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二元一次方程组的实际应用
考法1 与几何图形结合
典例精析
[例]小东在拼图时，发现8个形状和大小均相同的小长方形，恰好可以拼成一个如图1所示的大长方形.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2 所示的正方形，中间还留下了一个边长恰好为3cm的小正方形（阴影部分），求小长方形的面积.
命题点：二元一次方程组的应用.
规范解答：
解：设小长方形的宽为x cm，长为ycm，则图1中大长方形的长可以表示为5xcm或3ycm，图2中大正方形的边长可以表示为 （2x＋y）cm或（2y＋3）cm.
由题意，得，解得 .
∴小长方形的面积为9×15＝135（cm2）.
答：小长方形的面积为135 cm2.
方法归纳
列方程解决几何问题
“数形结合”列方程有以下两个方向：（1）分析图形的某一条边，要能够用两种方式表示出来；（2）借助题中的已知数据，利用未知数直接表示出这个数据或者建立等式关系。
针对训练
1.如图，用12个形状和大小均相同的小长方形拼成一个宽是60的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ）。
A.60 B.80
C.100 D.120
2. 在平面直角坐标系中，将5个大小、形状完全相同的长方形摆成如图所示的图案，若点B（－10，7），则点A 的坐标是（ ）。
3.如图，大长方形ABCD中无重叠地放置了9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为 2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（ ）。
4.如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形、四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的 2 倍.若中间小正方形的面积为1，求大正方形ABCD 的面积.
5.在长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据如图所示，求图中阴影部分的面积.
6.如图，阴影部分是边长为1的小等边三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个等边三角形，则A和B的边长分别为多少？
7.学校举办“艺术周”创意设计展览，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1、图2、图3三种图案.
（1）根据图1、图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米；
（2）图3 中四个小正方形的重叠部分也是三个样的小正方形，求阴影部分的面积.
考法2 与古典数学结合
典例精析
[例]《九章算术》中记载了这样一道问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6 只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”请解答上述问题.
命题点：二元一次方程组的应用.
规范解答：
解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤
依题意，得，解得
答：每只雀重 斤，每只燕重 斤。
方法归纳
列方程解决古典数学问题
解决古典数学问题时，重点关注译文中有数据的关键词句，利用数据中的等量关系建立方程组求解.
针对训练
1 《九章算术》中有一道题的条件是“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛.”大致意思是有大、小两种盛米的桶，5 大桶加1小桶共盛3 斛米，1大桶加5 小桶共盛2 斛米.依据该条件，2大桶加2小桶共盛 斛米.
2.《算法统宗》中记录了“百僧分馒”问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧
三人分一个，大僧小僧得几丁？”意思是有 100 个馒头和100 个僧人，大僧1人吃3 个馒头，小僧3人吃1个馒头，问大僧和小僧各有几人？
3.我国古代数学名著《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客来到此店中.一房七客多七客，一房九客一房空.请问几客几房中？”诗中后两句的意思是如果每一间
客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住 9人，那么就空出一间房.问该店有客房多少间？有房客多少人？
考法3 销售问题与方案选择
典例精析
[例]某小区超市第一次用6 000元购进一批大米和面粉，面粉的袋数比大米袋数的 多15 袋.大米与面粉的进价与售价如表所示：
大米/（元/袋） 面粉/（元/袋）
进价 22 30
售价 29 40
（1）超市第一次进购大米和面粉各多少袋？
（2）在第一次购进的大米和面粉销售完后，超市第二次以第一次的进价又购进了一批大米和面粉，其中大米的袋数不变，面粉的袋数是第一次的 3 倍. 大米按原价销售，面粉打折销售，第二次售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多180 元.问第二次购进的面粉打几折销售？
命题点：二元一次方程组的应用.
规范解答：
解：（1）设超市第一次进购大米x袋，面粉y袋.
根据题意，得解得 。
答：超市第一次进购大米150袋，面粉90袋.
（2）设第二次购进的面粉打m折销售.
