资源简介

《最短路径问题》教学设计
教材分析
本节课是八年级上册第三章的最后一节内容，是在学习了轴对称的知识后学 习的与实际问题密切相关的最短路径问题，体现了数学知识在实际生活中的作 用。
学情分析
八年级学生总的来说观察、操作、猜想的能力较强，具有一定的探究精神和 合作意识，但灵活运用数学知识解决实际问题的能力较薄弱，说理上还不规范， 几何演绎推理能力有待加强。他们虽然已经学习了“两点之问，线段最短 ”、“垂 线段最短 ”以及轴对称和垂直平分线的性质等相关知识，但由于学习态度和学习 能力的差异导致学习的效果差异也很大，后进生面大。加上他们此前并未接触过 最短问题，数学经验不足，特别是实际问题中最短问题，比较陌生。
教学目标
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中 的作用，感悟转化思想.
教学重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短 ”问题.
教学难点
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
教学过程
一、情境导入
1.看视频，然后回答问题：
人们为什么常常违规横穿马路？你能用学过的数学知识解释这一现象吗？ （学生回答后借机进行安全教育）
2.这类问题，就是我们今天要研究的“最短路径 ”问题。
二、探索新知
1.将军饮马问题
传说，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天， 一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
看图：将军每天骑马从城堡 A 到城堡 B，途中马要到小溪边饮水一次，到小 溪什么地方饮马可使他所走的路线全最短？
要解决这个实际问题，首先我们应该怎么办？
（把实际问题抽象成数学模型，然后将城堡 A、城堡 B 抽象为两个点，把小溪抽 象为一条直线，画出图形。 ）
你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ （1）从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地；
（2）如图，点 A、B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 的 什么位置时 AC 与 BC 的和最小？
2.引导探索
问题 1 如图，点 A、B 在直线 的两侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小？
（引导学生运用“两点之间，线段最短 ”解决异侧情况，由浅入深，进而解 决同侧情况。）
引导学生解决后回到将军饮马问题
思考：怎样把点 B 移到直线 l 的另一侧呢？可利用什么知识？
（利用轴对称把点 A 或点 B 移到直线的另一侧）
作法：
（1）作点 A 关于直线 l 的对称点 A ′ ；
（2）连接 A ′B ，与直线相交于点 C。
点 C 即为所求。
证明：如图，在直线l上任取一点 C ′（与点 C 不重合），
连接 AC ′ ，BC ′ ，A ′C ′ ．由轴对称的性质知，
AC =A ′C，AC ′=A ′C ′ .
∴ AC +BC= A ′C +BC = A ′B，
AC ′+BC ′= A ′C ′+BC ′ .
在△A ′BC ′ 中，
A ′B＜A ′C ′+BC ′，
∴ AC +BC＜AC ′+BC ′ .
即 AC +BC 最短.
问：
证明 AC +BC 最短时，为什么要在直线 l 上任取一点 C ′（与点 C 不重合）， 证明 AC +BC ＜AC ′+BC ′ ？这里的“C ′” 的作用是什么？
（若直线 l 上任意一点（与点 C 不重合）与 A，B 两点的距离和都大于 AC+BC， 就说明 AC + BC 最小. )
三、类比练习
1、已知：P、Q 是 ABC 边 AB、AC 上的点，你能在 BC 上确定一个点 R，使 PQR
的周长最短吗？
2、如图：A 为马厩，B 为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某
一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
归纳总结：
在解决这一类问题时，我们要善于根据“两点之间，线段最短 ”作定点关于 动点所在直线的对称点将所求线段之和转变为一条线段，从而得出方案或结果。
四、课堂小结
同学们谈谈这节课运用了哪些数学知识，你们学到了什么？
（利用轴对称解决两点之间最短路径问题）
五、布置作业
1.ABC 边 BC 上的点 P，在 AB 边上找一个点 Q，在 AC 边上找一个点 R，构成 △PQR ，使△PQR 的周长最短。
2.已知平面直角坐标系中两点 A(-1,3)、B(-3,1)，在 x、y 轴上分别找一点 C、D，使四边形 ABCD 周长最小.

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