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第八单元垂线与平行线（单元复习讲义）
1、线段、射线、直线的相同点和不同点：
名称 相同点 不同点
端点 长度 有限长
线段 直的 2个
射线 1个 无限长
直线 没有 无限长
2、两点之间线段最短。
3、连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。
4、从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。角是由一个顶点和两条边组成的。角的大小和角的两边张开的大小有关。
5、直角=90度 平角=180度 周角=360度
1平角＝2直角 1周角＝2平角＝4直角
锐角小于90度 钝角大于90度且小于180度
6、两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。
7、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。
8、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。
垂直
相交
同一平面内两条直线的位置关系 不垂直
不相交 平行
9、一副三角尺的度数分别是：30度、60度、90度和45度、45度、90度。
用一副三角尺还能画出15度（60-45或45-30）、75度（45+30）、105度（60+45）、120度（90+30）、135度（90+45）和150度（90+60）的角。
10、两条平行线之间的垂直线段可以画无数条，长度都相等。
11、风筝线与地面所形成的角的度数越大，风筝飞得越高。
12、丹顶鹤结队飞行时通常排成“人”字形，角度一般保持在110度左右。
13、斜坡与地面的角度不同，物体滚的距离也不同。
【例题一】以下图这条射线为角的一条边（如图），画出一个105度的角，它和（ ）°的角组成一个平角。
【分析】使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合；再在量角器上对准105度的刻度线，并点上一个点；然后以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是105度的角。平角等于180度，用180度减105度即为和105°组成平角的角的度数。
【详解】
180°－105°＝75°
105°的角和75°的角组成一个平角。
【分析】本题主要考查学生对角的分类和用量角器画角方法的掌握及灵活运用。
【例题二】在图中画出点A到已知直线的垂直线段，并量出点A到已知直线的距离。点A到已知直线的距离是（ ）毫米。
【分析】过直线外一点作垂线：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合。再沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。据此画出点A到已知直线的垂直线段，再用直尺量出这条垂直线段的长度，就是点A到已知直线的距离。
【详解】
点A到已知直线的距离是25毫米。
【分析】本题考查过直线外一点作垂线的方法，从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。
【例题三】小亮正确使用量角器，量了一个钝角的度数，可她读出的度数却是35°，你知道这个钝角是多少度吗？
【分析】由题意可知，钝角是大于90度小于180度的角，小亮应该是在读度数时，读成了内圈的刻度，用180度减去内圈刻度即为外圈刻度。据此解答即可。
【详解】180°－35°＝145°
答：这个钝角是145°。
【分析】本题考查读角的度数，明确内圈刻度和外圈刻度相加等于180度是解题的关键。
一、选择题
1．下面哪一幅三角板可以拼成75°？（ ）
A． B． C．
2．下面的角可以用一副三角板拼成的是（ ）．
A．20° B．80° C．135° D．140°
3．画已知直线的平行线，可以画（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．无数
4．在同一平面内，有三条直线都和同一条直线互相垂直，那么这三条直线的位置关系是（ ）。
A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．无法确定
5．如图的四组直线中，是相交关系的有（ ）组。
A．1 B．2 C．3
6．下列说法正确的是（ ）。
A．一枚硬币，明明抛了5次，都是正面朝上，他抛第6次一定是反面朝上
B．用10倍的放大镜看一个8°的角，看到的是80°的角
C．把一个正方形的纸对折两次，折痕可能互相平行，也可能互相垂直
D．100°角可以用一副三角板拼出来
7．下面图形中只有一组平行线的是（ ）。
A． B． C．
二、填空题
8．丹顶鹤通常都是排成“人”字形飞行，“人”字形的角度一般保持在110°左右，这个角是( )角，( )用一副三角尺拼成这个角。（填“能”或“不能”）。
9．如图，图中有一个长方形和正方形。如果∠1＝35°，则∠2＝( )°。
10．量出下面各角的度数，并注明它们各是什么角。
∠1
∠1＝( ) ，是( )角；
∠2
∠2＝( ) ，是( )角。
