资源简介

专题04一元二次方程（3个知识点4大题型2个易错点中考2种考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1一元二次方程的定义（重点）知识点2一元二次方程的一般形式（重点）
知识点3一元二次方程的解（重点）
【方法二】 实例探索法
题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值
题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值
题型三：一元二次方程新定义问题
题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论
【方法三】 差异对比法
易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件
易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式
【方法四】 仿真实战法
考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值
考法2根据实际问题列一元二次方程
【方法五】 成果评定法
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1一元二次方程的定义（重点）
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
（2023春 文登区期中）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
知识点2一元二次方程的一般形式（重点）
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
（2023春 鼓楼区校级期末）
2．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 新会区期末）
3．把方程化成一般式的形式，则a、b、c的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
（2023春 肇源县月考）
4．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，5 B．3，1 C．， D．3，
知识点3一元二次方程的解（重点）
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
（2023春 巴东县期中）
5．已知 是一元二次方程的解，则（ ）
A． B． C．0 D．4
【方法二】实例探索法
题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值
（2023 桐柏县一模）
6．关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ）
A． B．3 C．1 D．1或
（2022秋 连平县校级期末）
7．若方程（a-2）x +ax-3=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）.
A．a≥2且a≠2 B．a≥0且a≠2 C．a≥2 D．a≠2
题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值
（2023 邗江区校级一模）
8．已知m是方程的一个根，则的值为（　　）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
（2023 邗江区一模）
9．若关于x的方程的一个根为3，则m的值为 ．
（2023春 玄武区期中）
10．若m是方程的一个根，则代数式的值为 ．
（2022秋 梁山县期末）
11．已知m是方程的解，求式子的值．
（2022秋 江阴市校级月考）
12．已知2是关于x的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长．
求m的值；
求的周长．
（2023 鹤山市模拟）
13．先化简，再求值，其中是方程的一根．
题型三：一元二次方程新定义问题
（2021秋 高港区期中）
14．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m得值．
（2022秋 江阴市校级月考）
15．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．
（2022秋 长汀县期中）
16．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)试判断方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积．
（2022秋 南昌期中）
17．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ___________；判断241 ___________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②， 若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值．
题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论
（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）
18．已知关于x的方程．
(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
（2022秋·九年级单元测试）
19．当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)为一元二次方程；
(2)为一元一次方程．
【方法三】差异对比法
易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件
（2021秋 襄城县期中）
20．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为 ．
易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式
（2022秋 沭阳县校级期末）
21．一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，常数项是－1，一次项系数是（　　）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
【方法四】 仿真实战法
考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值
（2022 连云港）
22．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ．
（2021 宿迁）
23．若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a=
（2022 广东）
24．若是方程的根，则 ．
（2022 遂宁）
25．已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
（2022 资阳）
26．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
考法2根据实际问题列一元二次方程
（2022 衢州）
27．将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
（2023·江西抚州模拟预测）
28．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·广东东莞模拟预测）
29．将方程化成的形式，则的值分别为（　　）
A．4，8，25 B．4，2， C．4，8， D．1，2，25
（2022春·甘肃兰州阶段练习）
30．若是关于的一元二次方程，则的值是(　　)
A． B． C． D．不能确定
（2023秋·广东湛江期末）
31．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是（ ）
A． B．1 C．或 D．0
（2023·广东惠州·统考一模）
32．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．1或 C． D．0.5
（2023春·广东广州开学考试）
33．若a是方程的一个解，则的值是（ ）
A．10 B．5 C． D．
二、填空题
（2022秋·福建泉州期末）
34．一元二次方程的一次项系数为 ．
（2022秋·江西赣州期末）
35．用公式法解一元二次方程时，应先将其化成“一般形式”为 ．
（2022秋·河南南阳期末）
36．若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为 ．
（2022秋·四川乐山期末）
37．若是关于x的一元二次方程，则 ．
（2023·山东东营·统考一模）
38．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ．
（2023春·江西吉安阶段练习）
39．若是方程的一个解，则代数式的值是 ．
三、解答题
（2022秋·山东青岛阶段练习）
40．若关于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．
（2022秋·河南开封阶段练习）
41．已知关于x的方程．
(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
（2023秋·山东济宁期末）
42．已知m是方程的解，求式子的值．
（2023秋·重庆永川期末）
43．先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．
（2023 佛冈县二模）
44．先化简，再求值：，若x是方程的正整数解.
