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空间向量的数量积
【要点梳理】
要点一、空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，
即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．
2．空间向量数量积的性质
设是非零向量，是单位向量，则
①；
②；
③或；
④；
⑤
3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）（a）·b=（a·b）；
（2）a·b=b·a（交换律）；
（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．
要点诠释：
（1）对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，
若不能得出，即向量不能约分．
（2）若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．
（3）对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，
有，向量的数量积不满足结合律．
要点二、 空间两个向量的夹角．
定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与 b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，
那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。
要点诠释：
1. 规定：
2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；
如果，那么与垂直，记作。
利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
要点三、空间向量的长度。
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：
。
将其推广：；
。
要点四、空间向量的垂直。
若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b．
根据数量积的定义：⊥ ·＝0
【典型例题】
类型一：空间向量的数量积
例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）．
举一反三：
【变式1】设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）·（3b-2a） ；（2a+b-3c）2= .
【变式2】已知：, ，试计算
例2.如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G
分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．
（1）；（2）；（3）；（4）．
举一反三：
【变式1】正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱BC，AD的中点，则的值为（ ）
A.4 B.-4
C.-2 D.2
类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角．
例3. 如右图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．
举一反三：
【变式1】空间四边形OABC中，OB=OC，，则（ ）
A. B. C. D.0
【变式2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角的余弦值.
类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。
例4、如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.
（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD； （2）求MN的长；
举一反三：
【变式1】已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则等于（ ）
A． B．5 C．6 D．
【变式2】设，，，且，，，
则向量的模是________。
例5. 如图所示，在四面体ABCD中，，BC=2，AC=3，AD=4，，AD⊥BC．
求B、D间的距离．
举一反三：
【变式1】已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，AA＇=5，∠BAD=90°，
∠BAA＇=∠DAA＇=60°，则AC＇等于（ ）
A．85 B． C． D．50
【变式2】在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。
类型四：利用空间向量的数量积证垂直．
例6.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.
（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；
（2）求MN的长；
（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值。
举一反三：
【变式1】在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，
⑴ 求证：； ⑵ 求所成角的余弦； ⑶ 求的长
【变式2】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点；求证：OG⊥BC.空间向量的数量积
【要点梳理】
要点一、空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，
即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．
2．空间向量数量积的性质
设是非零向量，是单位向量，则
①；
②；
③或；
④；
⑤
3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）（a）·b=（a·b）；
（2）a·b=b·a（交换律）；
（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．
要点诠释：
（1）对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，
若不能得出，即向量不能约分．
（2）若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．
（3）对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，
有，向量的数量积不满足结合律．
要点二、 空间两个向量的夹角．
定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与 b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，
那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。
要点诠释：
1. 规定：
2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；
如果，那么与垂直，记作。
利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
要点三、空间向量的长度。
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：
。
将其推广：；
。
要点四、空间向量的垂直。
若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b．
根据数量积的定义：⊥ ·＝0
【典型例题】
类型一：空间向量的数量积
例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）．
【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且，
∴
（1）=＝1+16+9+0-3-12=11；
（2）=＝0--8+18=
举一反三：
【变式1】设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）·（3b-2a） ；（2a+b-3c）2= .
【答案】-62，373
（a+3c）·（3b-2a）=3a·b-2a2+9c·b-6a·c
=3|a|·|b|·cos90°-2|a|2+9|c|·|b|·cos60°-6|a|·|c|·cos60°=-62.
同理可得（2a+b-3c）2=373
【变式2】已知：, ，试计算
【答案】由,
可得
∵，
∴。
例2.如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G
分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】 在空间四边形ABCD中，
（1）∵，，∴
（2）∵，，，∴
（3）∵，，又，∴
∴
（4）∵，，，
∴，∴
举一反三：
【变式1】正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱BC，AD的中点，则的值为（ ）
A.4 B.-4 C.-2 D.2
【答案】C【解析】,
=
=
=-2.
类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角．
例3. 如右图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．
【解析】 设，，，则|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c三个向量两两夹角均为60°，
∴．∵
．
∴，故所成角的余弦值为
举一反三：
【变式1】空间四边形OABC中，OB=OC，，则（ ）
A. B. C. D.0
【答案】D 由于OB=OC则
==0
【变式2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角的余弦值.
【解析】设正方体棱长为m，=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=m，a·b=b·c=c·a=0，
又∵=+=+=a+b，=+=+=c+a，
∴·=(a+b)(c+a)=a·c+b·c+a2+a·b=a2=m2.
又∵||=m,||=m，∴cos<,>===
即A1C1与DE所成角的余弦值为.
类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。
例4、如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.
（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD； （2）求MN的长；
【解析】（1）证明 设=p, =q，=r.
由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
=-=（+）-=（q+r-p），
∴·=（q+r-p）·p=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.
∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.
（2）解 由（1）可知=（q+r-p）∴||2=2=（q+r-p）2
=［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］=[a2+a2+a2+2（--）]=×2a2=
∴||=a,∴MN的长为a.
举一反三：
【变式1】已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则等于（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】A
∴
【变式2】设，，，且，，，
则向量的模是________。
【答案】
∵
，
∴
例5. 如图所示，在四面体ABCD中，，BC=2，AC=3，AD=4，，AD⊥BC．
求B、D间的距离．
【解析】 在△ABC中，由余弦定理得：
，∴∠ACB=60°
即， 同理可求得， 又AD⊥BC，∴
∴
=29+2×2×3cos120°+2×3×4cos120°+2×2×4cos90°=11．
∴
举一反三：
【变式1】已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，AA＇=5，∠BAD=90°，
∠BAA＇=∠DAA＇=60°，则AC＇等于（ ）
A．85 B． C． D．50
【答案】B；
=50+2(10+7.5)=85。
【变式2】在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。
【答案】如图，依题有、、两两垂直，
∴，，
∴
∴。
类型四：利用空间向量的数量积证垂直．
例6.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.
（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；
（2）求MN的长；
（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值。
【答案】如图，设，，
由题意，可知，且、、三向量两两夹角均为60°
（1）证明：，
∴
∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD，∴MN为AB与CD的公垂线
（2）由（1）可知，
∴
∴,∴MN的长度为
（3）设向量与的夹角为，∵，，
∴
又∵，∴
∴，∴向量与的夹角余弦值为，从而异面直线AN、MC所成角的余弦值为
举一反三：
【变式1】在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，
⑴ 求证：； ⑵ 求所成角的余弦； ⑶ 求的长
【解析】设，则，
⑴
∵，
∴ ∴
（2）， ，
∴
，
∴，， ,
（3）∵
∴
∴的长为
【变式2】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点；求证：OG⊥BC.
【解析】 连ON由线段中点公式得：
又,
所以)
=().
因为.
且，∠AOB=∠AOC.
所以=0,即OG⊥BC.

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