11．照样子量一量，填一填．
　 　( )°　　 　　　　( )
12．从张丽家出发有三条小路通往公路上，它们的长度分别是137米、207米、112米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米。
13．两条直线同时垂直于一条已知直线，那么这两条直线互相( )。
14．长方形的对边互相( )，邻边互相( )．正方形有( )组互相垂直的线段．
15．钟面上，从13时到13时15分，分针转动的角度是( )°；从5时40分到6时05分，分针转动的角度是( )°。
16．经过1个点可以画( )条直线，经过2个点可以画( )条直线；一个平角度数与( )个直角度数相等，( )个60°角的和与一个周角度数相等。
17．把一个半圆平均分成180份，每份所对的角是( )度的角。
18．钟面上9时整，时针与分针的夹角是( )度；钟面上3：30时，时针与分针所夹的角是( )角；钟面上6时整，时针与分针夹角是( )°，是( )角。
三、判断题
19．用一个2倍的放大镜看一个10°的角，这个角还是10°。( )
20．把两个锐角拼在一起，拼成的角不可能是平角。( )
21．把一个钝角分成两个角，这两个角都是锐角。( )
22．太阳射出的光线可以看成是射线。( )
23．两条平行线之间垂直的线段不一定相等． ( )
24．把一个圆对折，再对折就得到互相垂直的两条线段。 ( )
四、解答题
25．如图，三角形A B C 是三角形ABC平移后得到的，问三角形是怎么平移的？写出平移前后互相平行的线。
26．小狗和小兔子赛跑，它们同时从A点和B点向小房子处跑去，如果它们的速度相同，你觉得谁会赢？为什么？
27．下图是一个梯形。
（1）量出角的度数，∠A＝（ ）°，∠B＝（ ）°。
（2）画出点B到对边AD的距离，并量出距离最短是（ ）厘米。
（3）过点C画出AB边的平行线。
28．
（1）如图，量一量，∠A＝（ ）°。以点A为顶点，AB为一条边，再画一个与∠A一样大的角。
（2）一只蚂蚁从B点走到AD边，怎样走最近？（在图中画出来）
（3）过C点画出AB边的平行线。
29．
（1）量一量如图角的度数是（ ）度。
（2）经过A点画CD边的垂线。
（3）经过A点画BC边的平行线。
30．实际操作与计算．
下图表示一条主水管．
（1）如果从A点接一条水管与主水管连通，要使水管最短,应怎样连接？请在图上画出来．
（2）如果图的比例尺是1 : 10000,请计算出从A点到主水管的最短的实际距离．
31．龙港小区铺设了一条煤气管道，现在要向A座楼房供气，应怎样接最合适？请画出线路图，并简要说明你的想法．
参考答案：
1．B
【分析】一副三角板，一个三角板的角有30°、60°、90°，等腰直角三角板的角有45°、45°、90°，据此算出各选项中拼成的角的度数。
【详解】A．60°＋45°＝105°
B．45°＋30°＝75°
C．30°＋90°＝120°
故答案为：B
【分析】解决本题的关键是正确记忆三角板上各个角的度数。
2．C
【解析】略
3．D
【详解】略
4．A
【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线相互垂直；不相交的两条直线相互平行；据此画出对应的图：
a、b、c分别和d相互垂直，则a、b、c不相交，说明a、b、c互相平行。
【详解】根据分析可知，在同一平面内，有三条直线都和同一条直线互相垂直，那么这三条直线的位置关系是互相平行。
故答案为：A
【分析】本题主要考查了平行与垂直的特征和性质，要熟练掌握。
5．C
【分析】相交：如果两条直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交；同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行。
【详解】上图的四组直线中，是相交关系的有，共有3组。
故答案为：C
【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，注意垂直只是相交的特殊情况。
6．C
【分析】（1）根据事件的确定性与不确定性，可得抛第6次的结果与前5次的结果无关，所以抛第6次的结果是正面朝上或反面朝上；
（2）角是从同一点引出的两条射线组成的图形．它的大小与图形的大小无关，只与两边叉开的大小有关；
（3）如果两次都朝一个方向折叠，折痕互相平行；如果两次都朝两个方向折叠即先上下折，然后再左右折，折痕互相垂直；
（4）一副三角尺中的角的度数分别是30°、45°、60°、90°，用它们进行拼组得不到100°的角。
【详解】A．一枚硬币，都是正面朝上，也可能反面朝上，题干说法错误；
B．用10倍的放大镜看一个8°的角，看到的还是8°的角，题干说法错误；
C．把一个正方形的纸对折两次，也可能互相垂直，题干说法正确；
D．100°角不可以用一副三角板拼出来，题干说法错误。
故答案为：C
【分析】此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累。
7．B
【详解】略
8． 钝 不能
【分析】小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°而小于180°的角是钝角；
