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27.2 相似三角形
27.2.2 相似三角形的性质
教学内容 27.2.2 相似三角形的性质 课时 1
核心素养目标 1.通过对相似三角形的对应高、中线、角平分线的比进行探究，得到对应线段的比等于相似比并以此作为基础，通过对周长和面积的计算得到相似三角形周长、面积的比与相似比的关系.体会了从特殊到一般以及类比、转化的数学思想. 2.通过对性质的发现和论证过程，感受数学活动中充满着探索，提高学习热情，增强探究意识. 3.应用相似三角形的性质解决简单的实际问题，培养学生的数学应用意识，发展学生分析问题、解决问题的能力.
知识目标 1.理解相似三角形的性质； 2.会利用相似三角形的性质解决简单的问题．
教学重点 理解相似三角形的性质.
教学难点 会利用相似三角形的性质解决简单的问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导入 二、探究新知 当堂练习 一、复习回顾 导入新知 复习引入 1. 相似三角形的判定方法有哪些？ 师生活动：学生独立思考，积极发言，教师顺势引出本课内容. 定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似. 平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 两角分别相等的两个三角形相似. 一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似. 2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素 预设：高、中线、角平分线、周长、面积. 二、探究新知 知识点一：相似三角形对应线段的比 合作探究 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 师生活动：学生独立思考，积极发言，教师总结猜想——它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比也是 k；并在教师的引导下共同完成证明. 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应边 BC 和 B′C′ 上的高之比． 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'． 则∠ADB =∠A'D'B' = 90°． ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B =∠B'． ∴△ABD∽△A'B'D'． ∴ 试一试：仿照求高的比的过程，当△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比. 师生活动：学生独立完成作图并测量，小组讨论测量结果后共同回答问题，教师顺势引导学生证明. 归纳： 相似三角形对应高的比等于相似比. 类似地，还可以证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的比也等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC 和 △DEF 的角平分线，BC = 6，EF = 4，BG = 4.8. 求 EH. 师生活动：学生独立思考完成例题，选一名学生板书，教师规范证明过程. 练习1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是______ . 2. 已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3 : 4，若 BC 边上的高 AD = 12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝______. 师生活动：学生独立思考完成计算，教师巡视；学生共同作答. 想一想：相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 师生活动：学生思考共同提出猜想——等于.学生独立完成证明，选一名学生板书，教师规范步骤. 归纳： 相似三角形周长的比等于相似比. 知识点二：相似三角形面积的比 合作探究 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，那么它们的面积比是多少？ 师生活动：学生思考后独立完成计算，教师巡视，选学生作答，其他同学判断正误. 分别作 BC，B′C′ 边上的高 AD 和 A′D′. 由前面的结论，我们有 故 归纳： 相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 填一填： 1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格： 2. 把一个三角形变成和它相似的三角形： (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的______倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的______倍. 3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm. (1) 若它们的周长差为 60 cm，这两个三角形的周长分别是______________； (2) 若它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别是______________. 例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，∠A =∠D. 若△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求△DEF 的边 EF 上的高和面积. 练习3.如果两个相似三角形的面积之比为 2∶7，较大三角形一边上的高为 7，那么较小三角形对应边上的高为_____. 师生活动：学生独立思考完成计算，教师巡视，师生共同作答. 例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求 四边形 BCDE 的面积. 师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生板书，教师总结解题方法. 三、当堂练习 1. 判断对错： (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的 5倍． ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的 9倍． ( ) 2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，∠A =∠D，AP，DQ 是中线，若 AP = 2，则 DQ的值为 ( ) A．2 B．4 C．1 D. 3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积 比等于_____. 4.△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和 △EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积. 设计意图：通过复习，巩固对相似三角形及其判定方法的掌握；回顾三角形的要素，为后面的探究方向做铺垫；培养学生的自主学习能力和类比推理能力. 设计意图：通过观察、猜想和证明，锻炼自主学习的能力，加深对“相似三角形对应线段的比等于相似比”的理解. 设计意图：锻炼证明能力和类比推理能力；感受数学的严谨性，培养有条理讲逻辑的思维. 设计意图：通过练习巩固学生对“相似三角形对应线段的比等于相似比”的性质的掌握. 设计意图：锻炼学生的计算能力和应用能力. 设计意图：锻炼学生的类比推理和证明能力，进一步培养学生的应用能力. 设计意图：加强学生的类比推理能力，锻炼应用能力，掌握相似三角形性质的探究方法. 设计意图：锻炼学生的应用解题能力，培养自主学习习惯；通过练习梳理相似三角形的三条性质，加深学生对相似三角形性质的掌握. 设计意图：锻炼学生应用三角形性质进行解题的能能力，提高解题技巧. 设计意图：通过练习巩固学生对“相似三角形面积比等于相似比的平方”的性质，提高解题能力，发展运用能力. 设计意图：考查学生的对相似三角形性质的掌握. 设计意图：考查学生的对相似三角形性质的掌握，锻炼计算能力. 设计意图：考查学生的对相似三角形性质的掌握，发展空间观念. 设计意图：锻炼运用相似三角形的性质解题的能力.
板书设计 27.2.2 相似三角形的性质 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
教学反思 本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等．同学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.

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