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第七单元解决问题的策略（单元复习讲义）
k1.长方形的长＋宽 ＝ 长方形周长的一半
2.当长方形的周长不变时，长与宽长度相差的越大，这个长方形的面积就越小；反之，长与宽长度相差的越小，这个长方形的面积就越大。
3.当长方形的面积不变时，长与宽长度相差的越大，这个长方形的周长就越长；反之，长与宽长度相差的越小，这个长方形的周长就越短。
【例题一】有2克、3克和5克的砝码各一个，用其中的1个、2个或3个，放在天平的一端，能称出（ ）种不同的质量。
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】分别选择1个、2个或3个砝码，找出其能组成的所有质量即可。
【详解】每个砝码单独称量时，可以称量出2克、3克、5克，3种重量；
两两组合称量时，可以称量出：2＋3＝5（克），2＋5＝7（克），3＋5＝8（克），3种重量；
三个砝码一起称量时，可以称量出：
2＋3＋5
＝5＋5
＝10（克）
1种重量；
合计可以称出：
3＋3＋1
＝6＋1
＝7（种）
有2克、3克和5克的砝码各一个，用其中的1个、2个或3个，放在天平的一端，能称出7种不同的质量。
故答案为：D
【分析】正确进行分类，列举出所有可能即可求解。
【例题二】到早餐店吃早餐，有包子、馒头、油条和大饼四种早点可供选择。最少吃一种，最多吃4种，有多少种不同的选择方法？
【分析】分别求出吃一种有几种选择方法，吃两种有几种选择方法，吃三种有几种选择方法，吃四种有几种选择方法，然后利用加法原理解答即可。
【详解】吃一种：包子；馒头；油条；大饼有4种选择；
吃二种：包子＋馒头；包子＋油条；包子＋大饼，馒头＋油条；馒头＋大饼；油桶＋大饼有6种选择；
吃三种有：包子＋馒头＋油条；包子＋馒头＋大饼；包子＋油条＋大饼，馒头＋油条＋大饼有4种选择；
吃四种有：包子＋馒头＋油桶＋大饼有1种选择；
4＋6＋4＋1
＝10＋4＋1
＝14＋1
＝15（种）
答：有15种不同的选择方法。
【分析】本题主要考查用列举法解决实际问题的能力。
【例题三】五（1）班全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放军叔叔，全班共带了三种水果，其中苹果40个，梨32个，桔子26个。那么，带梨和桔子的有多少个同学？
【分析】先求出一共有多少个水果：40＋32＋26＝98（个）。每人带2个不同的水果，则全班一共有学生：98÷2＝49（人）。每人带的2个水果不同，其中有40个苹果，即40个人带了苹果，那么剩下的人数一定是带梨和桔子的，则带梨和桔子的有：49－40＝9（人）。
【详解】40＋32＋26＝98（个）
98÷2＝49（人）
49－40＝9（人）
答：带梨和桔子的有9个同学。
【分析】本题考查搭配问题。根据水果的总数，求出全班的人数是解题的关键。
一、选择题
1．现有1克、2克、5克的砝码各一个（砝码放右盘），从中任选一个或几个砝码，在天平上能称出（ ）。
A．5 B．6 C．7 D．8
2．学校体育节，高年级16个班进行拔河比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰一个班级）进行，一共要进行（ ）场比赛才能产生冠军。
A．16 B．15 C．10 D．8
3．小红和小华各有5、6、9三张数字卡片，每人拿出1张，一共有（ ）种不同的拿法。
A．3 B．6 C．9 D．15
4．有1克、2克和5克的砝码各一个。用其中的1个、2个或3个，放在天平的一端，能称出（ ）不同的质量。
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