一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°；只要其中的两个角相加或者相减后能得出的角都可以用一副三角尺拼出，据此解答。
【详解】90°＜110°＜180°，则这个角是钝角，不能用一副三角尺拼成这个角。
【分析】熟记角的分类及两个三角尺每个角的度数是解答此题的关键。
9．35
【分析】如下图，长方形和正方形的四个角都是直角，∠3＝90°－∠1，∠2＝90°－∠3，据此即可解答。
【详解】∠3＝90°－∠1＝90°－35°＝55°
∠2＝90°－∠3＝90°－55°＝35°
【分析】长方形和正方形的四个角都直角，这是解答本题的关键。
10． 35 锐 135 钝
【分析】角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；根据角的分类知识可知：小于90°的角是锐角，等于90°的角直角，大于90°小于180°的角是钝角；据此即可解答。
【详解】根据角的度量方法测得：∠1＝35°，是锐角；∠2＝135°，是钝角。
【分析】本题主要考查学生对角的度量方法和角的分类知识的掌握和灵活运用。
11． 150 45
【详解】略
12．112
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，看那条小路的长度最短，即是垂线段，据此解答。
【详解】207＞137＞112；112米最短；
所以：有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是112米。
【分析】解答本题的关键是了解点到直线的距离垂线段最短。
13．平行
【详解】根据平行的性质可知：同一平面内两条直线同时垂直于一条直线，那么这两条直线互相平行。
直线a和直线b互相平行。
14． 平行 垂直 4
【详解】略
15． 90 150
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，也就是1个大格是30°，从13时到13时15分，分针转动了3个大格，利用3×30°即可；从5时40分到6时05分，分针转动了5个大格，利用5×30°即可解答。
【详解】3×30°＝90°
5×30°＝150°
因此从13时到13时15分，分针转动的角度是90°；从5时40分到6时05分，分针转动的角度是150°。
【分析】本题考查了钟面角的认识，解题的关键是明白两个大格之间的夹角是30°。
16． 无数 1/一 2/两 6/六
【分析】直线没有端点，是可以无限延伸的，经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线，经过一点可以画无数条直线。1平角＝180°，1周角＝360°，1直角＝90°，据此计算即可。
【详解】180°÷90°＝2
360°÷60°＝6
经过1个点可以画无数条直线，经过2个点可以画1条直线；一个平角度数与2个直角度数相等，6个60°角的和与一个周角度数相等。
【分析】本题考查的是对直线的特征、直角、平角和周角定义的掌握。
17．1
【详解】如图角的度量工具是量角器。角的计量单位是“度”，用符号是“°”。量角器为半圆形状，被平均分为180份，每一份所对应的角的大小是1度，记作1度。
18． 90 锐 180 平
【分析】钟面有12个大格，每一大格是30度，9时整时针指向9，分钟指向12，时针与分针之间有3个大格，用大格数乘30度可算出时针与分针的夹角度数；钟面上3：30时，时针在3和4的中间，分钟指向6，时针与分针之间有2个大格加半个大格，用大格数乘30度再加15度可算出时针与分针的夹角度数；6时整时针指向6，分钟指向12，时针与分针之间有6个大格，用大格数乘30度可算出时针与分针的夹角度数；再根据小于90°的角叫锐角、等于90°的角叫直角、大于90°小于180°的角叫钝角、等于180°的角叫平角来判段时针和分针各夹角是直角、锐角、钝角还是平角。
【详解】3×30＝90（度）
2×30＋15＝60＋15＝75（度），是锐角；
30×6＝180°，是平角。
钟面上9时整，时针与分针的夹角是（90）度；钟面上3：30时，时针与分针所夹的角是（锐）角；钟面上6时整，时针与分针夹角是（180） °，是（平）角。
【分析】此题考查的是角的分类知识，解题关键是明白钟面上两个大格之间的夹角是30°。
19．√
【分析】角的大小只与边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大，叉开得越小，角越小。据此解答。
【详解】根据分析可得，用一个2倍的放大镜看一个10°的角，这个角不变，还是10°。
所以判断正确。
【分析】本题考查的是对角的定义的理解与运用。
20．√
【分析】平角＝180°，锐角是小于90°的角，两个小于90°的角相加小于180°，据此判断。
【详解】把两个锐角拼在一起，拼成的角小于180°因此不可能是平角。
故答案为：√。
【分析】此题考查了有关各种角的认识，牢记平角＝180°，周角＝360°，直角＝90°；锐角是小于90°的角，钝角是大于90°而小于180°。
21．×
【分析】小于90度的角叫做锐角，等于90度的角叫做直角，大于90度且小于180度的角叫做钝角；把一个钝角分成∠1、∠2两个角，因为这个钝角的度数不知道，所以若∠1是锐角，∠2可能是锐角，也可能是钝角，也可能是直角，所以无法判断，据此解答。