（2023 广陵区一模）
45．先化简再求值：，其中是方程的一个根．
（2023 越秀区一模）
46．已知．
(1)化简；
(2)若为方程的一个解，求的值．
（2023·北京西城一模）
47．已知a是方程的一个根，求代数式的值．
（2021秋·江苏·九年级专题练习）
48．设p，q是整数，方程有一个根为，求p﹣q的值．
（2022秋·九年级单元测试）
49．当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)为一元二次方程；
(2)为一元一次方程．
（2022秋·河北唐山期末）
50．我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；
(2)若是倍根方程，则___________．
试卷第8页，共9页
试卷第1页，共9页
参考答案：
1．D
【分析】只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，根据定义逐项判断即得答案
【详解】解：A．当时，原方程为一元一次方程，选项A不符合题意；
B．方程是分式方程，选项B不符合题意；
C．方程即为，是一元一次方程，选项C不符合题意；
D．是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知概念是关键．
2．C
【分析】根据二次项系数及常数项进行判断即可．
【详解】解：A. 不是一元二次方程，不符合题意；
B. 二次项系数是1，不符合题意；
C. 二次项系数是3，常数项是1，符合题意；
D. 方程化为一般形式为，常数项是－1，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．D
【分析】先去括号，再移项、合并同类项，化为的形式，再根据对应相等得到a、b、c的值．
【详解】解：去括号得，，
移项得，，
所以a、b、c的值可以分别是1，，6．
故选：D．
【点睛】一元二次方程的一般形式为，为常数，其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
4．D
【分析】一元二次方程的一般形式是，先化成一般形式，再求出二次项系数和一次项系数即可．
【详解】解：，
∴，
二次项系数和一次项系数分别为3、，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键，注意：系数带着前面的符号．
5．B
【分析】将代入方程中可得，求解即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
把代入方程中，
得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
6．C
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
7．D
【分析】根据一元二次方程的定义得到a-2≠0，由此求得a的取值范围．
【详解】解：依题意得：a-2≠0，
解得a≠2．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
8．C
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．
【分析】根据题意把3代入方程，得到关于m的方程，解方程即可得．
【详解】解：依题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
10．2022
【分析】根据m是方程的一个根，得到，进而得到，代入代数式计算即可得解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2022．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
11．
【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵m是方程的解，
∴，即：，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键．
12．（1）；（2）14．
【分析】（1）直接把x=2代入方程可求出m的值；
（2）先解方程，解得，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长．
【详解】解：（1）把x=2代入方程得：，解得：；
（2）当时，原方程变为，解得．
∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形，
∴的腰为6，底边为2，
∴的周长为6+6+2=14．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
13．；
【分析】根据乘法公式，分式的性质进行化简，再变形方程得到，代入计算即可．
【详解】解：原式
∵是方程的一根，
∴，
∴，
把代入原式．
【点睛】本题主要考查分式化简，代入求出，掌握乘法公式，分式的约分化简，代入求值计算的方法是解题的关键．
14．（1）是，理由见解析；（2）m的值为2或﹣1
【分析】（1）利用有一个根为﹣1的一元二次方程为“凤凰方程”对一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程进行判断；
（2）根据“凤凰方程“的定义得到2+m﹣n＝0①，再把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0，然后消去n得到m的一元二次方程，最后解关于m的方程即可．
【详解】解：（1）是．
理由如下：
当x＝﹣1时，3x2﹣4x﹣7＝0，
所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0为凤凰方程；
（2）根据题意得2+m﹣n＝0①，
把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0②，
②﹣①得m2﹣m﹣2＝0，解得m1＝2，m2＝﹣1，
即m的值为：2或﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．m的值为1或–9．
【分析】通过解方程x2﹣2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；②若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解．
【详解】解方程x2﹣2x=0，得：x1=0，x2=2．
①若x=0是两个方程相同的实数根．
将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0，得：m﹣1=0，∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，解得：x1=0，x2=﹣3，符合题意，∴m=1；
②若x=2是两个方程相同的实数根．
将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0，得：4+6+m﹣1=0，∴m=﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10=0，解得：x1=2，x2=﹣5，符合题意，∴m=﹣9．
综上所述：m的值为1或﹣9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．
16．(1)是
(2)
【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义，即可求解；
（2）根据是“勾系一元二次方程”的一个根，可得，再由四边形的周长是，可得，从而得到，继而得到，再根据，可得ab=4，即可求解．
【详解】（1）解：∵
这里，，
∴，
∴是“勾系一元二次方程”．
（2）解：当时，有，
即，
∵四边形的周长是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，勾股定理，理解“勾系一元二次方程”的定义是解题的关键．
17．(1)，不是
(2)
(3)121，242，363，484
【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵是喜鹊数，
∴，即；
∵，，，
∴241不是喜鹊数；
故答案为：；不是；
（2）∵是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，
∴，，
将两边同除以得：，
∴将m、看成是方程的两个根，
∵，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，即；
故答案为：；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484；
故答案为：121，242，363，484．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义．
18．(1)，
(2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是
【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【详解】（1）由是一元一次方程，得
，
解得，
原方程变为：，
∴
解得；
（2）由是一元二次方程，得
，
解得，
∴时，是一元二次方程，
二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
【点睛】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．
19．(1)m＝3
(2)m＝±1或m＝0，m＝2
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；
（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．
【详解】（1）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得
，
解得m＝3．
当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．
（2）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得
m+1＝0或或m-1=0，
解得m＝±1或m＝0，m＝2，
当m＝±1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
20．1
【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2 =0的常数项为0，
∴m﹣2≠0且m2﹣3m+2 =0，
解得：m =1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
21．D
【分析】首先化为一般形式，然后确定一次项系数即可．
【详解】解：一元二次方程2x2-1＝4x化成一般形式为2x2-4x -1＝0，
故一次项系数为-4，
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程ax2+bx+c=0的二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c．
22．1