5．从牌面是2、3、4、5四张扑克牌中任意选出两张求和，得到大小不同的和有（ ）种。
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
6．从梅花3、梅花4、方块2、方块3、方块4这5张扑克牌中,分别抽出一张梅花和一张方块,有( )种不同的选法,抽出的两张扑克牌上的点数和有( )种。
7．有5位同学，每两人通一次电话，一共通( )次电话，如果每两人之间互相赠送不同的明信片，共需( )张明信片。
8．从面值是50元、20元、10元和5元的四张纸币中，每次取出两张，取出后再放回去继续取，取出的钱共有( )种情况，取出的钱数分别是( )。
9．青年路小学举行足球赛，有5支球队参加，如果每两支球队比赛一场，一共要比赛( )场。
10．一张练靶纸，共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环，小明共投中了2次，他可能有( )种不同的得分。
11．有鸡、兔共20只，数一数，一共有脚56只，其中鸡有( )只。
12．徐宁要用12个边长是1厘米的小正方形拼成长方形，有( )种不同的拼法，当长是( )厘米，宽是( )厘米时，长方形的周长最小。
13．用3、6、9这三个数字和小数点可以组成( )个不同的两位小数，按从小到大的顺序排列，第三个数是( )．
14．过新年啦！小华和他的两个好朋友小明和小强，每两人之间都通一次电话送祝福，一共需要打( )个电话。如果他们两两互发祝福短信，一共需要发( )条短信。
15．12名乒乓球运动员进行比赛，采用单场淘汰制，要比赛( )场才会产生冠军。如果采用循环淘汰制，要比赛( )场才会产生冠军。
16．小王的暑假生活很有规律，每六天中第一天去围棋班，接着两天去游泳馆，最后三天去图书馆。如果从7月1日起照此规律活动，小王第4次去围棋班是( )月( )日。
17．志愿者要从学校到少年宫进行服务，如果只允许向东或向北走，一共有( )种不同的线路。
三、判断题
18．用1角和5角的邮票各2枚，能付出3种不同的邮资。( )
19．用18个1平方厘米的小正方形拼成长方形，有3种不同的拼法。( )
20．三件上衣，两条裤子有5种不同穿法。( )
21．一个质数是两位数,十位数字和个位数字也都是质数,这样的两位数有3个．( )
22．8个相同的小球分成三堆，有8种不同的分法。( )
23．面积相等的长方形，长和宽越接近，周长越小．( )
四、解答题
24．在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，兴华小学足球队比赛了2场，可能得多少分？
25．小明有1个5分币，4个2分币，8个小分币，要拿出8分钱。你能找出几种拿法？
26．一个平行四边形的面积是36平方分米，它的底和高分别是多少（底、高取整分米数）？请你列表看一看有几种情况。
27．大树上生了虫子，啄木鸟发现后，来帮大树治虫．已经吃了3条虫，树上还有8条虫．你能提出什么问题？
28．2名老师带14名同学去划船。有大船和小船两种，每条大船可以坐4人，每条小船可以坐2人。如果要租船，且都全部坐满，那么可以怎样租？请列举出来。
大船/条
小船/条
29．有两颗同样的骰子,六个面上的圆点数分别是1,2,3,4,5,6,把这两个骰子抛到桌面上,两个向上的点数加起来,可能会得到多少种不同的数值呢
参考答案：
1．C
【分析】分选择1个、2个或者3个砝码，找出其能组合成的所有的质量即可。
【详解】（1）当只有一个砝码时，能称出1克、2克、5克的物体的质量，一共有3种；
（2）当有2个或3个砝码时
1＋2＝3（克）
1＋5＝6（克）
2＋5＝7（克）
1＋2＋5＝8（克）
所以可以称出4种不同质量的物体；