【详解】把一个钝角分成∠1、∠2两个角，若∠1是锐角，∠2可能是锐角，也可能是钝角，也可能是直角，
例如：150°＝30°＋120°＝60°＋90°
所以原题干说法错误。
故答案为：×
【分析】此题主要考查角的概念及其分类方法，应注意知识的灵活运用。
22．√
【详解】略
23．×
【详解】两条平行线之间垂直的线段一定相等，原题说法错误；
24．√
【分析】把一个圆对折，再对折所得到的两线段相交成直角，符合垂线定义，所以把一个圆对折，再对折就得到互相垂直的两条线段是正确的。
【详解】把一个圆对折，再对折，它们的折痕相交成直角即折痕互相垂直，所以原题说法正确。
故答案为：√
25．见详解
【分析】先确定平移的方向，然后根据对应点之间的格数确定平移的格数；平移后对应的两条边是互相平行的。
【详解】三角形A B C 是三角形ABC向右平移7格得到的，AB和A B 平行，AC和A C 平行。
【分析】解答本题需要选定一个点才知道三角形是如何移动的，考查平移与平移现象，另外还需要明白平行线的概念。
26．小狗会赢。因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短。即B点到小房子的距离比A点到小房子的距离短，所以小狗会赢。
【分析】垂线段的性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
【详解】A点和B点在同一水平线上，B点到小房子的距离更短，故小狗会赢。
答：小狗会赢。因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短。即B点到小房子的距离比A点到小房子的距离短，所以小狗会赢。
【分析】熟练掌握和应用垂线段的性质，将生活实际与几何概念结合并熟练应用。
27．（1）60；120
（2）图见详解；2
（3）图见详解
【分析】（1）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此解答。
（2）根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段，由点B向对边AD画垂直线段即可。
（3）把三角板的一条直角边与已知线段AB重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知线段AB重合的直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边画直线即可。
【详解】（1）∠A＝60°；∠B＝120°。（以实际测量为准）
（2）点B到对边AD的距离是2厘米。（以实际测量为准）
如图：
（3）如图：
【分析】本题主要考查角的度量方法；画平行线及垂线的方法。
28．（1）50；画图见详解
（2）、（3）见详解
【分析】（1）量角时使量角器的中心点和角的顶点A重合，0刻度线和角的一条边AD重合，角的另一条边AB对着刻度线几，这个角就是几度。画角时先使量角器的中心点和A点重合，0刻度线和AB重合，在量角器上找到和∠A度数一样大的地方点一个点，以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，在角内标上角的符号和度数。
（2）连接点到直线的线段中，垂线段最短，作B点到AD的垂线段即可。
（3）过直线外一点作已知直线的平行线的方法是：把三角板的一边与已知直线重合，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线，这条直线就与已知直线平行。
【详解】（1）如图，量一量，∠A＝（50）°
画角如图：

（2）如图：

（3）如图：
【分析】此题考查了学生用量角器画角、量角和作垂线、平行线的能力。
29．（1）120；（2）见详解（3）见详解
【分析】（1）把量角器的中心点与图中角的顶点重合，零刻度线与边CD重合，找到角的另一边BC所指的度数即为这个角的度数。
（2）把三角尺的一条直角边与边CD重合，使得点A在另一条直角边上，过这条直角边画线段即为所求。
（3）把三角尺的一条直角边与边BC重合，使得点A在另一条直角边上，把直尺与直角三角尺的另一条直角边重合，过点A沿着直尺画直线即为所求平行线。
【详解】（1）量一量如图角的度数是120度。
（2）（3）见下图：
【分析】会借助直角三角尺与直尺画已知直线的垂线以及平行线。
30．（1）
（2）100米
【详解】（1）思路分析：本题考查的是点到线的距离，从直线外一点到这条直线所有连线中，垂线段最短．
名师解析：从A点画出这条水管的垂线段，注意标垂直符号．
易错提示：实际问题，水管只要接到第一条线上即可，不用画到第二条线，画完不标垂直符号不正确．
（2）思路分析：先量出所画垂线段的长度，再按比例尺求出实际距离．
名师解析：垂线段长为1厘米，则实际距离为10000厘米=100米
易错提示：测量不准导致计算错误，不会利用比例尺求实际距离．
31．
【详解】因为从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短，所以图中所画线段即可所求．

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