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26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
教学内容 26.1.1 反比例函数 课时 1
核心素养目标 1. 感悟实际生活中的数量关系，形成数感，能用符号表示数量关系，培养符号意识，提升抽象能力. 2. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数，养成有条理的思维习惯，会用待定系数法求解析式，通过运算促进数学推理能力. 3. 理解与运用反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型，增强应用意识.
知识目标 1.理解反比例函数的概念； 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式； 3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.
教学重点 1.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式； 2.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.
教学难点 理解反比例函数的概念.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导入 二、探究新知 当堂练习 一、创设情境 导入新知 观看视频，思考问题. 思考：生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定的情况下，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗；相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗 二、探究新知 知识点一：反比例函数的概念 合作探究 探究1：下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. (1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的变化而变化； (3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化而变化. 师生活动：学生独立思考列出解析式，教师巡视，选学生作答，其他同学判断正误. (1) v = ；(2) y = ；(3) S = 问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 师生活动：学生独立思考共同作答，教师顺势总结. 都具有 分式 的形式，其中 分子 是非零常数． 定义总结 反比例函数 一般地，形如 y = ， (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 思考：反比例函数除了 y = (k ≠ 0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 师生活动：学生独立思考积极发言，教师补充总结. 预设1：因为 x 作为分母，不能等于零，所以自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 预设2：但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 定义总结 上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数 (x 和 y)，并且含有未知数的项的次数都是 1， 像这样的方程叫做二元一次方程. 练习 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k的值. 师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他同学判断正误. 例1 已知函数 是反比例函数，求 m 的值. 师生活动：教师引导学生分析解题思路， 学生独立完成计算，教师巡视. 方法总结 方法总结：已知某个函数为反比例函数，则自变量的次数为－1，且系数不等于0. 练习 知识点二：确定反比例函数的解析式 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 4 时，求 y 的值. 师生活动：学生在教师的提示下分析解题思路，独立完成计算. 提示：依题意设 . 把 x = 2 和 y = 6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 这就是待定系数法. 归纳： 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式； ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 练习 已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 师生活动：学生独立完成计算，选学生板书. 知识点三：建立简单的反比例函数模型 例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100 km/h 时，视野的度数. 师生活动：学生在教师的提示下分析解题思路，独立完成计算. 例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180平方厘米，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x cm，y cm. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. 师生活动：学生独立思考完成计算. 想一想： 反比例函数除了可以用 y = (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 师生活动：学生独立思考，教师总结. 反比例函数的三种表达方式(注意k≠0)： y = ， y = kx-1 ，xy = k . 三、当堂练习 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( ) A. y = - B. y = - C. y = D. y = 1 - 2. 下列实例中，变量 x 和 y 成反比例函数关系的是_____. ① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；④在水龙头前接一桶水，放水的速度为 x L/s，接满一桶水的时间为 y s. 3. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时， y = －4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 y = 6 时，求 x 的值. 4. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为 v (m/min)，所用的时间为 t (min)． (1) 写出变量 v 和 t 之间的函数关系式； (2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少？ 设计意图：通过美丽的城市灯光视频，吸引学生的课堂注意力；利用跨学科知识引入，感受数学在实际生活和其他学科的广泛应用，激发学习兴趣. 设计意图：回顾函数解析式的求法，锻炼学生的实践能力和抽象能力，培养自主学习习惯. 设计意图：培养学生的观察能力和归纳总结能力，发展推理能力. 设计意图：培养自主学习和分析的能力，加深对反比例函数取值范围的理解. 设计意图：通过练习巩固对反比例函数概念的理解. 设计意图：通过例题，进一步掌握反比例函数概念，锻炼应用能力，提高解题技巧. 设计意图：锻炼学生利用反比例函数的概念求未知数的能力. 设计意图：通过例题，让学生在练习中学习用待定系数法求解析式. 设计意图：巩固用待定系数法求解析式的步骤，锻炼运用能力. 设计意图：锻炼学生的抽象能力，学习根据实际问题中的条件建立反比例函数模型，并解决实际问题. 设计意图：锻炼学生根据实际问题中的条件建立反比例函数模型的能力，渗透数形结合思想. 设计意图：发展发散性思维，提高解题技巧. 设计意图：考查学生对反比例函数概念的掌握. 设计意图：考查对反比例函数概念的掌握，锻炼抽象能力. 设计意图：考查学生用待定系数法求解析式，以及利用该反比例函数求值的能力. 设计意图：考查学生能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型，并解决实际问题的能力.
板书设计 26.1.1 反比例函数 一般地，形如 y = ， (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
教学反思 本课内容是继正比例函数、一次函数之后，二次函数学习之前的又一类型函数，本节课主要通过丰富的生活事例，让学生归纳出反比例函数的概念，并进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，从中体会函数的模型思想.

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