资源简介

4.1中值定理
教学目标：
（1）掌握罗尔定理；
（2）掌握拉格朗日定理；
（3）熟练使用罗尔定理和拉格朗日定理
教学重点：
罗尔定理和拉格朗日定理的使用条件；
教学难点：
罗尔定理和拉格朗日定理的使用条件；
授课时数： 2课时.
教学过程
过程 备注
新知识定理4.1（罗尔定理） 若函数在闭区间上连续 在开区间内可导 且则在开区间内至少存在一点,使得． 罗尔定理的几何意义是：在满足条件的曲线弧上至少能找到一点，使其在该点的切线平行于轴.证因为在闭区间上连续，故它在闭区间上必有最大值与最小值.若，则在闭区间上恒为常数，所以 定理的结论显然成立． 否则，，由于，故至少有一个最值在开区间内取得．不妨设存在一点 使(如图3—1)．因为在点处可导，从而有≥0≤0． 教师讲授20′
知识巩固例 已知函数，说明方程有几个实根，并指出它们各自所在的区间．解 显然在上连续且可导， 且.故在区间[1,2]与[2,3]上满足罗尔定理条件，从而方程在（1,2）及（2,3）内至少各有一个根．又为二次多项式，所以方程只能有两个根． 教师讲授35′
练习4.1.1练习 设,证明方程有三个实根,并指出其所在区间.解 在上连续、可导,且．由罗尔定理，在、、内分别存在点使得．所以方程有三个实根,分别在、、内. 学生完成45′
新知识定理4.2（拉格朗日定理） 若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得.拉格朗日定理的几何意义是：在满足条件的光滑曲线弧AB上至少能找到一点C，使其在该点的切线平行于弦AB，因此.如果 那么这样就变成罗尔中值定理了，因此罗尔定理是拉格朗日定理的特例． 显然，若函数在区间I上的导数恒为零 则在区间I上是一个常数． 事实上，在区间I上任取两点,且,在应用拉格朗日定理,有，由题设知 f ( )0，所以有，即，由的任意性，在I上为常数. 结合图像说明65′
知识巩固例 证明当时,.证明 设,显然,在上满足拉格朗日中值定理的条件,有,，从而.由于，所以即. 教师引领完成85′
小结 90′
作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题四对应内容.
a
A
B
b
O
y
x
图 4—1

M


b
a
O
x

y
图4—2
A
B

C
罗尔中值定理
中值定理
拉格朗日中值定理

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