综上所述，一共可以称出：3＋4＝7（种）。
在天平上能称出7种不同的质量。
故答案为：C
【分析】此题主要考查了筛选与枚举问题，解答此题的关键是分别求出当只有一个砝码时，当有2个或3个砝码时，可以称出的质量分别有多少。
2．B
【分析】淘汰赛每赛一场就要淘汰一支队伍，而且只能淘汰一支队伍；即淘汰掉多少支队伍就恰好进行了多少场比赛，由此解答即可。
【详解】16－1＝15（场）
一共要进行15场比赛后才能产生冠军。
故答案为：B
【分析】淘汰赛比赛场数＝参加队伍数－1。
3．C
【分析】根据题意可知，小红有3种拿法，小华也有3种拿法，求一共有多少中拿法，也可看作小红的每一种拿法都对应3种拿法，那么一共有3×3＝9（种），据此选择。
【详解】3×3＝9（种），一共有9种不同的拿法。
故答案为：C
【分析】此题考查了搭配问题，注意题目要求是各有三张，而不是一共有三张。
4．C
【分析】分别选择1个、2个或3个砝码，找出其能组成的所有质量即可。
【详解】每个砝码单独称量时，可以称量出1克、2克、5克三种重量；两两组合称量时，可以称量出：1＋2＝3克，1＋5＝6克，2＋5＝7克；三个砝码一起称量时，可以称量出：1＋2＋5＝8克；合计可以称出3＋3＋1＝7种不同的质量。
故答案为：C
【分析】正确进行分类，列举出所有可能即可求解。
5．B
【分析】由于任意取两张，假如其中一张是2，则另一张可以是3、4、5的任意一种扑克牌有3种情况；如果摸到的一张是3、另一张还可以摸到4、5两种扑克牌，有2种情况，如果一张是4，则另一种扑克牌是5，由此即可知道总共有3＋2＋1＝6种情况，把6种结果算出来，找出不同的结果有几种即可。
【详解】由分析可知：2和3、4、5搭配
2＋3＝5；2＋4＝6；2＋5＝7
3和4、5搭配
3＋4＝7；3＋5＝8
4和5搭配
4＋5＝9
由于2＋5和3＋4的结果相同，即得到大小不同的和有5种。
故答案为：B。
【分析】本题主要考查搭配问题，要注意最后是问的和不同。
6． 6 4
【解析】略
7． 10 20
【分析】由题可知，每位同学都要与剩下的4位同学通话，所以一共通话5×4＝20次，因为每两人之间只需通话一次，所以实际一共通话20÷2＝10次；
每位同学都要与剩下的4位同学互相赠送不同的明信片，则一共需要5×4＝20张明信片；据此解答。
【详解】由分析得：
5×4÷2
＝20÷2
＝10（次）
5×4＝20（张）
有5位同学，每两人通一次电话，一共通10次电话，如果每两人之间互相赠送不同的明信片，共需20张明信片。
【分析】要正确地解决这些问题，就一定要熟练地掌握乘法原理和排列、组合的内容，并熟悉它们所解决问题的类型特点。
8． 6 70元、60元、55元、30元、25元、15元
【分析】由题意可知，四张纸币中，每次取出两张，取出后再放回去继续取，即两两组合，分别列举出两两组合的所有情况即可解答。
【详解】①50＋20＝70（元）；50＋10＝60（元）；50＋5＝55（元）；20＋10＝30（元）；
20＋5＝25（元）；10＋5＝15（元）。
所以一共有6种情况，
②取出的钱数分别为：15元、25元、55元、30元、60元和70元。
【分析】解答本题的关键在于要列举出两两组合的所有情况，注意不要遗漏，掌握找出各个组合的方法是解答此题的关键。
9．10
【分析】每支球队都要与其它四支球队进行一场比赛，所以一共要进行：5×4＝20（场），由于比赛是在两队之间进行的，去掉重复的，再除以2即可解答。
【详解】5×（5－1）÷2
＝5×4÷2
＝20÷2
＝10（场）
青年路小学举行足球赛，有5支球队参加，如果每两支球队比赛一场，一共要比赛10场。
【分析】在循环赛制中，参赛人数和比赛场数的关系为：比赛场数＝参赛人数×（参赛人数－1）÷2。
10．5