根据题意，得（29－22）×150＋（40×－30）×90×3＝（29－22）×150＋（40－30）×90＋180，解得m＝8.5.
答：第二次购进的面粉打八五折销售.
方法归纳
当题目中出现表格时，从表头中了解对象，从表格的行/列中得到数据，并理解数据的实际意义，再根据题干中的关键词建立等式，进而得到二元一次方程组。
针对训练
1.科技馆门票的价格规定如表所示：
购票张数 1∽50 51∽100 100以上
价格/（元/张） 15 12 10
某学校七年级 二两个班共103人去科技馆，其中一班有40多人，不足50人.经计算，若两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元，七年级二班有（ ）人.若两个班联合起来作为一个团体购票，则可以省（ ）元.
2. （一题多解）某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如表所示：
乘坐缆车方式 乘坐缆车费用/（元/人）
往返 160
单程 90
已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有6人乘坐缆车，返程时有12人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是1540元，则该小组共有（ ）人。
3.小明、小华和小芳三个人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，他们把各自购买的数量和总价列成了如下表格.
小明 小华 小芳
笔记本/本 15 24 27
钢笔/支 25 40 45
总价/元 330 528 585
聪明的小明发现其中有 个人把总价算错了，那么这个算错的人是谁？
4.某一天，蔬菜经营户老李花了145 元从蔬菜批发市场购进了一批黄瓜和茄子，然后到菜市场上去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价/（元/千克） 3 4
零售价/（元/千克） 4 7
（1）当天他卖完这批黄瓜和茄子共赚了90 元，则这天他购进的黄瓜和茄子分别是多少千克？
（2）当天他卖完这批黄瓜和茄子后，又花了50元去蔬菜批发市场购进了m千克黄瓜和 n千克茄子（m，n为整数），求m，n的值.
5. 某医药公司每月生产甲、乙两种型号的口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，甲、乙两种型号口罩的成本、售价如下表：
型号 甲 乙
成本/（元/只） 1.2 0.4
售价/（元/只） 1.8 0.6
（1）若该公司三月份的利润为8.8万元，求该月分别生产甲、乙两种型号的口罩多少万只.
（2）某学校到该公司购买乙型号口罩300只，有如下两种方案，方案一：乙型号口罩一律打八折；方案二：购买16.8元的会员卡后，乙型号口罩一律打七折.请你帮该学校选择合适的购买方案.
6.为做好日常消毒和体温检测工作，学校拟购买消毒酒精（单位：瓶）和红外测温仪（单位：台）.已知购买1瓶消毒酒精和2 台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍。
（1）求每瓶消毒酒精和每台红外测温仪的价格分别是多少元.
（2）某商家推出两种购买方案，如下表：
购买方案 消毒酒精 红外测温仪 附加优惠
A 八八折 九五折 每购买200瓶消毒酒精送1台红外测温仪
B 九折 九折 无
该学校共有60个班，计划每个班配备20瓶消毒酒精和1台红外测温仪，问该学校选择哪种购买方案更划算？请说明理由.
7.已知方程组的解是 ，解方程组时，整理，得，运用换元思想，得，解得。现给出方程组，的解是 则方程组的解为（ ）。
8. 如图所示，用8 块相同的小长方形地砖拼成个大长方形，则每块小长方形地砖的周长
是（ ）。
9.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5 头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上译文，提出
以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子.
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问
商人有几种购买方法？列出所有的购买方法.
10.某班级布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见下表（部分信息不全）：
物品名 单价/元 数量/个 金额/元
挂钟 30 2 60
拖把 15
小黑板 40
格言贴 a 2 90
门垫 35 1 b
合计 8 280
请完成下列问题：
（1）a＝ ，b＝ 。
（2）求该班级购买的拖把、小黑板的数量.
（3）若干天后，该班级再次购买格言贴和拖把两种物品（两种物品都有），共花费105 元，则有几种不同的购买方案？请将方案列举出来.

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