移项，再用提取公因式法将方程因式分解为，则或，求出方程的两个解即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得：，
或，
解得：，
（2）解：，
，
因式分解得：，
或，
解得：，
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用十字相乘法、提取公因式法来因式分解是解题的关键．
55．6
【分析】设，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．
【详解】解：设，则原方程可变形为，即
∴，
解得：；
又∵
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题目给出的解方程的方法，是解题的关键．注意：．
56．(1)换元
(2)或
【分析】（1）根据换元法解一元二次方程；
（2）根据换元法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：上面的解题方法，利用换元达到了降幂的目的，
故答案为：换元；
（2）解：
设，
原方程可化为，
解得，，
当时，，
当时，，
∴原方程的解为或．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键．
57．(1)，
(2)，
【分析】（1）把看做一个整体，设，则原方程可化为， ．
(2)把看做整体，设，则原方程可化为，解得，．
【详解】（1）解：
把看做一个整体，设
则原方程可化为
解得，
∴或者
∴，
（2）解：
把看做整体，设
则原方程可化为
解得，
∴，
【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程的方法，熟练运用换元法将次是解题的关键．
58．(1)
(2)，
【分析】（1）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于的一元二次方程；
（2）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后进行检验即可．
【详解】（1）令
∴
∴
∴，
∴（舍去），
∴；
（2）令
∴
∴
∴
∴，
∴，
∴，
经检验，，为原方程的解.
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，分式方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
59．
【分析】把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得，然后设，解得y的值，最后解得x的值．
【详解】解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
（x2+5x-14）（x2+5x+4）=19．
设，①
则（y-9）（y+9）=19，
即y2-81=19．
解得，将y1、y2的值代入①式得，
或，
解得．
【点睛】本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法降次解之，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心．
答案第4页，共6页
答案第5页，共6页

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