【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
23．-1
【分析】把x=3代入一元二次方程即可求出a．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，
∴9+3a-6=0，
解得a=-1．
故答案为：-1
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程方程的解又叫一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的意义是解题的关键．
24．1
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】把x=1代入方程，得1 2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
25．B
【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．
【详解】∵m为的根据，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．
26．6
【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
【详解】∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
27．
【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
【详解】由包装盒容积为360cm3可得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了将实际问题转化为一元二次方程，能够利用长方形的体积列出方程是解题关键．
28．A
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意；
B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
C、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
D、未知数的最高次数是1，故是一元一次方程，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．
29．C
【分析】将移项化为一元二次方程的一般式即可求解．
【详解】解：将原方程化为一般形式得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程一般式是解决问题的关键．
30．C
【分析】根据一元二次方程的定义，得出，进而即可求解．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
31．A
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】∵关于的一元二次方程的常数项为0，
∴且，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，以及一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
32．C
【分析】根据方程是一元二次方程，可得，将代入方程，求出a的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴，，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．
33．A
【分析】根据是方程的解可得到的值，进而得到的值．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将方程转化为关于的代数式是解题的关键．
34．
【分析】根据一元二次方程一次项系数的定义可直接得出答案．
【详解】解：一元二次方程的一次项为，一次项系数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程经过整理都可化成一般形式．其中叫作二次项，a是二次项系数；叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项．掌握上述知识是解题的关键．
35．
【分析】把原方程去括号、移项、合并同类项，即可得到一般形式．
【详解】解：
去括号得，，
移项合并同类项得，，
即一元二次方程的一般形式为，
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式为是解题的关键．
36．1
【分析】将代入方程中结合一元二次方程的二次项系数不为即可得出答案．
【详解】解：将代入方程中得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程解的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
37．
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．
38．2023
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．掌握定义是解题的关键．
39．
【分析】将代入一元二次方程的得到，再将代数式中即可解答．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值化简代数式，理解一元二次方程的解是解题的关键．
40．
【分析】先根据一元二次方程的定义求出m的值，然后再代入不等式，解不等式即可．
【详解】解：是一元二次方程，
，，
解得：，，
，
原不等式变为：，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出m的值．
41．(1)，
(2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是
【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【详解】（1）由是一元一次方程，得
，
解得，
原方程变为：，
∴
解得；
（2）由是一元二次方程，得
，
解得，
∴时，是一元二次方程，
二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
【点睛】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．
42．
【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵m是方程的解，
∴，即：，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键．
43．，1．
【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再根据是方程的根可得，再代入即可．
【详解】解：原式
．
∵是方程的根，
∴．
∴．
∴ 原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．掌握分式的运算法则和整体代入求值是关键．
44．，时，原式= 2
【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后解出方程的正整数解，再代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去），
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
45．，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求解方程并结合分式有意义的条件将适合的x的值代入计算即可．
【详解】解：原式，
解得：
，（使分式无意义，舍去）
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值和一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则和一元二次方程的解法．
46．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据分式的运算法则，对分式进行通分、合并、约分化简即可；
（2）依题意将代入方程整理可得即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）是方程的解，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值；解题的关键是熟练掌握分式的运算法则正确化简．
47．，3
【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．
【详解】解：
，
∵a是方程的一个根，
∴，
即．
∴原式．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
48．-3
【分析】先把x=-2代入方程，得到关于p，q的等式，把有关的项合并后，令它的系数部分为0，就可求出方程p、q的值．
【详解】解：把-2代入方程，9-4-p+2p+q=0，
∴-×（4+p）+（2p+q+9）=0，
∵p、q是整数，
∴p=-4，q=-1，
∴p-q=-4+1=-3．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．当方程中有一根是无理数，字母系数为整数时，把有关无理数的项合并一起后，令它的系数部分为0，就可求出方程中字母系数的值．
49．(1)m＝3
(2)m＝±1或m＝0，m＝2
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；
（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．
【详解】（1）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得
，
解得m＝3．
当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．
（2）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得
m+1＝0或或m-1=0，
解得m＝±1或m＝0，m＝2，
当m＝±1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
50．(1)是，理由见解析
(2)4或16
【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定；
（2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值．
【详解】（1）解：方程是倍根方程，
理由如下：
由方程，
解得，，
，
方程是倍根方程；
（2）解：由方程，
解得，，
方程是倍根方程，
或，
得或，
故或，
故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
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答案第5页，共21页

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