【分析】把所有可能的情况，一一列举，进而找出一共几种不同得分。
【详解】可能得到的成绩分别为10＋10、10＋8、10＋6、8＋8、8＋6、6＋6，而10＋6和8＋8都为16环，所以可能有5种不同的得分。
【分析】此题属于搭配问题，注意列举时按一定的顺序防止重复或漏写的情况。
11．12
【分析】假设全是兔，则腿有（20×4）条，这比已知的56条腿多了（80－56）条，因为1只兔比1只鸡多2条腿，所以鸡有（24÷2）只。由此解答即可。
【详解】假设全是兔，则腿有：20×4＝80（只）
比已知的多了：80－56＝24（条）
鸡的数量：24÷2＝12（只）
【分析】此题考查了鸡兔同笼的知识。
12． 3 4 3
【分析】12个正方形可以分别排成1行、2行、3行（如下图），因此共有3种不同的拼法；根据所拼成的长方形，计算出每个长方形的周长，就可知道最小的周长。
【详解】单行排列：
周长为：（12＋1）×2
＝13×2
＝26（厘米）；
双行排列：
周长为：（6＋2）×2
＝8×2
＝16（厘米）；
3行排列：
周长为：（4＋3）×2
＝7×2
＝14（厘米）；
26＞16＞14，所以3行排列时长方形的周长最小，此时长方形的长是4厘米，宽是3厘米。
【分析】本题考查了学生的空间想象思维能力和长方形周长的计算方法。
13． 6 6.39
【解析】略
14． 3 6
【分析】每两人之间都通一次电话送祝福，则他们一共需要打3个电话，如下图所示。
如果他们两两互发祝福短信，一共需要发3×2＝6条短信。
【详解】小华和他的两个好朋友小明和小强，每两人之间都通一次电话送祝福，一共需要打3个电话。如果他们两两互发祝福短信，一共需要发6条短信。
【分析】本题考查搭配问题。可以用画图法或列举法解决此类问题。
15． 11 66
【分析】采用单场淘汰制，把12名运动员分成6组，每组中的2名运动员各比赛1场，一共比赛6场；第一轮比赛获胜的6名运动员分成3组，每组中的2名运动员各比赛1场，一共比赛3场；第二轮比赛获胜的3名运动员，其中的2名比赛1场；第三轮比赛获胜的1名运动员和剩下的那名运动员再比赛1场即可产生冠军。一共比赛了6＋3＋1＋1＝11（场）。
如果采用循环淘汰制，每名运动员要和另外11名运动员比赛1场，他一共要比赛11场；第2个运动员要和另外的10名运动员再分别比赛1场，他一共要比赛10场……，则12名运动员一共要比赛11＋10＋9＋…＋2＋1＝66（场）。
【详解】（1）12÷2＝6（组）
6÷2＝3（场）
3÷2＝1（场）……1（名）
6＋3＋1＋1＝11（场）
（2）11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
＝（11＋1）×11÷2
＝66（场）
【分析】理解单场淘汰制和循环淘汰制的意思是解题的关键。注意循环淘汰制时，不要重复计算场次。
16． 7 19
【分析】每六天中第一天去围棋班，接着两天去游泳馆，最后三天去图书馆，六天是一个周期，因此小王第4次去围棋班是第四个周期的第一天，即可求解。
【详解】6×3＋1
＝18＋1
＝19（天）
小王的暑假生活很有规律，每六天中第一天去围棋班，接着两天去游泳馆，最后三天去图书馆。如果从7月1日期照此规律活动，小王第4次去围棋班是7月19日。
【分析】解答本题的关键是去围棋班的间隔时间。
17．6
【分析】把每条路线用数字标出来，并且根据图来看总共有几条路线，列出来即可。注意只许向东或向北走，否则会有重复的情况。
【详解】
第一条路线：从学校出发走1→2→3→4→少年宫
第二条路线：从学校出发走1→8→11→4→少年宫
第三条路线：从学校出发走1→8→9→7→少年宫
第四条路线：从学校出发走5→10→11→4→少年宫
第五条路线：从学校出发走5→10→9→7→少年宫
第六条路线：从学校出发走5→6→12→7→少年宫
一共有6种不同的路线可走。
【分析】解决本题要有顺序地写出路线，把走的路线列出来并且一定要注意不要走回头路。
18．×
【详解】略
19．√
【分析】因18的因数有1，2，3，6，9，18，用18个小正方形拼成的长方形，不论怎样拼它的面积不变。根据拼成图形的长和宽，求出它们的周长，再进行比较．据此解答。
【详解】根据分析知拼成后图形的面积不变，拼成后长方形的长和宽可分下列情况：
1．长18厘米，宽1厘米，
2．长9厘米，宽2厘米，
3．长6厘米，宽3厘米，
则一共有3种不同的拼法。故原题干说法正确。
【分析】本题关键是根据拼成后面积不变，分情况讨论组成长方形的长和宽。
20．×
【分析】当选择其中1件上衣时，裤子有2种不同的搭配方法，而上衣有3件，因此－共有3个2种不同的搭配。
【详解】3×2＝6（种）
则三件上衣，两条裤子有6种不同穿法。原题说法错误。
故答案为：×
【分析】熟练掌握搭配问题的计算，是解答此题的关键。
21．×
【详解】略
22．×
【分析】根据题意，列举将8个相同的小球分成三堆的分法，将其相加即可解答。
【详解】根据题意，将8个相同的小球分成三堆，可分为：
1、1、6
1、2、5
1、3、4
2、2、4
2、3、3
共计5种。
原题干8个相同的小球分成三堆，有8种不同的分法，说法错误。
故答案为：×
【分析】解答本题的关键是列举分法有几种，再进行解答。
23．√
【详解】略
24．可能得6分、4分、3分、2分、1分、0分。
【分析】比赛了2场有6种可能，2胜、2平、2输、1胜1平、1胜1输、1平1输，分别计算出分数即可。
【详解】2胜：3＋3＝6（分）；
2平：1＋1＝2（分）；
2输：0分；
1胜1平：3＋1＝4（分）；
1胜1输：3＋0＝3（分）；
1平1输：1＋0＝1（分），
答：可能得到6分或2分或0分或4分或3分或1分。
【分析】本题考查了生活中的可能性现象，关键是分析出有2胜、2平、2输、1胜1平、1胜1输、1平1输6种可能。
25．7种
【分析】要拿出8分钱，可以这样拿：8个1分币，4个2分币，6个1分币和1个2分币，4个1分币和2个2分币，2个1分币和3个2分币，3个1分币和1个5分币，5分币、2分币和1分币各1个，共有7种拿法。
【详解】8个1分币：1×8＝8
4个2分币：2×4＝8
6个1分币和1个2分币：1×6＋2＝8
4个1分币和2个2分币：1×4＋2×2＝8
2个1分币和3个2分币：1×2＋2×3＝8
3个1分币和1个5分币：1×3＋5＝8
5分币、2分币和1分币各1个：5＋2＋1＝8
答：共有7种拿法。
【分析】本题考查搭配问题，用列举法可以解决此类问题。
26．
底 1 2 3 4 6 9 12 18 36
高 36 18 12 9 6 4 3 2 1
共9种
【详解】略
27．①树上生了几条虫子？ 8＋3＝11（条） 答：树上生了11条虫子．
②没吃的比吃掉的少几条？8－3＝5（条） 答：没吃的比吃掉的少5条
【详解】略
28．如表：
大船/条 0 1 2 3 4
小船/条 8 6 4 2 0
【分析】先考虑租几条大船，大船坐满后，用剩下的人数除以每条小船能坐的人数，就是租小船的条数，如果有余数，说明这样租船不能每条船都刚好坐满，没有余数则可以这样租船。
【详解】2＋14＝16（名）
大船/条 0 1 2 3 4
小船/条 8 6 4 2 0
答：租船，且都全部坐满，可以这样租：小船8条；大船1条，小船6条；大船2条，小船4条；大船3条，小船2条；大船4条。
【分析】解答此题时可以先考虑租几条大船，看剩下的人租几条小船是否能刚好坐满。
29．11种
【详解】略

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